2025年公務(wù)員考試容斥原理問(wèn)題

知識(shí)框架數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題一共分為拾四個(gè)模塊，其中一塊是容斥原理問(wèn)題。在公務(wù)員考試中，根據(jù)集合的個(gè)數(shù)，容斥原理問(wèn)題一般只有兩集合容斥關(guān)系和三集合容斥關(guān)系兩種類(lèi)型，兩集合容斥關(guān)系一般只要采用公式法就可輕松處理，三集合容斥關(guān)系又可分為原則型、圖示標(biāo)數(shù)型、整體反復(fù)型三類(lèi)，對(duì)應(yīng)解題措施分別是公式法、文氏圖法、方程法。無(wú)論集合中的元素怎么變化，同學(xué)只要牢牢把握這兩類(lèi)型，就能輕松搞定容斥原理問(wèn)題。要點(diǎn)撥1、題型簡(jiǎn)介容斥原理是在不考慮重疊的狀況下，先將所有對(duì)象的數(shù)目相加，然後再減去反復(fù)的部分，從而使得計(jì)算的成果既無(wú)遺漏又無(wú)反復(fù)。掌握容斥原理問(wèn)題，可以協(xié)助同學(xué)們處理多集合元素個(gè)數(shù)的問(wèn)題。2、關(guān)鍵知識(shí)（1）兩個(gè)集合容斥關(guān)系（2）三個(gè)集合容斥關(guān)系A(chǔ)、原則型公式

B、圖示標(biāo)數(shù)型（文氏圖法）畫(huà)圖法關(guān)鍵環(huán)節(jié)：1畫(huà)圈圖；2數(shù)字(先填最外一層，再填最內(nèi)一層，然後填中間層)；③做計(jì)算。C、整體反復(fù)型A、B、C分別代表三個(gè)集合（例如“分別滿(mǎn)足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量”）；W代表元素總量（例如“至少滿(mǎn)足三個(gè)條件之一的元素的總量”）；x代表元素?cái)?shù)量1（例如“滿(mǎn)足一種條件的元素?cái)?shù)量”）；y代表元素?cái)?shù)量2（例如“滿(mǎn)足兩個(gè)條件的元素?cái)?shù)量”）；z代表元素?cái)?shù)量3（例如“滿(mǎn)足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量”）。3、關(guān)鍵知識(shí)使用詳解（1）容斥原理問(wèn)題要清晰容斥原理公式中各項(xiàng)的實(shí)際含義，與題中的數(shù)據(jù)精確對(duì)應(yīng)。（2）容斥原理問(wèn)題的關(guān)鍵在于把文字轉(zhuǎn)化為文氏圖，在圖中應(yīng)準(zhǔn)備反應(yīng)題中集合之間的關(guān)系。（3）容斥問(wèn)題的難度在于題中集合也許較多，某些集合之間的關(guān)系也許不確定，這需要仔細(xì)的分析，抓住不確定的。扎實(shí)基礎(chǔ)1.兩個(gè)集合容斥關(guān)系例1：(中央第50題)小明和小強(qiáng)參與同一次考試，假如小明答對(duì)的題目占題目總數(shù)的，小強(qiáng)答對(duì)了27道題，他們兩人都答對(duì)的題目占題目總數(shù)的，那么兩人都沒(méi)有答對(duì)的題目共有（

）。A.3道

B.4道

C.5道

D.6道【答案】D【解析】[題鑰]由于不懂得這次考試題目的總數(shù)，因此可先設(shè)題目總數(shù)即元素總量為?！靶∶鞔饘?duì)的題目占題目總數(shù)的”，相稱(chēng)于集合A為。“小強(qiáng)答對(duì)了27道題”，相稱(chēng)于集合B為27。“他們兩人都答對(duì)的題目占題目總數(shù)的”，相稱(chēng)于集合?！皟扇硕紱](méi)有答對(duì)的題目”，相稱(chēng)于求集合。[解析]根據(jù)題意，

確定元素總量W：；

確定集合A：；

確定集合B：27；

確定集合：；

代入兩集合公式：＝＝由于和均為題數(shù)，須均為正整數(shù)，因此必須為12的倍數(shù)，并且由選項(xiàng)知：3≤≤6當(dāng)W＝12時(shí)，＝－16，不合題意；當(dāng)W＝24時(shí)，＝－5，不合題意；當(dāng)W＝36時(shí)，＝6，符合題意。因此，兩人都沒(méi)答對(duì)的題目為6道。因此，選B。2.三個(gè)集合容斥關(guān)系例2：（浙江行測(cè)真題）某專(zhuān)業(yè)有學(xué)生50人，現(xiàn)開(kāi)設(shè)甲、乙、丙三門(mén)選修課。有40人選修甲課程，36選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門(mén)課的有28人，兼選甲、丙兩門(mén)課的有26人，兼選乙、丙門(mén)課程的有24人，甲、乙、丙三門(mén)課程均選的有20人，問(wèn)三課均未選的有多少人？(

)A.1人

B.2人

C.3人

D.4人【答案】B【解析】[題鑰]“某專(zhuān)業(yè)有學(xué)生50人”，相稱(chēng)于元素總量W為50。“有40人選修甲課程”，相稱(chēng)于集合A為40?！?6選修乙課程”，相稱(chēng)于集合B為36。“30人選修丙課程”，相稱(chēng)于集合C為30?！凹孢x甲、乙兩門(mén)課的有28人”，相稱(chēng)于集合=28?！凹孢x甲、丙兩門(mén)課的有26人”，相稱(chēng)于集合=26。“兼選乙、丙門(mén)課程的有24人”，相稱(chēng)于集合=24。“甲、乙、丙三門(mén)課程均選的有20人”，相稱(chēng)于集合=20?！皢?wèn)三課均未選的有多少人?”相稱(chēng)于求集合。[解析]根據(jù)題意，確定元素總量W：50確定集合A：40確定集合B：36確定集合C：30確定集合：28確定集合：26確定集合：24確定集合：20代入三集合原則型公式：＝50-（40+36+30-28-24-26+20）＝2因此，選B。例3：（國(guó)家行測(cè)真題）某高校對(duì)某些學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參與注冊(cè)會(huì)計(jì)師考試的有63人，準(zhǔn)備參與英語(yǔ)六級(jí)考試的有89人，準(zhǔn)備參與計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參與的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試參與的有46人，不參與其中任何一種考試的有15人。問(wèn)接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？(

)A.120

B.144

C.177

D.192【答案】A【解析】[題鑰]觀測(cè)題目，屬于三個(gè)集合容斥關(guān)系中的標(biāo)數(shù)型問(wèn)題，可采用文氏圖法求解。[解析]本題屬于標(biāo)數(shù)型問(wèn)題，可采用文氏圖法求解，如下圖所示。圖中，黑色部分是準(zhǔn)備參與兩種考試的學(xué)生，灰色部分是準(zhǔn)備參與三種考試的學(xué)生。計(jì)算總?cè)藬?shù)時(shí)，黑色部分反復(fù)計(jì)算了一次，灰色部分反復(fù)計(jì)算了兩次，因此接受調(diào)查的學(xué)生共有：63＋89＋47－24×2－46＋15＝120人。因此，選A。例4：(浙江－20)某班有35個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少參與英語(yǔ)小組、語(yǔ)文小組、數(shù)學(xué)小組中的一種課外活動(dòng)小組?，F(xiàn)已知參與英語(yǔ)小組的有17人，參與語(yǔ)文小組的有30人，參與數(shù)學(xué)小組的有13人。假如有5個(gè)學(xué)生三個(gè)小組全參與了，問(wèn)有多少個(gè)學(xué)生只參與了一種小組？(

)A.15人

B.16人

C.17人

D.18人【答案】A【解析】[題鑰]“某班有35個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少參與英語(yǔ)小組、語(yǔ)文小組、數(shù)學(xué)小組中的一種課外活動(dòng)小組”，相稱(chēng)于元素總量W為35?！皡⑴c英語(yǔ)小組的有17人”，相稱(chēng)于集合A為17。“參與語(yǔ)文小組的有30人”，相稱(chēng)于集合B為30?！皡⑴c數(shù)學(xué)小組的有13人”，相稱(chēng)于集合C為13?！凹偃缬?個(gè)學(xué)生三個(gè)小組全參與了”，相稱(chēng)于元素?cái)?shù)量3為5?！皢?wèn)有多少個(gè)學(xué)生只參與了一種小組？”，此類(lèi)題目屬于整體反復(fù)型問(wèn)題，可采用方程法求解。[解析]根據(jù)題意，設(shè)：參與一種小組的人數(shù)為x，即元素?cái)?shù)量1為x；參與兩個(gè)小姐的人數(shù)為y，即元素?cái)?shù)量2為y；確定元素總量W：38確定集合A：17確定集合B：30確定集合C：13確定元素?cái)?shù)量3：5代入公式，列方程：因此，選A。進(jìn)階訓(xùn)練1.兩個(gè)集合容斥關(guān)系例5：某校學(xué)生參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有120名男生，80名女生，參與英語(yǔ)競(jìng)賽的有120名女生，80名男生。已知該校總共有260名學(xué)生參與競(jìng)賽，其中75名男生兩科競(jìng)賽都參與了，那么參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒(méi)有參與英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)是多少人?(

)A.15

B.20

C.25

D.30【答案】A【解析】[題鑰]假設(shè)260名學(xué)生當(dāng)中有m名男生、n名女生，同步參與了教學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)為x。對(duì)于男生：“m名男生”，相稱(chēng)于元素總量為m。“參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有120名男生”，相稱(chēng)于集合為120?！皡⑴c英語(yǔ)競(jìng)賽的”，“80名男生”，相稱(chēng)于集合為80?！捌渲?5名男生兩科競(jìng)賽都參與了”，相稱(chēng)于集合為75。對(duì)于女生：“n名女生”，相稱(chēng)于元素總量為n。“參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽的”、“80名女生”，相稱(chēng)于集合為80?！皡⑴c英語(yǔ)競(jìng)賽的有120名女生”，相稱(chēng)于集合為120。同步參與了教學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)，相稱(chēng)于集合為x?！耙阎撔？偣灿?60名學(xué)生參與競(jìng)賽”，可知260名學(xué)生都參與了競(jìng)賽，沒(méi)有“數(shù)學(xué)競(jìng)賽和英語(yǔ)競(jìng)賽都沒(méi)參與”的狀況。相稱(chēng)于集合、集合為0。[解析]根據(jù)題意，設(shè)：260名學(xué)生當(dāng)中有m名男生、n名女生；同步參與了教學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)為x。對(duì)于男生：確定元素總量：m確定集合：120確定集合：80

確定集合：75確定集合：0對(duì)于女生：

確定元素總量：n

確定集合：80

確定集合：120

確定集合：x確定集合：0

男女生總數(shù)，即m＋n＝260。

代入兩集合公式，列方程：

則有即同步參與了教學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)為65。由于參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽的女生有80名，則參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒(méi)有參與英語(yǔ)競(jìng)賽的女生人數(shù)：80－65＝15名。因此，選A。2.三個(gè)集合容斥關(guān)系例6：(廣州－33)如右圖所示，每個(gè)圓紙片的面積都是36，圓紙片A與B、B與C、C與A的重疊部分面積分別為7、6、9，三個(gè)圓紙片覆蓋的總面積為88，則圖中陰影部分的面積為?(

)A.66

B.68

C.70

D.72【答案】C【解析】[題鑰]“三個(gè)圓紙片覆蓋的總面積為88”，相稱(chēng)于元素總量W為88，集合為0?！懊總€(gè)圓紙片的面積都是36”，相稱(chēng)于集合A、集合B、集合C都為36。“圓紙片A與B、B與C、C與A的重疊部分面積分別為7、6、9”，相稱(chēng)于集合為7，集合為6，集合為9。規(guī)定“陰影部分的面積”，可先求出集合。[解析]根據(jù)題意，確定元素總量W：88確定集合A：36確定集合B：36確定集合C：36確定集合：7確定集合：6確定集合：9確定集合：0代入公式：=（88-0）-（36+36+36-7-6-9）=2“由中間向外圍”進(jìn)行數(shù)據(jù)標(biāo)識(shí)，進(jìn)行簡(jiǎn)樸加減運(yùn)算，如下圖過(guò)程所示：據(jù)圖可知，陰影部分的面積為：22＋25＋23＝70。因此，選C。例7：(江蘇A類(lèi)－19)某調(diào)查企業(yè)就甲、乙、丙三部電影的收看狀況向125人進(jìn)行調(diào)查，有89人看過(guò)甲片，有47人看過(guò)乙片，有63人看過(guò)丙片，其中有24人三部電影全看過(guò)，20人一部也沒(méi)有看過(guò)，則只看過(guò)其中兩部電影的人數(shù)是(

)。A.69

B.65

C.57

D.46【答案】D【解析】[題鑰]“某調(diào)查企業(yè)就甲、乙、丙三部電影的收看狀況向125人進(jìn)行調(diào)查”、“20人一部也沒(méi)有看過(guò)”，相稱(chēng)于元素總量W為125－20＝105?！坝?0人看過(guò)甲片”，相稱(chēng)于集合A為89?！坝?7人看過(guò)乙片”，相稱(chēng)于集合B為47?！坝?3人看過(guò)丙片”，相稱(chēng)于集合C為63?！捌渲杏?4人三部電影全看過(guò)”，相稱(chēng)于元素?cái)?shù)量3為24。求解“只看過(guò)其中兩部電影的人數(shù)”，此類(lèi)題目屬于整體反復(fù)型問(wèn)題，可采用方程法求解。[解析]根據(jù)題意，設(shè)：只看過(guò)其中一部電影的人數(shù)為x，即元素?cái)?shù)量1為x；看過(guò)其中兩部電影的人數(shù)為y，即元素?cái)?shù)量2為y；確定元素總量W：125－20＝105確定集合A：89

確定集合B：47

確定集合C：63

確定元素?cái)?shù)量3：24

代入公式，列方程：因此，選D。例8：建華中學(xué)共有1600名學(xué)生，其中喜歡乒乓球的有1180人，喜歡羽毛球的有1360人，喜歡籃球的有1250人，喜歡羽毛球的有1040人，問(wèn)以上四項(xiàng)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)都喜歡的至少有幾人？A.20

B.30

C.40

D.50【答案】B【解析】[題鑰]觀測(cè)題目，發(fā)現(xiàn)采用公式法，文氏圖