相似三角形的綜合問題（重點(diǎn)突圍）（解析版）

專題11相似三角形的綜合問題

千硝立【中考考向?qū)Ш健?/p>

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一（雙）A字型相似】..................................................................1

【考向二（雙）8字型相似】.................................................................8

【考向三母子型相似】....................................................................16

【考向四旋轉(zhuǎn)相似】......................................................................24

【考向五K字型相似】.....................................................................37

【直擊中考】

【考向一（雙）A字型相似】

例題：（2022?上海?九年級專題練習(xí)）如圖，在0ABe中，點(diǎn)。在邊4B上，點(diǎn)￡、點(diǎn)/在邊AC上，且。E〃

AFAE

BC,

FE~EC

(1)求證：DF//BE-

(2)如且A尸=2,EF=4,AB=6』.求證0ADEEBAE3.

A

B

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解

Ar）Ap4/7AV）

【分析】⑴由題意易得法=而,則有益=而,進(jìn)而問題可求證;

（2）由（1）及題意可知空=空=1，然后可得AD=2?,進(jìn)而可證4g=絲=立，最后問題可求證.

BDEF2ABAE3

【詳解】解：（1）SDE//BC,

ADAE

團(tuán)---=---,

BDEC

AFAE

0--=---,

FEEC

AFAD

0——二

FEBD

^\DF//BE；

(2)0AF=2,EF=4,

ADAF

團(tuán)由（1）可知,AE=6,

BD-EF-2

她5=6看,

團(tuán)AD=—AB=2y/3,

3

回6_73AD_2A/3_^

花一麗一號'瓦一丁一百

raAEAD6

121------=-------=------,

ABAE3

的4二94,

^\ADE^\AEB.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，在RJMC中，ZACB=90°,AC=BC=6,。是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E

在BC上，連接CD,AE交于點(diǎn)F若/。在=45。,應(yīng)>=24）,則CE=.

A

C

【答案】2

【分析】過。作D"垂直AC于〃點(diǎn)，過。作OG〃AE交BC于G點(diǎn)，先利用解直角三角形求出C。的長，

其次利用ACDGSACBZ）,求出CG的長，得出BG的長，最后利用△或）Gs^&iE求出班的長，最后得出答

案.

【詳解】解：如圖：過。作斯垂直AC于〃點(diǎn)，過。作￡>G〃A￡交8C于G點(diǎn)，

回在Rt~4BC中，AC=BC=6,

^AB=^AC1+BC1=6>/2>

又團(tuán)BD=2AD,

0AD=2A/2,

團(tuán)在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2,

0CH=6-2=4,

在Rt^CHD中,CD=\ICH2+DH2=275,

HDG//AE,

0ZCFE=ZCZXJ=45°,ZB=45°,

0ZCDG=ZB,

又0NDCG=NBCD,

OACDGS衛(wèi)BD,

CDCG

團(tuán)---=----,

CBCD

ECD2=CGCB,

即20=6CG,

0CG=—,

3

ino

^BG=BC-CG=6——=-,

33

又回。G〃AE,

⑦ABDGSABAE,

又團(tuán)3D=2AD,

BDBG2

團(tuán)---=----=一，

BABE3

Q

又3,

3

回BE=8Gx—=4,

2

0CE=6—4=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做

出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例求出答案.

2.（2023秋?安徽六安?九年級?？计谀┤鐖D，在"LBC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高.求證：

NACB^NAED.

E,D

B

【答案】見詳解

AE1AC

【分析】先證明△ACEs”?),即有皆=片，再結(jié)合NA=NA,即可證明VACBsyAED.

ADAB

【詳解】團(tuán)BD、CE分別是AC、A3邊上的高，

0ZAEC=ZADB=9O°,

0ZA=ZA,

SAACE^AABZ),

「AEAC

ADAB

又回NA=NA,

^NACB^NAED.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

3.(2021秋?山東濟(jì)寧?九年級?？茧A段練習(xí))

RSABC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=15cm,現(xiàn)有動點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動，動

點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段C2也向點(diǎn)8方向運(yùn)動，如果點(diǎn)P的速度是4on/s,點(diǎn)。的速度是2c〃z/s,它們同

時出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時，就停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為f秒.

(1)求運(yùn)動時間為多少秒時，P、。兩點(diǎn)之間的距離為10c加？

(2)若ACP。的面積為S,求S關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)f為多少時，以點(diǎn)C,P,。為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似？

2

【答案】(1)3秒或5秒；(2)S=(20z-4r)cm;(3)f=3或",

【分析】(1)根據(jù)題意得到AP=4fa〃，CQ=2tcm,AC=20cm,CP=(20-4r)cm,根據(jù)三角形的面積公式列方

程即可得答案；

(2)若運(yùn)動的時間為窗，則CP=(204)cm,CQ=2tcm,利用三角形的面積計算公式，即可得出5=20卜4戶，

再結(jié)合各線段長度非負(fù)，即可得出f的取值范圍；

(3)分①RtACPQsRf八CAB和②RfACPQsRtACBA,利用相似三角形得出比例式，建立方程求解,

即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：由運(yùn)動知，AP=4tcm,CQ=2tcm,

SAC-2Qcm,

ECP=(20-4?)cm,

在RfACPQ中，

CP2+CQ2=PQ2,

即(20—4f『+(2fp=10.

團(tuán)，=3秒或，=5秒

(2)由題意得AP=4/,CQ=2t,則CP=20—4/,

因此Rt^CPQ的面積為S=1x(20-4?)x2f=(20/-4”)cn?；

(3)分兩種情況：

①當(dāng)朋△CPQsRgCAB時，冬=穿，即咚”=言，解得/=3；

CACb2015

②當(dāng)區(qū)小。尸。64△CR4時，—=^,即空凸=二，解得:竺.

CBCA152011

40

因此7=3或/時，以點(diǎn)C、P、。為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵.

4.(2023?全國?九年級專題練習(xí))如圖，AABC中，點(diǎn)。在AC邊上，5.ZBDC=90+ZABD.

(1)求證：DB=AB；

(2)點(diǎn)E在BC邊上，連接AE交8。于點(diǎn)R且ZAED=ZABC,BE=CD,求NACB的度數(shù).

(3)在(2)的條件下，若5c=16,△鐳/的周長等于30,求■的長.

【答案】(1)見解析；(2)NACB=60。；(3)AF=11

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關(guān)系建立等式，運(yùn)用等量代換得出/4=/皿4,證得DB=AB；

(2)作CH=BE,連接DH,根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系證得/E4C=/C,再由三角形全等判定得SBD/fflfflABE,

最后推出SDCH為等邊三角形，即可得出NACB=60。；

(3)借助輔助線A。團(tuán)CE,構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合平行線構(gòu)造aBFEiaaBZ"/,建立相應(yīng)的等量關(guān)系式，完

成等式變形和求值，即可得出A尸的值.

【詳解】(1)證明：SEBDC=90°+^SABD,S\BDC=^ABD+^A,

00A=90?！?A2D

E0BDC+0BDA=180°,

00BDA=18OO-0B￡)C=9O°-yEABD.

EEA=EBDA=90°-yEABD.

^DB^AB.

解：(2)如圖1,作CH=BE,連接。H,

E0AF￡)=0ABC,S1AFD=BIABD+BIBAE,^ABC=^\ABD+^DBC,

00BAE=0Z)BC.

團(tuán)由(1)知，^BAD^SBDA,

又E0￡AC=[38A。一EIBAE,0C=0ADB-0￡>BC,

aacAE=iac.

0AE=CE.

國BE=CH,

^\BE+EH=CH+EH.

即BH=CE=AE.

^\AB=BD,

釀瓦汨的ABE.

⑦BE=DH.

?BE=CD,

國CH=DH=CD.

團(tuán)SDCH為等邊三角形.

EEIACB=60°.

(3)如圖2,過點(diǎn)A作AO0CE,垂足為。.

A

圖2

團(tuán)。MME,

勵C4E=I3COH=60°,^AEC=^DHC=60°.

HMCE是等邊三角形.

設(shè)AC=CE=A￡=x,貝lj8E=16—x,

[ED//0AE,

^\BFE^\BDH.

BFBEEF16—x

團(tuán)----=-----

BDBHDHx

16—x16-x

^\BF=------BD=AB,

xx

16—x(16—x)2

EF=-------DH=\-------

xx

/的周長等于30,

即AB+BF+AF=AB+AB+x-^16~x)=30,

XX

x

解得AB=16一

o

在R/fflACO中，AC=~,AO=叵,

22

0BO=16--.

2

在R?ABO中，AO1+BO1=AB1,

即(尤2+116-

解得吃=。(舍去)2=等.

EIAF=11.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,

解題的關(guān)鍵是能熟練掌握三角形的性質(zhì)與全等判定并借助輔助線構(gòu)造特殊三角形的能力.

【考向二（雙）8字型相似】

例題：（2023?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在菱形ABC。中，0AOE、國。尸分別交BC、A2于點(diǎn)E、F,

。尸交對角線AC于點(diǎn)M,^ADE^CDF.

（1）求證：CE=AF；

（2）連接ME,若笠=空，A尸=2,求Affi的長.

BECE

【答案】（1）見解析（2）2

【分析】（1）通過已知條件，易證ElADflfflCDE,即可求得；

「FCD「D

（2）根據(jù)狼=笄，易求得BE和根據(jù)已知條件可得票=%=三，證明她加回CMA

BECEBECEAF

—=—=—,再證明0ABe?國MEC,即可求出ME.

AFAMBE

【詳解】解：⑴回四邊形ABC。是菱形，

^\AD=CD,也DAF=EDCE,

5L^\ADE=BCDF,

配L4OE-aEDF=?CDF-^EDF,

團(tuán)團(tuán)AOb=l2CDE,

在她。廠和團(tuán)CD6中，

ZADF=ZCDF

<AD=CD,

ZDAF=ZDCE

m^DF^CDE,

0CE=AF.

(2)團(tuán)四邊形ABC。是菱形,

^\AB=BC9

由(1)得：CE=Ab=2,

⑦BE=BF,

設(shè)BE=BF=x,

CECD

0AF=2,

BE~CE

7_i_7

回4=彳r，解得x=占一i,

x2

國BE=BF=y^-l,

CECD「

0—=——，且CE=A/,

BECE

CECDCD

回——=一=一

BECEAF

mCMD=^\AMFf^DCM=^\AMFf

CDCM

回一=

AFAM

CDCMCE

團(tuán)---=-----且0AC8=0ACB,

AFAMBE

0EIABC-EIM￡C,

E0CAB=BCME^SACB,

IWE=C￡=2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性質(zhì)，熟練它們的判定和性質(zhì)是解答此

題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?九年級課時練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E是A。上一點(diǎn)，AE=2ED,連接BE交

AC于點(diǎn)G,延長8E交C。的延長線于點(diǎn)尸，則7石的值為（）

CrF

3

D.

4

【答案】A

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到則可判斷△ABGHEbG,^ABE^DFE,于是根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)和AE=2ED即可得結(jié)果.

【詳解】解：回四邊形A8CO為平行四邊形,

她施CQ,

^ABG^CFG.

BGAB

GFCF

m\BE^\DFE,

「AEAB

團(tuán)——=,

DEDF

^\AE=2ED,

^\AB=2DF,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的

判定和性質(zhì)進(jìn)行解題.

2.（2022春?陜西渭南?八年級統(tǒng)考期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是。。的中點(diǎn)，尸是AE的中點(diǎn)，

CF交BE于點(diǎn)G,若BE=8,貝|GE=—.

【分析】延長CF、84交于根據(jù)已知條件得出EF=ARCE=：QC,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC3AB,

DC^AB,根據(jù)全等三角形的判定得出團(tuán)CER3皿WAR根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE=4M,求出BM=3CE,

根據(jù)相似三角形的判定得出回CEG00MBG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可.

【詳解】解：延長CF、A4交于

0EF=AF,CE=*DC,

回四邊形ABCD是平行四邊形,

0DC13AB,DC=AB,

0C￡=yAB,0￡CF=[3M,

在團(tuán)CE廠和囿憶4尸中

ZEFC=ZAMF

NECF=ZM

EF=AF

mCEF^MAF(A4S),

^\CE=AM,

EJCE=；A8,

^\BM=3CE,

0DC12L4B,

^CEG^BMBG,

CEEG1

團(tuán)==一

BMBG3

團(tuán)B￡=8,

GE1

回

8—GE3

解得：GE=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和

判定等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?北京房山?九年級統(tǒng)考期中）如圖，與5C交于0點(diǎn)，ZA=ZC,80=4,DO=2,AB=3,

求CD的長.

【答案】1.5

由＞可得出禾用相似三角形的性質(zhì)可得出器=器,

【分析】NA=NC,NAO3=NCOrAAOBSACOD,ij

代入50=4,00=2,AB=3,即可求出8的長.

【詳解】解：財。與8c交于。點(diǎn),

^1ZAOB=ZCOD.

0ZA=ZC,

國AAOBS^COD.

ABBO

回---=----

CDDO

0B0—4,DO-2,AB=3,

I3CD=1.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例列式.

4.(2023秋?安徽六安?九年級?？计谀?如圖1,在向0ABC中，0ACB=90°,AC=BC=1,。為AB上一點(diǎn),

連接C。，分別過點(diǎn)A、B作ANSCD,BMSCD.

(1)求證：AN=CM；

(2)若點(diǎn)D滿足BD：AD=2：1,求。M的長；

(3)如圖2,若點(diǎn)E為4B中點(diǎn)，連接設(shè)s譏回瓦4。=左，求證：EM=k.

【答案】(1)見解析；(2)迪；(3)見解析

15

【分析】(1)證明她CAfflC5M(A4S),由全等三角形的性質(zhì)得出AN=CM；

(2)證明0AND?aBATO,由相似三角形的性質(zhì)得出現(xiàn)=空=絲=工，設(shè)AN=x,則BM=2x,由(1)

BMDMBD2

知AN=CM=x,BM=CN=2x,由勾股定理得出x=[,則可得出答案；

(3)延長ME,AN相交于點(diǎn)H,證明0AHEEH8ME(A4S),得出AH=BM,證得HN=MN,過點(diǎn)E作EGSBM

于點(diǎn)G,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案.

【詳解】(1)證明：EL4W3CD,BMSCD,

EHANC=90°,0BA/C=9O",

又a4c2=90°,

^3iACN+SBCM=SBCM+SCBM=90°,

SBACN^CBM,

又EAC=BC,

EHACW313cBM(AAS),

^AN=CM；

(2)解：^AND=^\BMD,^ADN=^\BDM,

^ANDf^BMD,

回_A_N___D__N___A_D___\

BM~DM~BD~21

設(shè)AN=x,則BM=2x,

由(1)知4V=CM=x,BM=CN=2x,

SAN2+CN2=AC2,

ELX2+(2無)2=12,

Br=—,

5

iacM=立，CN=迤,

55

^\MN=—,

5

?DM-MN=*立~=^^；

33515

(3)解：延長ME,AN相交于點(diǎn)H,

圖2

SE為AB的中點(diǎn)，

BAE=BE,

回她NM=90°,回BMN=90°,

^\HAE=^MBEf^\AHE=^BME,

^AHE^IBME(AAS),

^AH=BM,

又姐M=CN,CM=AN,

團(tuán)CN=AH,

?MN=HN,

加HMN=45°,

團(tuán)團(tuán)EM3=45°,

過點(diǎn)E作成近于點(diǎn)G,

^\sinBNAD=k,回NAZ)=回E3G,

FG

團(tuán)s加團(tuán)仍G==k,

BE

又朋C=BC=1,

0BE=—,

2

JI

^EG=—k,

2

0￡M=EG=y/2x^k=k.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，等腰直角三角形

的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(2022?廣東佛山?？既?如圖1,AD,3。分別是AABC的內(nèi)角N5AC、/ABC的平分線，過點(diǎn)A作

AEVAD,交即的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：ZE=1ZC；

(2)如圖2,如果AE=AB,且9:DE=2:3,求cos/ABC的值；

s

(3)如果/ABC是銳角，且AABC與AADE相似，求/ABC的度數(shù)，并直接寫出—的值.

【答案】⑴見解析

⑵I

(3)30°,2-6或45。，2-72

【分析】(1)由題意：ZE=90°-ZADE,證明43=9。。-；/<7即可解決問題.

(2)延長AD交BC于點(diǎn)尸.證明可得NMB=/E4D=90。，—,由BD:DE=2:3,

AEDE

_/BFBF2

可r/得l=IcosNABC=——=----=—.

ABAE3

(3)因為AABC與AADE相似，NZM石=90。，所以/ABC中必有一個內(nèi)角為90。因為/ABC是銳角，推出

NABCW90。.接下來分兩種情形分別求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖1中，

E

圖1

\-AELAD,

:.ZDAE=90°,ZE=900-ZADEf

?.?AD平分NA4C,

/BAD=-ABAC,同理/ABD=-ZABC,

22

?/ZADE=ZBAD+ZDBA,ZBAC+ZABC=180°-ZC,

ZADE=1(ZABC+ABAC)=90°-1zC,

/.ZE=90°-(90°--ZQ=-ZC.

22

(2)解：延長AD交3c于點(diǎn)尸.

圖2

\-AB=AE,

:.ZABE=/E,

平分/ABC,

:.ZABE=ZEBC,

.\ZE=ZCBE,

:.AE//BC,

BFBD

.\ZAFB=ZEAD=90°,——=——,

AEDE

BD:DE=2:3f

BFBF2

..cos^ABC==——.

ABAE3

(3)???AABC與AADE相似，ZZME=90°,

NABC中必有一個內(nèi)角為90。

???NABC是銳角，

:.ZABC^90°.

①當(dāng)N54C=NZME=90。時,

■.■ZE=-ZC,

2

ZABC=ZE=-ZC,

QZABC+NC=90°,

:.ZABC=30°,此時等些=2-石.

②當(dāng)NC=/ZME=90。時，ZE=-ZC=45°,

NEDA=45°,

?.?A4BC與A4DE相似,

：.ZABC=45°,此時=2一母.

綜上所述，ZABC=30°,自造=2-百.ZABC=45°,削些=2-C.

【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)

等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

【考向三母子型相似】

例題：(2022秋?全國?八年級專題練習(xí))定義：如圖，若點(diǎn)尸在三角形的一條邊上，且滿足N1=N2,則稱

點(diǎn)P為這個三角形的"理想點(diǎn)".

圖①圖②

(1)如圖①，若點(diǎn)。是AABC的邊A3的中點(diǎn)，AC=2亞,AB=4,試判斷點(diǎn)。是不是“LBC的"理想點(diǎn)",

并說明理由；

(2)如圖②，在反AABC中，NC=90。，AB=5,AC=4,若點(diǎn)。是AABC的"理想點(diǎn)”，求CQ的長.

【答案】⑴。為AABC的理想點(diǎn)，理由見解析

【分析】(1)由已知可得分=%,從而AACDSAABC,ZACD=ZB,可證點(diǎn)。是AABC的"理想點(diǎn)";

(2)由。是AABC的"理想點(diǎn)”，分三種情況：當(dāng)。在A3上時，8是A3邊上的高，根據(jù)面積法可求8長

度；當(dāng)。在AC上時，gUMBC,對應(yīng)邊成比例即可求8長度；。不可能在8C上.

(1)

解：點(diǎn)。是AABC的"理想點(diǎn)”，理由如下：

是AB中點(diǎn)，AB=4,

:.AD=BD=2,ADAB=S,

AC=20，

AC2=8,

AC2=ADAB,

,AC_AB

"~AD~^AC'

-.?ZA=ZA,

:.MC4AABC,

ZACD=NB,

點(diǎn)。是AABC的"理想點(diǎn)"；

(2)

①。在AB上時，如圖：

C

?.力是AA5c的"理想點(diǎn)”，

ZACD=或ZBCD=ZA,

當(dāng)NACD=/3時，

ZACD+ZBCD=90°,

:.ZBCD+ZB=90°,

:.ZCDB=90°,即C￡>是AB邊上的高，

當(dāng)/3CD=/A時，同理可證NCE>3=90。，即CO是A3邊上的高,

在RtAABC中，ZACB=90°,AB=5,AC=4,

:.BC=y/AB2-AC2=3,

■.■S^^ABCD^ACBC,

:0=?,

(2)vAC=4,BC=3,

:.AC>BC^ZB>ZA,

:"理想點(diǎn)"。不可能在BC邊上,

③。在AC邊上時，如圖:

?2是AABC的"理想點(diǎn)",

:.NDBC=ZA,

又NC=NC,

r.ABDCsA/WC,

129

綜上所述，點(diǎn)。是AABC的"理想點(diǎn)"，。的長為二或：.

54

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解"理想點(diǎn)”的定義.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022秋?黑龍江哈爾濱?九年級校考期中）如圖，AABC中，點(diǎn)。在A3上，/B=2/BCD,若BD=2,

BC=5,則線段8的長為.

【答案】V14

【分析】延長。到E,使BE=BD,連接DE,可得等腰△甌＞和等腰ACED,CD=ED,再證明

△EDBfECD,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出ED.

【詳解】解：如圖所示，延長CB到E,使BE=BD,連接DE,

國NE=NEDB

⑦NDBC=2NBCD,NDBC=NE+NEDB,

⑦NE=NDCB=NEDB,

團(tuán)AEDB~AECD，CD=ED

EDEBED2

0一=一,BRnP------=一，

ECED2+5ED

解得：ED=CD=y/l4，

故答案為：＞/14.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰

△BED和②構(gòu)造等腰ACED是解題關(guān)鍵.

2.（2022秋?安徽蚌埠?九年級?？计谥校┤鐖D，在AABC中，。為BC邊上的一點(diǎn)，且AC=26，CD=4,

BD=2,求證：△ACOEBBCA.

【答案】證明見解析.

4rrn

【分析】根據(jù)AC=2強(qiáng)，CD=4,BD=2,可得。=下，根據(jù)回CWC,即可證明結(jié)論.

BCAC

【詳解】解：0AC=276-8=4,BD=2

raAC276V6CD4R

BC4+23AC2V63

ACCD

團(tuán)---=---

BCAC

團(tuán)回C=0C

^ACD^\BCA.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

3.（2022秋?安徽蚌埠?九年級?？计谥校┤鐖D，在AABC中，NACB=90。，CO為AB邊上的高，/A8C的

平分線BE分別交CO,AC于點(diǎn)尸，E.

(1)求證：ACBF?AABE；

(2)若A5=10,BC=6,求VCBb的面積，

⑶若2C=AD,請直接寫出If的值為_____.

AE

【答案】⑴證明見解析

27

(2)y

(3)^Z1

2

【分析】(1)利用同角的余角相等可得NBC戶=4,再由角平分線的定義可得NCB/=NABE,然后根據(jù)

相似三角形的判定即可得證；

(2)先根據(jù)HL定理可證ABEC三ABEG,推出3G=BC=6,設(shè)CE=EG=X,則AE=8-X,在RtaAEG

中，利用勾股定理x=3,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得；

(3)由5皿4=笆=空和COSA=41=￡推出AC2=A￡>-AB=3C-AB,得至/些［+如一1=0,再根

AEABACAB\AB)AB

據(jù)一元二次方程的解法求解即可得.

【詳解】(1)證明：?.?乙ACB=90。，。為A3邊上的高，

Z.BCF+ZACD=90°,ZA+ZACD=90°,

:.ZBCF=ZA,

?.?BE是/ABC的平分線,

ZCBF=ZABE,

ZBCF=ZA

在VCB尸和AABE中,

ZCBF=ZABE'

.'.^CBF?△ABE.

(2)解：在RtZkABC中，AC=yjAB2-BC2^lO2^2=8?

如圖，過點(diǎn)E作石GJ_AB于G,

CE=GE,

―[CE=GE

在RtZXBEC和RtABEG中，〈，

\BE-BE

:.^BEC二△_B￡G（HL）,

/.BG=BC=6,

.?.AG=10—6=4,

設(shè)CE=EG=x,貝ljAE=8—x,

在RtZXAEG中，AE2=EG2+AG2,BP（8-x）2=x2+42,

解得光=3,

??-5AB￡=|AB-EG=1X10X3=15,

?;ACBF?AABE,

回生],即

SFEU5J15110j

27

解得SACBF=，

27

即VCB廠的面積為行.

（3）解：如上圖，在RtZXEG和RtZXABC中，sinA=——二——，

AEAB

CEBC

0-----------，

AEAB

47）AC

在RtAACD和中，cosA=——=—,

ACAB

:.AC2=ADAB=BCAB,

:.AB2-BC2=BCAB,即（空]+--1=0,

[ABJAB

解得收=或二1或生=土或＜0（不符題意，舍去），

AB2AB2

CEV5-1

團(tuán)a---=------，

AE2

故答案為：避二L

2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、解直角三角形的應(yīng)用、一元二次方

程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.(2022?江蘇?九年級專題練習(xí))如圖：在矩形A8C。中，AB=6m,BC=8m,動點(diǎn)尸以2m/s的速度從

A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向C點(diǎn)移動，同時動點(diǎn)。以lm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿向點(diǎn)8移動，設(shè)尸、。兩點(diǎn)

移動的時間為t秒(0<r<5).

(1)AP=m,PC=m,CQ=(用含f的代數(shù)式表示)

(2)f為多少秒時，以尸、。、C為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似？

(3)在尸、。兩點(diǎn)移動過程中，四邊形ABQ尸與ACPQ的面積能否相等？若能，求出此時f的值；若不能，

請說明理由.

【答案】(1)2t,10-2r,t.(2)/=可或了；(3)四邊形A8QP與ACPQ的面積不相等，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)矩形和勾股定理的性質(zhì)，計算得AC,結(jié)合題意，根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到答案；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程并求解，即可得到答案；

(3)過點(diǎn)尸作尸河人BC,交BC于點(diǎn)通過證明△ABCSAPMC,根據(jù)相似比的性質(zhì)，推導(dǎo)得

產(chǎn),根據(jù)題意列一兀二次方程，根據(jù)一元二次方程判別式的性質(zhì)分析，即可得到答案?

【詳解】(1)團(tuán)矩形ABC。中，AB=6m,BC=8m

回AC=y)AB2+BC2=10m

自動點(diǎn)尸以2m/s的速度從4點(diǎn)出發(fā)，沿AC向C點(diǎn)移動，同時動點(diǎn)。以lm/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿C8向

點(diǎn)8移動，

SAP=2t(m),CQ=t[m}

0PC=AC-AP=10-2Mm)

故答案為：2t,10-2?,t.

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，得CQ=r(m),PC=10-2?(m),AP=2t(m),

回NPCQ=NAQ5

曬黑筆,或筆嘴時,以尸、。、。為頂點(diǎn)的三角形與疑。相似

當(dāng)器嚏時，得卜10-2/

10

團(tuán)51=40-8,

40

回，=—；

13

啜噎時，得曝10-2Z

8

團(tuán)4,=50-10,

25

回/=—；

7

(3)如圖，過點(diǎn)P作尸交8C于點(diǎn)M

^\ZABC=ZPMC=90°,ZACB=NPCM

團(tuán)AABCs△尸A/C

PCPM

團(tuán)---=----

ACAB

PCxAB_6(10-2。_30-6%

=

AC105

1八”八八130-6/15f-3產(chǎn)

05

Acpe=-PMxCQ=-x--—xt=---

回四邊形A8QP與^CPQ的面積相等,LBC=四邊形ABQP面積+5八皿

15/-3r211/c

團(tuán)m--------二—x—x6x8

522

0r2-5z+2O=O

EA=(-5)2-4X20=25-80=-55<0

回產(chǎn)一5/+20=0無解，即四邊形4BQP與ACP。的面積不相等.

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握

相似三角形、一元二次方程判別式的性質(zhì)，從而完成求解.

【考向四旋轉(zhuǎn)相似】

例題：(2022秋?貴州貴陽,九年級?？计谥?如圖1,在Rt^ABC中，/B=90o,AB=4,8C=2,點(diǎn)。,E分

別是邊BC,AC的中點(diǎn),連接DE.將ACDE繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為a.

⑴問題發(fā)現(xiàn)

AE

①當(dāng)口=0。時,

BD

4/7

②當(dāng)二=180。時，—

⑵拓展探究

AF

試判斷當(dāng)0。<&<360。時，—的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明;

BD

⑶問題解決

當(dāng)ACDE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)至AB,E三點(diǎn)在同一條直線上時，求線段BD的長.

【答案】⑴①石；②石

AFf-

(2)當(dāng)0。<口<360。時，—=75,大小沒有變化，證明見解析

BD

⑶線段的長為苧或石

【分析】(1)①先利用勾股定理可得AC=2百，再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得AE=^,8。=1,由此即可得;

②先畫出圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NCZ>E=90o,DE=2,CE=?,再利用勾股定理可得C￡>=1,然后根

據(jù)線段和差分別求出AE，的長，由此即可得;

(2)根據(jù)相似三角形的判定證出△EC4?△DCB,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得；

(3)分①點(diǎn)E在A3的延長線上和②點(diǎn)E在線段上，利用勾股定理求出空=1,從而可得AE的長,

再根據(jù)生=若求解即可得.

【詳解】(1)解：①當(dāng)夕=0。時，

???在RtZ^ABC中，ZB=90°,AB=4,BC=2,

AC=^AB2+BC2=2也,

?.?點(diǎn)D,E分別是邊BC,AC的中點(diǎn),

:.CE=AE=-AC=y[5,BD=CD=-BC=1,

22

故答案為：下;

②如圖1,???點(diǎn)2E分別是邊BCAC的中點(diǎn)，AB=4,

:.DE=-AB=2,DE//AB,

2

???ZABC=90°,

ZCDE=ZABC=90°,

如圖，當(dāng)。=180。時,

ED

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：NCDE的大小不變，仍等于90。，DE長度不變，仍等于2,CE的長度不變，仍等于右,

AE=AC+CE=3^5,CD=y/CE2-DE2=1>

BD=BC+CD=3，

AE36一行

BD3

故答案為：V5.

APL

(2)解：當(dāng)0。＜。＜360。時，—=V5,大小沒有變化，證明如下:

BD

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZECD=ZACB,

:.ZECA=ZDCB,

又福嘴《

.'.^ECA~A?CB,

AEAC

BDBC

(3)解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在AB的延長線上時,

在RSBCE中，CE=非,BC=2,

：.BE=>]CE2-BC2=b

...AE=AB+B石=4+1=5,

Q祭3

在RtziBCE中，CE=EBC=2,

：.BE=YICE2-BC2=1>

:.AE=AB-BE=4-1^3,

綜上，線段3D的長為逆或右.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理等知識點(diǎn)，較

難的是題(3),正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?浙江寧波??？家荒?如圖1,在"RC中，/B4C=9(F,AB=6,AC=8,點(diǎn)。，E分別是A8,BC的

中點(diǎn).把△5DE繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)一定角度，連結(jié)AD,AE,CZ),CE.

圖1圖2

⑴如圖2,當(dāng)線段8。在AA5c內(nèi)部時，求證：八BAI3ABCE.

(2)當(dāng)點(diǎn)。落在直線AE上時，請畫出圖形，并求CE的長.

⑶當(dāng)AABE面積最大時，請畫出圖形，并求出此時VADE的面積.

【答案】⑴見解析

⑵見解析;5石

1Q

⑶見解析，y

【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)。，E分別是的中點(diǎn)，得到空=[g=:，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)，得到N/RD=NCBE,

ABBC2

即可得證；

(2)勾股定理定理求出3c的長，中位線定理得到龐〃/C,進(jìn)而得到ZBDE=ZBAC=90。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)，得到

ZADB=90°,推出NAD3=/CEB=90。，利用勾股定理求出CE的長；

(3)設(shè)點(diǎn)E到的距離為/i,判斷出/z最大=3E=5,AABE的面積最大，過點(diǎn)。作于X,證

明ABDHSACBA,利用對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，求出的長，利用24亞=5.4砧-5，鉆0-5/班進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)證明：回點(diǎn)。，E分別是鉆,BC的中點(diǎn),

由旋轉(zhuǎn)知，ZABD=Z.CBE,

團(tuán)AABDSMBE；

(2)解：如圖，

圖3

回乙BAC=9(T,AB=6,AC=8,

0BC=VAB2+AC2=10>

由(1)圖

團(tuán)點(diǎn)D,E分別是A5,8C的中點(diǎn),

SDE//AC,

ZBDE=ZBAC=90°,

回點(diǎn)。落在AE上，

0ZADB=90°,

由(1)知，&ABDS&CBE,

BZADB=ZCEB=90°,

在Rt^BEC中，BE=5,BC=10,

根據(jù)勾股定理得，CE=y/BC2-BE2=A/102-52=5百；

(3)解：如圖，

圖4

設(shè)點(diǎn)E到AB的距離為h,則S^E^^AB-h=^x6h=3h,

要AABE的面積最大，則/?最大，

即時，此時，h最大=BE=5,

S1ZBAC^9O0,

SBE//AC,

QZCBE^ZACB,

由旋轉(zhuǎn)知，ZABD=NCBE,

^ZABD=ZACB,

過點(diǎn)。作O"LAB于H,

^\ZBHD=90°=ZCAB,

自ABDHSCBA,

DHBD

0---=---,

ABBC

DH3

團(tuán)---=——,

610

9

^\DH=-f

在題干圖1中，

團(tuán)點(diǎn)。，E分別是的中點(diǎn),

0DE=—AC=4,

2

rav—q—q—q

UAA￡>E-^AABEA?ABD"ABDE

^X-ABBE--ABDH--BDDE

222

18

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的中位線，勾股定理.本題的綜合性較

強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，正確的畫出圖形.

2.(2022?山東棗莊??？寄M預(yù)測)如圖1,在等腰直角三角形ADC中，ZA￡)C=90°,A￡>=4.點(diǎn)E是A。

的中點(diǎn)，以。E為邊作正方形。跳G,連接AG,CE.將正方形DEFG繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a

(00<a<90°).

圖1圖2圖3

⑴如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，

①判斷△AGO與△CED是否全等，并說明理由；

②當(dāng)CE=CD時，AG與EF交于點(diǎn)、H,求G”的長.

(2)如圖3,延長CE交直線AG于點(diǎn)尸.求證：AG±CP；

【答案】⑴①AAGD均CED,理由見解析；②

⑵證明見解析

【分析】(1)①根據(jù)“邊角邊"，證明AAGD絲ACED即可；②過點(diǎn)A作AT_LG。于T,根據(jù)①中

^AGD^CED,CD=CE,得出AZ)=AG=4,再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出TG=TD=1,再根據(jù)勾股定

理，得出47=后，再根據(jù)E尸〃。G,得出△GEF/SAA7U,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，計算即可得出答

案；

(2)設(shè)AD交尸C于。，根據(jù)(1)&AGD沿CED,得出〃AG=〃CE,再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出

ZDCE+ZCOD=90°,再根據(jù)等量代換，得出NAOP+4MG=90。，再根據(jù)垂線的定義,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：①如圖2中，結(jié)論：AAGD'CED.

圖2

理由：回四邊形EFGD是正方形，

^\DG=DE,NGDE=90。,

SDA=DC,ZA￡)C=90°,

SZGDE=ZADC,

^\ZADG=ZCDE,

0AAGD^ACED(S4S).

②如圖2中，過點(diǎn)A作A7LG。于T.

圖2

團(tuán)AAGD2△CED,CD=CE,

團(tuán)AD=AG=4,

團(tuán)AT_LGD,

團(tuán)