中考熱搜難點(diǎn)考點(diǎn)60題（原卷版）-2025年上海中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

新題特訓(xùn)02中考熱搜難點(diǎn)考點(diǎn)6。題

反比例函數(shù)綜合題(共3小題)

1.(2024?綿陽(yáng))如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，對(duì)角線AC與比)相交于點(diǎn)E,邊他在x軸上，

k

440=60。，8(-1,0),點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=—(AwO)的圖象上.

X

(1)求點(diǎn)C,D,E的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式；

(2)將菱形MCD向右平移，當(dāng)點(diǎn)E恰好在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，邊3C與函數(shù)圖象交于點(diǎn)尸，求點(diǎn)尸

2.(2024?淮安)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y+6的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,

k.

與反比例函數(shù)y==(x>0)的圖象交于點(diǎn)C.已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,3).

x

(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)O在線段03上，過(guò)點(diǎn)。且平行于x軸的直線交AB于點(diǎn)E,交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)尸.當(dāng)

3.(2024?眉山)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOv中，一次函數(shù)〉=區(qū)+6與反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象

X

交于點(diǎn)A(l,6),2(n,2),與X軸，y軸分別交于C,D兩點(diǎn).

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)若點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)AR4B的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)將直線AB向下平移0個(gè)單位長(zhǎng)度后與x軸，y軸分別交于E,b兩點(diǎn)，當(dāng)=343時(shí)，求a的值.

二次函數(shù)綜合題(共9小題)

4.(2024?瀘州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=加+法+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(3,0),與y軸交于

點(diǎn)3,且關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)當(dāng)-1瓢詞，y的取值范圍是Oi/2-1,求f的值；

(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)。，在y軸上是否存

在點(diǎn)E,使得以3,C,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明

理由.

5.(2024?濟(jì)寧)已知二次函數(shù)y:辦?+法+。的圖象經(jīng)過(guò)(0,-3),(-〃,c)兩點(diǎn)，其中a,b,c為常數(shù),

且">0.

(1)求a,c的值；

(2)若該二次函數(shù)的最小值是T,且它的圖象與尤軸交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè))，與y軸交于

點(diǎn)C.

①求該二次函數(shù)的解析式，并直接寫出點(diǎn)A,3的坐標(biāo)；

②如圖，在y軸左側(cè)該二次函數(shù)的圖象上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作尤軸的垂線，垂足為。，與直線AC交于

點(diǎn)、E,連接尸C,CB,BE.是否存在點(diǎn)尸，使也巫=士？若存在，求此時(shí)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)

SrRP8

說(shuō)明理由

備用圖

7

6.(2024?廣安)如圖,拋物線？=-1%2+尿+°與無(wú)軸交于4,6兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0)，

點(diǎn)3坐標(biāo)為(3,0).

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式.

(2)點(diǎn)尸是直線3C上方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)尸作y軸的垂

線，垂足為點(diǎn)E,請(qǐng)?zhí)骄?PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；若沒(méi)有

最大值，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)點(diǎn)M為該拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)NMCB=45。時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

C)

A/0

7.(2024?東營(yíng))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=f+bx+c與無(wú)軸交于A(-l,0),B(2,0)兩點(diǎn),

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

（2）當(dāng)點(diǎn)。在直線BC下方的拋物線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作y軸的平行線交3C于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為人

QE的長(zhǎng)為/,請(qǐng)寫出/關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量，的取值范圍；

q

（3）連接AD,交8C于點(diǎn)F,求3里的最大值.

8.（2024?山西）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：如圖1,矩形陌VKL是學(xué)校花園的示意圖，其中一個(gè)花壇的輪廓可近似看成由拋物線的一部分

與線段至組成的封閉圖形，點(diǎn)A,3在矩形的邊上.現(xiàn)要對(duì)該花壇內(nèi)種植區(qū)域進(jìn)行劃分，以種植不

同花卉，學(xué)校面向全體同學(xué)征集設(shè)計(jì)方案.

方案設(shè)計(jì)：如圖2,AB=6米，的垂直平分線與拋物線交于點(diǎn)P,與至交于點(diǎn)O,點(diǎn)尸是拋物線的

頂點(diǎn)，且尸0=9米.欣欣設(shè)計(jì)的方案如下：

第一步：在線段OP上確定點(diǎn)C,使44CB=90。，用籬笆沿線段AC,BC分隔出△ABC區(qū)域，種植串串

紅；

第二步：在線段CP上取點(diǎn)P（不與C,P重合），過(guò)點(diǎn)尸作AB的平行線，交拋物線于點(diǎn)O,E.用籬

笆沿DE,CF將線段AC,與拋物線圍成的區(qū)域分隔成三部分，分別種植不同花色的月季.

方案實(shí)施：學(xué)校采用了欣欣的方案，在完成第一步△口（?區(qū)域的分隔后，發(fā)現(xiàn)僅剩6米籬笆材料.若要在

第二步分隔中恰好用完6米材料，需確定DE與CF的長(zhǎng).為此，欣欣在圖2中以至所在直線為x軸，OP

所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.請(qǐng)按照她的方法解決問(wèn)題：

（1）在圖2中畫出坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求6米材料恰好用完時(shí)DE與CF的長(zhǎng)；

（3）種植區(qū)域分隔完成后，欣欣又想用燈帶對(duì)該花壇進(jìn)行裝飾，計(jì)劃將燈帶圍成一個(gè)矩形.她嘗試借助

圖2設(shè)計(jì)矩形四個(gè)頂點(diǎn)的位置，其中兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在線段AC,BC±.直接

寫出符合設(shè)計(jì)要求的矩形周長(zhǎng)的最大值.

LK

22

9.(2024?河北)如圖，拋物線G：y=^-2x過(guò)點(diǎn)(4,0),頂點(diǎn)為Q.C2:y=-1(x-r)+|r-2(其

中f為常數(shù)，且，＞2),頂點(diǎn)為尸.

(1)直接寫出。的值和點(diǎn)。的坐標(biāo).

(2)嘉嘉說(shuō)：無(wú)論f為何值，將C1的頂點(diǎn)。向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后一定落在C2上.

淇淇說(shuō)：無(wú)論f為何值，C?總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn).

請(qǐng)選擇其中一人的說(shuō)法進(jìn)行說(shuō)理.

(3)當(dāng)f=4時(shí)，

①求直線尸。的解析式；

②作直線///PQ,當(dāng)/與C?的交點(diǎn)到x軸的距離恰為6時(shí)，求/與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(4)設(shè)。與C?的交點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為乙，乙，且引〈演，點(diǎn)〃在G上，橫坐標(biāo)為機(jī)(2鼓弧/).點(diǎn)

N在C2上，橫坐標(biāo)為強(qiáng)女0,若點(diǎn)M是到直線尸。的距離最大的點(diǎn)，最大距離為1，點(diǎn)N到直線尸。

的距離恰好也為d,直接用含f和沉的式子表示".

10.(2024?南充)已知拋物線yn-V+fcr+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),5(3,0).

(1)求拋物線的解析式.

(2)如圖1,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)尸為線段OC上一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，直線分別交拋

q

物線于點(diǎn)E,D,設(shè)面積為S1,APSE面積為，，求」的值.

*

(3)如圖2,點(diǎn)K是拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K的直線(不與對(duì)稱軸重合)與拋物線交于點(diǎn)加，

N,過(guò)拋物線頂點(diǎn)G作直線///%軸，點(diǎn)。是直線/上一動(dòng)點(diǎn).求QM+QN的最小值.

11.(2024?連云港)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=or2+bx-l(a、b為常數(shù)，o>0).(1)若

拋物線與x軸交于4-1,0)、3(4,0)兩點(diǎn)，求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖，當(dāng)少=1時(shí)，過(guò)點(diǎn)C(-l,a)、D(l,a+20)分別作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)M、N,連接MN、

MD.求證：MD平分NCMN；

(3)當(dāng)。=1,-2時(shí)，過(guò)直線y=x-l(瓚Jc3)上一點(diǎn)G作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)H.若G”的

最大值為4,求b的值.

12.(2024?甘孜州)【定義與性質(zhì)】

如圖，記二次函數(shù)y="(X-bp+c和y=-a{x-+“5*0)的圖象分別為拋物線C和C「

定義：若拋物線G的頂點(diǎn)Q(p，q)在拋物線C上，則稱C1是C的伴隨拋物線.

性質(zhì)：①一條拋物線有無(wú)數(shù)條伴隨拋物線；

②若G是。的伴隨拋物線，則c也是G的伴隨拋物線，即。的頂點(diǎn)尸(仇C)在G上.

【理解與運(yùn)用】

(1)若二次函數(shù)y=-g(x-2)2+機(jī)和y=-g(x-ar+；的圖象都是拋物線y=的伴隨拋物線，則

m=,n=.

【思考與探究】

(2)設(shè)函數(shù)、=爐-2依+4Z+5的圖象為拋物線C2.

①若函數(shù)>=-^+公+e的圖象為拋物線c0,且C2始終是C。的伴隨拋物線，求d,e的值；

②若拋物線與無(wú)軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)(%，。)，(尤2，0)(%<%)，請(qǐng)直接寫出王的取值范圍.

備用圖

三.三角形綜合題(共4小題)

13.(2024?新疆)【探究】

(1)已知△ABC和△ME都是等邊三角形.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在上時(shí)，連接CE.請(qǐng)?zhí)骄緾4,CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接CE.請(qǐng)?jiān)俅翁骄俊?,CE和CD之間的數(shù)量關(guān)系，并

說(shuō)明理由.【運(yùn)用】

(2)如圖3,等邊三角形中，AB=6,點(diǎn)E在AC上，(3=2/.點(diǎn)。是直線3。上的動(dòng)點(diǎn)，連接

DE,以DE為邊在DE的右側(cè)作等邊三角形DEF,連接CF.當(dāng)△CEF為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出

的長(zhǎng).

E

AA、AA

圖1圖2圖3備用圖

14.(2024?重慶)如圖，在AABC中，AB=6,3c=8,點(diǎn)P為他上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PQ//BC交AC于

點(diǎn)Q.設(shè)好的長(zhǎng)度為尤，點(diǎn)P,。的距離為％,AABC的周長(zhǎng)與AAPQ的周長(zhǎng)之比為％.

(1)請(qǐng)直接寫出為,分別關(guān)于尤的函數(shù)表達(dá)式，并注明自變量尤的取值范圍;

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)必，%的圖象；請(qǐng)分別寫出函數(shù)M，必的一條性質(zhì);

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出必時(shí)x的取值范圍.(近似值保留一位小數(shù)，誤差不超過(guò)02)

81--一：

7：

6■—r—r-t—,?—?—,—,—?—!

5------------------------1-------11-1

4---r--r--T--T-"i---!-------J!；-

3——?—?

2?—；—；—:

1)---1---:

0\123456789

15.(2024?寧夏)綜合與實(shí)踐

如圖1,在AABC中，80是NABC的平分線，BD的延長(zhǎng)線交外角/C4M的平分線于點(diǎn)E.

【發(fā)現(xiàn)結(jié)論】

結(jié)論1:/4￡8=NACB；

結(jié)論2：當(dāng)圖1中44cB=90。時(shí)，如圖2所示，延長(zhǎng)BC交鉆于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)E作的垂線交陟于點(diǎn)G,

交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)則AE與EG的數(shù)量關(guān)系是—.

【應(yīng)用結(jié)論】

(1)求證：AH=GF；

(2)在圖2中連接F”，AG,延長(zhǎng)AG交FH于點(diǎn)N,補(bǔ)全圖形，求證:FN=NH+y/2AE.

16.(2024?吉林)如圖，在△ABC中，NC=90。，4=30。，AC3cm,AD是△ABC的角平分線.動(dòng)

點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以上cni/s的速度沿折線AD-DB向終點(diǎn)3運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作PQ//A3,交AC于點(diǎn)Q,

以尸。為邊作等邊三角形PQE,且點(diǎn)C,E在尸。同側(cè).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f(s)Q>0),△PQE與△ABC

重合部分圖形的面積為S(a/).

(1)當(dāng)點(diǎn)尸在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷△AP。的形狀(不必證明)，并直接寫出AQ的長(zhǎng)(用含f的代數(shù)

式表示).

(2)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，求f的值.

(3)求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出自變量f的取值范圍.

四.正方形的性質(zhì)(共1小題)

17.(2024?南通)如圖，在RrZXABC中，ZACB=90°,AC^BC=5.正方形DEFG的邊長(zhǎng)為6,它

的頂點(diǎn)D,E,G分別在△ABC的邊上，則BG的長(zhǎng)為

五.四邊形綜合題（共13小題）

18.（2024?蘭州）綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景.探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何問(wèn)題.如圖，在4

ABC中，點(diǎn)、M,N分別為AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且=

【初步嘗試】（1）如圖1,當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，小顏發(fā)現(xiàn)：將M4繞點(diǎn)〃逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到ME>,

連接BD,則MN=DB,請(qǐng)思考并證明；

【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究:如圖2,在△MC中，AB=AC,ZBAC=90°,

AE1MN于點(diǎn)、E,交8C于點(diǎn)F,將M4繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到MD,連接ZM,DB.試猜想四邊

形人說(shuō)的形狀，并說(shuō)明理由；

【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3,在△ABC中，AB=AC=4,44c=90。，連接3N,

CM,請(qǐng)直接寫出BN+CM的最小值.

19.（2024?長(zhǎng)春）【問(wèn)題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)遇到一個(gè)幾何問(wèn)題：如圖①，在等邊△MC中，

AB=3,點(diǎn)M、N分別在邊AC、3c上，且=試探究線段MN長(zhǎng)度的最小值.

【問(wèn)題分析】小明通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，再通過(guò)定角發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)

動(dòng)路徑，進(jìn)而解決上述幾何問(wèn)題.

【問(wèn)題解決】如圖②，過(guò)點(diǎn)C、M分別作MN、的平行線，并交于點(diǎn)尸，作射線釬.

在【問(wèn)題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問(wèn)題：

（1）證明：AM=MP；

（2）NG4P的大小為度，線段長(zhǎng)度的最小值為.

【方法應(yīng)用】某種簡(jiǎn)易房屋在整體運(yùn)輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理，如圖③.小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)

據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，△ABC是等腰三角形，四邊形3CDE是矩形，AB=AC=CD=2^z,

NACB=30。.MN是一條兩端點(diǎn)位置和長(zhǎng)度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點(diǎn)”在AC上，點(diǎn)N在上上.在調(diào)整

鋼絲繩端點(diǎn)位置時(shí)，其長(zhǎng)度也隨之改變，但需始終保持40=QN.鋼絲繩長(zhǎng)度的最小值為一米.

20.（2024?泰安）綜合與實(shí)踐

為了研究折紙過(guò)程蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)進(jìn)行了數(shù)學(xué)折紙?zhí)骄炕顒?dòng).

【探究發(fā)現(xiàn)】

（1）同學(xué)們對(duì)一張矩形紙片進(jìn)行折疊，如圖1,把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好

落在矩形的一邊CD上，折痕為防，將紙片展平，連結(jié)3G.砂與33相交于點(diǎn)H.同學(xué)們發(fā)現(xiàn)圖形中

四條線段成比例，即竺=絲，請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由.

BGBC

【拓展延伸】

（2）同學(xué)們對(duì)老師給出的一張平行四邊形紙片進(jìn)行研究，如圖2,是平行四邊形紙片ABCD的一條對(duì)

角線，同學(xué)們將該平行四邊形紙片翻折，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)”都落在對(duì)角線上，折痕

分別是3E和ZJF.將紙片展平，連結(jié)EG,FH,FG.同學(xué)們探究后發(fā)現(xiàn)，若FG//CD,那么點(diǎn)G恰

好是對(duì)角線的一個(gè)“黃金分割點(diǎn)”，即3G請(qǐng)你判斷同學(xué)們的發(fā)現(xiàn)是否正確，并說(shuō)明理由.

21.（2024?山東）一副三角板分別記作AASC和ADEF,其中NABC=ND￡F=90。，N」BAC=45。，

ZEDF=30°,AC=DE.作于點(diǎn)M,ENLDF于點(diǎn)、N,如圖1.

備用圖

(1)求證：BM=EN；

（2）在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個(gè)三角形按如圖2所示的方式放置，點(diǎn)C與點(diǎn)E重合記為C,點(diǎn)A與

點(diǎn)。重合，將圖2中的ADCR繞。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)c后，延長(zhǎng)用0交直線小于點(diǎn)P.

①當(dāng)a=30。時(shí)，如圖3,求證：四邊形為正方形；

②當(dāng)30。<&<60。時(shí)，寫出線段MP,DP,CD的數(shù)量關(guān)系，并證明；當(dāng)60。<1<120。時(shí)，直接寫出線段

MP,DP,CD的數(shù)量關(guān)系.

22.(2024?吉林)小明在學(xué)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)四邊形面積與對(duì)角線存在關(guān)聯(lián)，下面是他的研究過(guò)程:

【探究論證】

(1)如圖①，在AABC中，AB=BC,BD±AC,垂足為點(diǎn)Z).若CD=2,BD=1,貝!I5AAsc=

(2)如圖②，在菱形Ab。。中，AC=4,BD=2,則S菱形?B，。。，=

(3)如圖③，在四邊形￡7朽”中，EG±FH,垂足為點(diǎn)O.

右EG—5，F(xiàn)H—3,則S四邊形EFGH=

若EG=a,FH—bi猜想S四邊形EFGH與。，b的關(guān)系，并證明你的猜想.

【理解運(yùn)用】

如圖④，在AMAK中，MN=3,KN=4,MK=5,點(diǎn)P為邊MN上一點(diǎn).小明利用直尺和圓規(guī)分四步

作圖；

(i)以點(diǎn)K為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交邊KN,KM于點(diǎn)R,I；

(ii)以點(diǎn)P為圓心，依長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)T；

(iii)以點(diǎn)1為圓心，小長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)R,點(diǎn)R,K在跖V同側(cè);

(iv)過(guò)點(diǎn)尸畫射線根，在射線府上截取尸。=儂，連接KP,KQ,MQ.

請(qǐng)你直接與出S四邊形MPK2的值.

23.（2024?鹽城）如圖1,E、F、G、H分別是5co各邊的中點(diǎn)，連接AF、CE交于點(diǎn)M,連接

AG,CH交于點(diǎn)N,將四邊形AMCN稱為口ABCZ）的“中頂點(diǎn)四邊形”.

A

M□:

圖1圖2圖3

（1）求證：中頂點(diǎn)四邊形AMOV為平行四邊形;

（2）①如圖2,連接AC、BD交于點(diǎn)O,可得M、N兩點(diǎn)都在上，當(dāng)口ABCD滿足時(shí)，中頂點(diǎn)

四邊形AMCN是菱形；

②如圖3,己知矩形40CN為某平行四邊形的中頂點(diǎn)四邊形，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出該平行四邊

形.（保留作圖痕跡，不寫作法）

24.（2024?日照）如圖，以nABCD的頂點(diǎn)3為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)、E,再分別以點(diǎn)4,

E為圓心，大于工AE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)尸，畫射線3尸，交AD于點(diǎn)G,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

2

H.

（1）由以上作圖可知，N1與N2的數(shù)量關(guān)系是；

(2)求證：CB=CH；

(3)若鈣=4,AG=2GD,ZABC=60°,求△3S的面積.

25.(2024?青島)如圖①，用△ABC中，ZACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,Rf△EDF中,ZEDF=90°,

DE=DF=6cm,邊3c與fD重合，且頂點(diǎn)E與AC邊上的定點(diǎn)N重合.如圖②，△￡/方從圖①所示位

置出發(fā)，沿射線NC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lc〃z/s；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)O從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速

度為2cm/s.EF與BC交于點(diǎn)、P,連接OP,OE.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r(s)(0<f,,g).解答下列問(wèn)題：

(2)設(shè)四邊形PCEO的面積為S,求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

(3)如圖③，過(guò)點(diǎn)。作交AC于點(diǎn)Q,△AO”與△AOQ關(guān)于直線至對(duì)稱，連接是

否存在某一時(shí)刻t,使PO//BH?若存在,求出f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

26.(2024?甘孜州)如圖，在四邊形ABCD中，ZA=90°,連接過(guò)點(diǎn)。作6￡_19，垂足為E,CE

交BD于點(diǎn)F,Z1=ZABC.

(1)求證：Z2=Z3；

(2)若N4=45。.

①請(qǐng)判斷線段BC,的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②若5C=13,AD=5,求跖的長(zhǎng).

27.（2024?通遼）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某小組將一個(gè)含45。的三角尺和一個(gè)正方形紙板ABCE＞如圖1擺放，

若AE=1,AB=2.將三角尺AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)e（0啜h90。）角，觀察圖形的變化，完成探究

活動(dòng).

【初步探究】

如圖2,連接BE,。戶并延長(zhǎng)，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G,3G交AD于點(diǎn)

問(wèn)題1鴕和小的數(shù)量關(guān)系是—，位置關(guān)系是—.

【深入探究】

應(yīng)用問(wèn)題1的結(jié)論解決下面的問(wèn)題.

問(wèn)題2如圖3,連接BD,點(diǎn)O是的中點(diǎn)，連接Q4,OG.求證Q4=OD=OG.

【嘗試應(yīng)用】

問(wèn)題3如圖4,請(qǐng)直接寫出當(dāng)旋轉(zhuǎn)角a從0。變化到60。時(shí)，點(diǎn)G經(jīng)過(guò)路線的長(zhǎng)度.

F

GFGG

ADAD

BCBC

圖2圖3

28.(2024?揚(yáng)州)如圖，點(diǎn)A、B、M、E、方依次在直線/上，點(diǎn)A、6固定不動(dòng)，且AB=2,分別

以AB、￡F為邊在直線,同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH,/PMN=90。,直角邊恒過(guò)點(diǎn)C,直

角邊恒過(guò)點(diǎn)H.

(1)如圖1,若BE=10,EF=12,求點(diǎn)/與點(diǎn)5之間的距離；

(2)如圖1,若跳：=10,當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)5、石之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，求的最大值；

(3)如圖2,若BF=22,當(dāng)點(diǎn)石在點(diǎn)5、尸之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng)，連接C",點(diǎn)。是C"的中

點(diǎn)，連接HB、MO,則+的最小值為.

圖1

29.（2024?青海）綜合與實(shí)踐

順次連接任意一個(gè)四邊形的中點(diǎn)得到一個(gè)新四邊形，我們稱這個(gè)新四邊形為原四邊形的中點(diǎn)四邊形.數(shù)學(xué)

興趣小組通過(guò)作圖、測(cè)量，猜想：原四邊形的對(duì)角線對(duì)中點(diǎn)四邊形的形狀有著決定性作用.

以下從對(duì)角線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩個(gè)方面展開探究.

如圖1,在四邊形ABCE＞中，E、F、G、H分別是各邊的中點(diǎn).

求證：中點(diǎn)四邊形EFGH是平行四邊形.

證明：?:E、F、G、”分別是AB、BC、CD、的中點(diǎn)，

:.EF,GH分別是△口(?和△ACD的中位線，

:.EF=^AC,GH=^AC(?).

:.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

：,中點(diǎn)四邊形￡FGH是平行四邊形.

結(jié)論：任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形.

(1)請(qǐng)你補(bǔ)全上述過(guò)程中的證明依據(jù)①.

【探究二】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

A

不相等、不垂直平行四邊形—?

AC=BD菱形

D：

---1

c

圖2

從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想I：原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形.

(2)下面我們結(jié)合圖2來(lái)證明猜想I,請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過(guò)程.

【探究三】

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

不相等、不垂直平行四邊形

AC-LBD②

圖3

(3)從作圖、測(cè)量結(jié)果得出猜想n：原四邊形對(duì)角線垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是②.

(4)下面我們結(jié)合圖3來(lái)證明猜想II,請(qǐng)你在探究一證明結(jié)論的基礎(chǔ)上，寫出后續(xù)的證明過(guò)程.

【歸納總結(jié)】

(5)請(qǐng)你根據(jù)上述探究過(guò)程，補(bǔ)全下面的結(jié)論，并在圖4中畫出對(duì)應(yīng)的圖形.

原四邊形對(duì)角線關(guān)系中點(diǎn)四邊形形狀

③④r???????

????????

????????

????????

????????

1-----+--1---1

????????

????????

????????

????????

L___L____X_____J___J______1___|___I

11111111

11111111

!__________________________!_____?_____<_____?

11111111

11111111

1_____L____1_____1_____1______1_____1______1

11111111

11111111

11111111

圖4

結(jié)論：原四邊形對(duì)角線③—時(shí)，中點(diǎn)四邊形是④.

30.(2024?包頭)如圖，在nABCD中，NABC為銳角，點(diǎn)E■在邊AD上，連接BE,CE,且％=SADCE.

(1)如圖1,若尸是邊BC的中點(diǎn)，連接所，對(duì)角線AC分別與3E,毋相交于點(diǎn)G,H.

①求證：〃是AC的中點(diǎn)；

②求AG:G〃:HC；

(2)如圖2,助的延長(zhǎng)線與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)“，連接AW,CE的延長(zhǎng)線與AA1相交于點(diǎn)N.試

探究線段AM與線段AV之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

'M

六.切線的判定與性質(zhì)（共1小題）

31.（2024?淮安）如圖，在△MC中，BA=BC,以至為直徑作交AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)。作DE_LBC,

垂足為E,延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

（1）求證：OF為。。的切線；

（2）若BE=1,BF=3,求sinC的值.

七.三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）

32.（2024?綿陽(yáng)）如圖，在矩形MCD中，點(diǎn)E在A3上運(yùn)動(dòng)，△ADE的內(nèi)切圓與DE相切于點(diǎn)G,將4

ADE沿DE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接當(dāng)點(diǎn)E恰為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A）時(shí)，且EG=百-1,

DG=y/5+l,貝UcosZABF^.

八.正多邊形和圓（共1小題）

33.（2024?淮安）如圖，點(diǎn)尸是正六邊形ABCD跖的邊AB的中點(diǎn)，一束光線從點(diǎn)P出發(fā)，照射到鏡面EF

上的點(diǎn)。處，經(jīng)反射后恰好經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C.已知正六邊形的邊長(zhǎng)為2,則EQ=—.

九.圓的綜合題（共4小題）

34.（2024?綿陽(yáng)）如圖，為△回（?的外接圓，弦CDLM,垂足為E,直徑酬交CD于點(diǎn)G,連接

AF,AD.若AB=AC=5,BC=2舊.

（1）證明：四邊形AZX蘇為平行四邊形；

（2）求變的值；

AD

（3）求sinNC4p的值.

By——、

35.（2024?德州）如圖，圓。已與。C都經(jīng)過(guò)A，6兩點(diǎn)，點(diǎn)2在上，點(diǎn)。是人。25上的一點(diǎn)，連

接AC并延長(zhǎng)交。。2于點(diǎn)P，連接鉆，BC,BP.

(1)求證：ZACB=2/P；

(2)若ZP=30°,AB=273.

①求O。］的半徑；

②求圖中陰影部分的面積.

36.(2024?常州)對(duì)于平面內(nèi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形，若將其中一個(gè)圖形沿著某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離d后

與另一個(gè)圖形重合，則稱這兩個(gè)圖形存在“平移關(guān)聯(lián)”，其中一個(gè)圖形叫做另一個(gè)圖形的“平移關(guān)聯(lián)圖形”.

(1)如圖1,B、C、。是線段AE的四等分點(diǎn).若AE=4,則在圖中，線段AC的“平移關(guān)聯(lián)圖形”是一，

d=—(寫出符合條件的一種情況即可)；

(2)如圖2,等邊三角形的邊長(zhǎng)是2.用直尺和圓規(guī)作出△回(?的一個(gè)“平移關(guān)聯(lián)圖形”，且滿足d=2

(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；

(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)。、E、G的坐標(biāo)分別是(-1,0)、(1,0)、(0,4),以點(diǎn)G為圓

心，r為半徑畫圓.若對(duì)0G上的任意點(diǎn)尸，連接/宏、EF、FD所形成的圖形都存在“平移關(guān)聯(lián)圖形”，

且滿足d..3,直接寫出r的取值范圍.

G

DE

ABCDEO-x

（圖1）（圖2）（S3）

37.（2024?廣西）如圖，已知0O是AABC的外接圓,=.點(diǎn)D,E分別是BC,AC的中點(diǎn)，連

接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)/，使DE=EF,連接AF.

（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；

（2）求證：AF與。。相切；

（3）若tan/BAC=—,BC=12,求0。的半徑.

一十.作圖一復(fù)雜作圖（共1小題）

38.（2024?天津）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,F,G均在格點(diǎn)上.

（/）線段AG的長(zhǎng)為；

（〃）點(diǎn)E在水平網(wǎng)格線上，過(guò)點(diǎn)A,E,尸作圓，經(jīng)過(guò)圓與水平網(wǎng)格線的交點(diǎn)作切線，分別與AE,AF

的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)3,C,ZXABC中，點(diǎn)M在邊BC上，點(diǎn)N在邊上，點(diǎn)尸在邊AC上.請(qǐng)用無(wú)刻

度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)M,N,尸，使△ACVP的周長(zhǎng)最短，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)N,P

的位置是如何找到的（不要求證明）—.

一十一.翻折變換（折疊問(wèn)題）（共5小題）

39.（2024?淮安）如圖，在nABCD中，AB=2,BC=3,ZB=60°,尸是3c邊上的動(dòng)點(diǎn)（2尸＞1）,將

△形尸沿AP翻折得△的2，射線P8f與射線4）交于點(diǎn)E.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.當(dāng)時(shí)，Bk=BE

B.當(dāng)點(diǎn)夕落在AD上時(shí)，四邊形A5P8是菱形

C.在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段AE的最小值為2

D.連接則四邊形的面積始終等于LAPIB'

2

40.（2024?牡丹江）小明同學(xué)手中有一張矩形紙片ABCD,AD=12cm,CD=Wcm,他進(jìn)行了如下操作：

第一步，如圖①，將矩形紙片對(duì)折，使與BC重合，得到折痕MN,將紙片展平.

第二步，如圖②，再一次折疊紙片，把AADN沿AN折疊得到△ADW,AO交折痕MN于點(diǎn)E,則線段E?V

的長(zhǎng)為（）

24248

41.（2024?眉山）如圖，在矩形MCD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)￡1在DC上，把AADE沿AE折疊，點(diǎn)。

恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處，貝Ucos/CEF的值為（）

42.（2024?自貢）如圖，在矩形ABCD中，AF平分/朋C,將矩形沿直線砂折疊，使點(diǎn)A,3分別落

在邊"＞、3c上的點(diǎn)4,8處，EF,A/分別交AC于點(diǎn)G,H.若GH=2,HC=8,則3尸的長(zhǎng)

為（）

A工B*C.巫D.5

992

43.（2024?常州）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=4,。是邊AC的中點(diǎn)，E是邊BC

上一點(diǎn)，連接BO、DE.將ACDE沿/走翻折，點(diǎn)。落在班）上的點(diǎn)尸處，則CE=.

44.（2024?徐州）如圖，在wWCD中，AB=6,AD=10,NS4D=60。，P為邊AS上的動(dòng)點(diǎn).連接PC,

將PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到PE,過(guò)點(diǎn)石作跖/〃