浙江省寧波市鎮(zhèn)海2023-2024學(xué)年高一年級上冊數(shù)學(xué)期末試卷

浙江省寧波市鎮(zhèn)海名校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷

姓名:班級:考號:

題號——四總分

評分

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

L皿誓)

AB.1C—6D.V3

-?-T百

2.已知|雨|=V2()1!=1，且瓦麗的夾角為孚，則|荏|=（

A.1B.V3C.2D.

3.為了得到y(tǒng)=sin（5久一與）的圖象,只要將函數(shù)y=sin5》的圖象（)

A.向右平移點個單位長度B.向左平移含個單位長度

C.向右平移與個單位長度D.向左平移管個單位長度

4.已知同=2舊歷|，且滿足@b）知，貝皈在石上的投影向量為（)

A.y/3bB.-V3bC.3bD.-3b

5.已知tcm(a—則cos2a+sin2a+2=()

9

ABC.D.2

-i.I5

2tan^-

6.若a=(*)L2,b=cos2-^-sin2^,c則（）

l+tan24f)

O

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

7.在△4BC中，點。為AC邊上的中點，點E滿足就=3麗，點P是直線B￡>,4E的交點，過點P做一條直

線交線段AC于點M,交線段BC于點N（其中點M,N均不與端點重合）設(shè)麗=mCA,CN=nCB,則m+n

的最小值為（）

A4+V3a4+2右C16

B--ID.丁

8.已知cos(140。-a)+sinQlO。+a)=si?i(130。-a),求tana=()

A.孚B.VC.V3D.-V3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得5分，部分選對的得2分，全部選錯的得。分.

9.已知函數(shù)f（x）=2s譏（2%+v）+1,則下列說法正確的是（）

1

A.相位為2x+看

B.對稱中心為（-Y2+k兀，0），kGZ

C.函數(shù)/（久）的單調(diào)遞減區(qū)間是（—+k兀，/+卜兀），kEZ

D.將函數(shù)y=/（久）圖象上的所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=2s沆（久+看）+1

的圖象

10.下列說法正確的是（）

A.已知優(yōu)石為平面內(nèi)兩個不共線的向量，則伍+丸-五+3豆可作為平面的一組基底

B.a//b,則存在唯一實數(shù)入，使得力=高

C.兩個非零向量優(yōu)b,若|2五+3固=一2同+3瓦則五與石共線且反向

D.AABC中，AB-AC^^\AB\\AC\,（荏一前）.（彳g+而）=0，則△ABC為等邊三角形

11.已知函數(shù)/Q）=cos2x+』-,則下列說法正確的是（）

八，COSX

A./（%）的最小正周期為兀

B./（汽）為偶函數(shù)

C./（%）的圖象關(guān)于（m1）對稱

D./（%）的值域為（一8,-3]U[5,+oo）

\loa2（—x）|,-4<%<0

12.已知函數(shù)/（%）=]yr，若g（%）=/（%）-t（t>0）W2n個零點，記為不，x2,…,

+0<%<24

%2九-1，X2九，且欠1V%2<…<%2九-1<%2九，則下列結(jié)論正確的是（）

A.tG(0,2)

B.%1+%2￡（—8,-2）

C.%3%4e（12,苧）

D.%3+2（%4++,??+%2九-1）+%2幾=182

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知一個扇形的面積和弧長均為兀，則該扇形的圓心角為.

14.設(shè)瓦，石為兩個單位向量，且〈瓦，石）=手，若瓦+碣與3瓦+4石垂直，則入=.

15.已知sm6+要）=*,且％6（兀，2兀），則cosQ+苧）=.

16.函數(shù)/（%）=sin（3》+3g）—2sin0cos（3%+2R）（o）>0,0<（p<TT）,設(shè)T為函數(shù)f（%）的最小正周期,

心=去且函數(shù)/（久）在（兀，2兀）上單調(diào)，則3的取值范圍為.

2

四'解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明'證明過程和演算步驟.

17.單位向量優(yōu)I滿足0+2母?@一1)=一,

(1)求行與石夾角的余弦值:

(2)若照+3與五+3石的夾角為銳角，求實數(shù)上的取值范圍.

si?i(37r—a)cosg+a)cos(27r—a)tanfjr—a)

18.已知/(a)=一,.」「3兀

cos(7r+a)sin(—cr)sin(^+a)tanQ—n—a)

(1)化簡f(a);

(2)若a￡(—0),且滿足/(a)+/；)=—學(xué)，求:cos2a

72sin(er+^)的值.

19.如圖所示，鎮(zhèn)海中學(xué)甬江校區(qū)學(xué)生生活區(qū)(如矩形/BCD所示)，其中。為生活區(qū)入口.已知有三條路4B,

BC,AD,路AD上有一個觀賞塘T,其中2T=300M,路BC上有一個風(fēng)雨走廊的入口3其中BL=200m.

現(xiàn)要修建兩條路。7,0L,修建。T,。4費用成本分別為2入/6，3入/zn.設(shè)NT04=a.

0B

3

(1)當(dāng)20=600m,B。=200小時，求張角ZTOL的正切值；

(2)當(dāng)。71。4時，求當(dāng)a取多少時，修建。T,。4的總費用最少，并求出此的總費用.

20.已知向量五=(1,2),b=(cosa,sina),c=(—1,0).

(1)求歷+國的最大值，并求此時a的值；

(2)若ae(0,求五方的取值范圍.

21.如圖是函數(shù)/(%)=4s譏(3%+⑴)的部分圖象，其中3>0,0<9<加其中B為圖象最高點，C,。為圖象

與工軸的交點，且△BCD為等腰直角三角形，|CD|=2,▲.(從下面三個條件中任選一個，補充在橫

線處并解答)

①/(%+分=/(-x+羽；②/(%-辦是奇函數(shù)；③/0)=孝

(1)求函數(shù)/(%)的解析式;

(2)設(shè)g(%)=f{~x+不等式msin2x—g(%)<4—6m對于VxGR恒成立，求m的取值范圍.

22.函數(shù)/(%)=2sin2x+2|2sin(x+^)-t|+t+2,最大值為M(t),最小值為m(t).

(1)設(shè)g(t)=M(t)—zn(t),求g(t)；

(2)設(shè)seR,若|/(%)+s|46對％6R恒成立，求s+t的取值范圍.

答案解析部分

1.【答案】A

［解析］［解答］解：cos20：4"=COS(674X；+2)兀_cos(674兀+竽)=cos竽=一去

故答案為：A.

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡求值即可.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：因為荏=礪一就，

所以|荏|2=-01)2=礪2—20B-0A+0A2=1-2xV2x1xcos苧+2=5,即|荏|=V5.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)向量的減法運算可得荏=旗-雨，再兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的運算求解即可.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：函數(shù)y=s比(5%-/)=sin5(x-/)，故為了得到y(tǒng)=si"(5K一的圖象，

只要將函數(shù)y=sin5x的圖象向右平移點個單位長度即可.

故答案為：A.

【分析】先將5x-今寫成5Q-患)的形式，再根據(jù)函數(shù)的圖象“左加右減”的原則，比較前后變化即可得平移

變換的方向與長度.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：因為同=2遮網(wǎng)，〈方力)=,，

一

b回TT

-一s57Tb=3b

所以方在石上的投影向量為mcos位力〉一--

網(wǎng)co6

面

故答案為：D.

【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.

5.【答案】C

【解析】【解答】解：因為汝71(”羽=今所以魯舒解得tana=3,

2■7cos2q—sin2a_1—tan2a_4

cos2a=cosza—sin4a=

cos2a+sin2a1+tan2a5’

2sincrcosa_2tana_3

sin2a=2sinacosa=

cos2a+sin2a1+tan2a5’

,43Q

故zcos2a+sin2a+2=一耳+耳+2=耳.

故答案為：C.

【分析】利用兩角差的正切公式結(jié)合tan(a-求出tana的值，再利用余弦、正弦的二倍角公式將

6

sin2a,cos2a展開后構(gòu)造成齊次式，將弦轉(zhuǎn)化為正切代入求解即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：?=

b=COS2令-S譏2僉=COS（2X$）=cos看=吟;

2tan穿cos萼2s譏穿cos穿33/2

=E=早濾”47r7=7r冬A

即a<c<6.

故答案為：B.

【分析】利用同角三角函數(shù)的關(guān)系，二倍角的正弦、余弦公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)，化簡后比較大小即可.

7.【答案】B

【解析】【解答】解：過點E作EF||AC交BD于點F,連接CP（如圖所示）,

則△EFPS^ADP,故笠=器，

由于點。為4C邊上的中點，故4D=CD,

前=3就,故餐=與又ABEFSABCD，故需=器巖，故%=需=?

則麗=CA+AP=CA+=CA+^（CE-CA）=|C\4+|X=^CA+1國

由于函=小刀，CN^nCB,故而=J-而+j-麗，

5m5n

因為M,P,N三點共線，所以［+言=1,

所斫？以J血+In—=（-（6+In、）/（航1+|3麗、）_=耳4+T前I+3翁m、24耳+021l~航n3?m翁_=4『+2乃-'

當(dāng)且僅當(dāng)要=皆，3-+m=1,即巾=4回/=注色時等號成立，

5m5n5m5n,,L5,,L5

故TH+71的最小值為生察1.

故答案為：B.

【分析】過點E作EFIIAC交30于點乩連接CP,由題意結(jié)合三角形相似推出笠=%再利用向量的線性

7

運算推出而魯麗，推出而=3-而麗，最后根據(jù)三點共線可得利用基本不等式

555m5n5m5n

即可求m+n的最小值.

8.【答案】D

【解析】【解答】解：由題意知，cos(140。一a)+sm(110°+a)=s譏(130?！猘)

cos(180°—(40°+a))+s譏(90°+20°+a)=sm(90°+40°—a)

即一cos(40。+a)+cos(20°+a)=cos(40°—a),

故cos(20°+a)=cos(40°—a)+cos(400+a),

即cos20°cosa—sin20°sina=2cos40°cosa,

故cos20°cosa—2cos40°cosa=sin20°sina,

pn_sina_cos20°—2cos40°_cos(30°—10°)-2cos(30°+10°)

1tana=cosa=sln20^=而赤

_-^cosl0°+|sinl0°_V3sin(10°-30°)_-V3sin20°_艮

故答案為：D.

【分析】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡原式可得cos(20°+a)=cos(40。一a)+cos(40。+a),再利用兩角和差的

余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系化簡可得tana=空”雜理，最后利用三角恒等變換，化簡求值即可.

sin20°

9.【答案】A,D

【解析】【解答】解：A、因為函數(shù)fO)=2sin(2x+，)+l,所以相位為2x+卷故A正確；

B、函數(shù)/(x)=2sin(2%+看)+1,由2%+看=eZ,可得尤=一強+/兀,keZ

故函數(shù)f(x)的對稱中心為(-金+聶兀,l),kGZ,故B錯誤；

C、由多+2/OT〈2x+看W竽+2而加CZ,可得看+々兀〈久〈竽+GZ,

即函數(shù)fO)的單調(diào)遞減區(qū)間為啥+k兀片+時流ez,故C錯誤；

D、將函數(shù)y=f(x)圖象上的所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得函數(shù)f(x)=2sin(久+看)+1,

故D正確.

故答案為：AD.

【分析】根據(jù)Zsin(3x+w)+b的圖象和性質(zhì)即可判斷ABC；根據(jù)三家函數(shù)的圖象平移變換即可判斷D.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、因為向量優(yōu)行為平面內(nèi)兩個不共線的向量，

易知向量五+3與一方+3%不共線，所以m+工—3+3%｝可作為平面的一組基底，故A正確；

B、當(dāng)石06時，a//b,則存在唯一實數(shù)入，使得萬=五，故B錯誤；

C、設(shè)兩個非零向量行與石夾角為a,因為|23+3石|=一2同+3歷|，所以+12方.豆+疝2=4|司2一12同.

8

歷|+9的2，

即，?石=一|磯?歷I，解得cosa=-l,又因為aC[O,兀I，所以戊=兀，貝耍與另反向共線，故C正確；

D、在AABC中，AB-AC=^\AB\\AC\,則cosA=,因為AC（0,兀），所以/=全

由（而一硝?（荏+而）=0，得|荏/一|就產(chǎn)=0,即|彳§|=|而故AZBC為等邊三角形，故D正確.

故答案為：ACD.

【分析】利用基底的定義即可判斷A；利用向量共線定理即可判斷B；利用數(shù)量積的定義即可判斷CD.

11.【答案】B,D

44

【解析】【解答】解：A、因為fO+兀）=COS2A+7T）+cos（x+7T）=8s2%-而獲一/（久），所以兀不是函數(shù)/（%）

的最小正周期，故4錯誤；

B、要使函數(shù)/'（無）=cos2x+S^有意義，則COSX00,解得無片上兀+紅kEZ）,故函數(shù)/'（工）的定義域為{小片

7T

k.7i+eZ},

44

且滿足f（_x）=cos2（_尢）+cos（_%）=cos2久+而甚=f（x）,所以函數(shù)/'（尤）是偶函數(shù)，故B正確；

44

c、f（x）+f（2兀一久）=cos2x+而獲+cos2（2兀一久）+8$（2兀一久）=2/（尤）不是定值,故C錯誤；

424

D、f（x）—cos2xH-----=2coszxH-------1,

八,cosxcos%

、[/42231-72~

oo2

芻cosxE（COSH-------1=2cos21H------1-------1>32cos%-------------1=5，

'0,1」],22%cosxcosxcosx7cosxcosx

當(dāng)且僅當(dāng)2cos2%=—2—,即COS%=1時等號成立；

cosx

令t=cosxG[-1,0）,則g（t）=2t2+1-l,t￡[-1,0）,

由y=2t2,y=?在te[—L0）時均單調(diào)遞減，所以g（t）單調(diào)遞減，

又因為g（—1）=2—4—1=—3,所以g（t）W—3；即〃吟的值域為（―8,-3]U[5,+8）,故。正確.

故答案為：BD.

【分析】通過兀）與/（%）的關(guān)系即可判斷A；通過/（-久）與f（x）的關(guān)系即可判斷B；通過化簡了（工）+/（2兀-

%）與2的關(guān)系即可判斷C；利用均值不等式以及函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的值域，從而判斷D.

12.【答案】A,B,C,D

（\log（-x）\,-4<x<0

【解析】【解答】解：函數(shù)〃久）=L.2.n,兀"的圖象，如圖所示：

，'714ss（可%+不）,0<%<24

9

函數(shù)gQ）=/（%）-t（t〉0）的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/（久）的圖象與直線y=t的交點個數(shù)問題，

A、由圖象可知，當(dāng)t>4時，函數(shù)/'（X）的圖象與直線y=t有1個交點，不符合題意；

當(dāng)t=4時，函數(shù)/（久）的圖象與直線y=t有5個交點，不符合題意；

當(dāng)2<t<4時，函數(shù)/'（比）的圖象與直線y=t有9個交點，不符合題意；

當(dāng)0<t<2,即te（0,2）時，函數(shù)/（%）的圖象與直線y=t有10個交點，符合題意，故A正確;

B、由題意可知—4<<—1,—1<%2<0，滿足|，。。2（—工1）1=|，。。2（—x2）I,

則log2{-Xl）=-log2（-X2）,即2。92（_久1）+1。。2（一K2）=0］。02（一久1）（一％2）=0,

所以（一工1）（一X2）=L（—%1）+（—久2）〉2J（-％1）（—%2）=2,（久1豐久2），即％1+尤2<—2,即尤1+短6（一

00,-2）,故B正確；

C、由函數(shù)圖象可得%3+%4=8,犯6（2,芬故%3%4=刈（8—久3）=—（%3—4）2+16C（12,苧），故C正確；

D、由圖象可知/（%）的圖象與直線y=t有10個交點，即n=5,且％3,%4關(guān)于直線％=4對稱，故久3+久4=8,

同理得X4+=14,&+x6=20,X6+Xy=26,x7+久8=32,x8+=38,x<）+x10=44,

故久3+2（%4+%5HF%2n-l）+x2n=%3+2（%4+%5H--F久29）+%10

=8+14+20+26+32+38+44=182,故D正確，

故答案為：ABCD.

【分析】由題意，作出函數(shù)的圖象，將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為圖象圖象的交點個數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合，即可判斷A；

確定久1，%2的取值范圍，利用基本不等式即可判斷B；確定冷,%4的取值范圍和關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判

斷C；結(jié)合正弦函數(shù)圖象的對稱性即可判斷D.

13.【答案】J

【解析】【解答】解：設(shè)扇形的半徑為廠，弧長為/,由扇形面積公式可得S=J汗=兀，即「=孕=空=2,故

2In

該扇形的圓心角為,=生

YZ

故答案為：今

【分析】根據(jù)扇形的弧長、面積公式求解即可.

14.【答案】-1

【解析】【解答】解：因為瓦+聞與3瓦+4石垂直，所以（瓦+入石）?（3瓦+4萬）=0,即3瓦2+（4+3入）瓦.布+

10

4人石2=0,

又因為瓦，石為單位向量，且〈瓦，石）=苧，所以3+（4+3入）X1X1xcos等+4入=0,解得人=-卷

故答案為：-j.

【分析】根據(jù)向量瓦+入杳與3瓦+4芍垂直可得回+人石）?（3瓦+4萬）=0,再由題意結(jié)合數(shù)量積的運算求解

即可.

15.【答案】3+^f

【解析】【解答】解：因為久e（兀,2兀），所以尹蕓e（茶,要），又因為sg+笠）=*所以cos（*+招）=-

2店

丁，

則COS^X+券）=1—2s譏2G+笠）=1—2X（學(xué)）2=卷，

sin（x+雪）=2sin（5+蕓）郎?+笠）=-2x造x竽=一點

TC

E二/,3TT、rz,5兀、,Z5TT、7i.z5兀、.7131,4-733+4乃

么cos^xH—=cos［（%++W」=cos（x+y^JCOS—svn（x+=5X2+5X-2~——JQ

故答案為：韋色.

【分析】根據(jù)角的范圍，確定*+符的范圍，結(jié)合sin（*+笠）=善，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得cos（*+

笠）=_竽，再利用二倍角公式求出COSQ+駕）的值，以及s/Q+雪）的值，最后利用兩角和的余弦公式求

解即可.

117

16.【答案】（0,―］U［^,誦］

【解析】【解答】解：/（%）=sin（3%+3?）—2sin^cos（o）x+2（p）=sin［（o）x+2（p）+（p\—2sin^cos（o）x+2（p）

=sin（o）x+2?）cos0—cos（o）x+2（p）sin（p=sin（a）x+（p）,

因為f=*，所以sin（3x+（p）=2*/sin（^+<p）—ycosg=

結(jié)合。<9V",可得故f（%）=sin?%+3）在（兀,2兀）上單調(diào)，

7r（2k7l--^<6）71+5r1

若/（%）=$叭3%+工）在（區(qū)2"）上單調(diào)遞增，貝弘￡設(shè)/ceZ,即2k+與，kez,

J\2a）7i+^<2k7i+!2612

需滿足+所以而3>0,故k=0時，0<3W工；

o12IzIz

（2/CTT+y<（JL）TC+517

若/（、）=sin?%+.）在（兀2TT）上單調(diào)遞減，貝o,kGZ,即2/c+1W34/c+0，k￡Z,

§（2昕+號〈2也+￥612

需?兩足2/c+g<k+所以/c<而3>0,故k=。時，i<co<

61Z12oIZ

11

故3的取值范圍為為（0,務(wù)］U［|,^］.

故答案為：（0,人］U情，書］.

【分析】利用兩角和的正弦公式化簡可得/（x）=Sin（3%+8）,再結(jié)合/（1）=*求出參數(shù)0,最后分類討論函

數(shù)的單調(diào)性，列出相應(yīng)的不等式組求解即可.

17?【答案】⑴解：因為悶=區(qū)|=1，（a+2b）-（a-b）=-|,

所以蒼2+五?石—2京=一■|■,即1+五?石一2=一多則亦另='1,

則cos位，b）=即五與石夾角的余弦值：

冏網(wǎng)33

（2）解：因為kZ+另與五+3石的夾角為銳角，

所以（后+萬）?0+3萬）>0且雨+石與五+33不共線，

當(dāng)雨+石與五+3石共線時，有雨+石=入0+3石），即德+石=入3+3入加，

由（1）知五與環(huán)共線，所以#=或，解得k=5

11=3A3

所以當(dāng)kN+萬與方+3環(huán)共線時，k吟

由（而+匕）?（2+3b）>Of得ka2+（3k+l）a?b+3b2>0,

即/c+（3k+l）x@+3>0,解得k>—w

所以且k是，即實數(shù)k的取值范圍為（Y，+00）.

【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用向量的數(shù)量積公式求小武再由夾角公式求五與B夾角的余弦值即可;

（2）由題意得（4+石）.0+3石）>0且上方+萬與五+3萬不共線，從而得到關(guān)于k的不等式組求解即可.

sm（37r—cr）cos（5+a）cos（2n—a）tanfji—a）

18.［答案］（1）解：f（a）=四（兀+吶譏（_⑴譏律+附姐（一兀_戊）

siri^a-cosa-tana,

：=tana-

=-c--o--s--a-----s-i--n--a----c--o---s--a---t--a--n--a--

(2)解：/⑷+希廣一當(dāng)解得/'(a)=—3或一號，BPtana=-3或一生

cos2acos2q—sin2acos2cr—sin2a

~i=——-——=-=----f=------T=-----------=-：-------：------=cosa-sma

&sin(a+給々(孚sina+%osa)sma+cosa，

Jsma—

當(dāng)tana=-3時，且0),有,cosa~,解焦10

Vio

sin2a+cos2a=11cosa=-yg-

止匕時cosa—sina='

(./io

sincr__1sina=-亞

當(dāng)tana=—5時，且a￡(—冬，0),有)cosa-3，解得

3乙.72-1)_3國’

lsin"a+?cosza=1(cosa——jj-Q~

12

止匕時cosa—sina=-g—；

爐Icos2a_2/10

勿上夜sin(a+今)-5?

【解析】【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡即可；

(2)根據(jù)已知條件解出tana=-3或-%再利用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式化簡代入計算即可.

19.【答案】(1)解：設(shè)乙LOB=0,/?為銳角，貝！Jtan/?=寺曾=1;

設(shè)NTCM=a,貝!Jtana=器=J

故tanzTOL=tan[7T—(a+￡)]=—tan(a+0)

_tana+tan'____

-1—tanatanS-i-Lxl-；

⑵解：當(dāng)07_L0L時，Z.LOB=^-a,aE(0,*),

故OT=理，OL=200=200

次sinasing-a)-cosa9

3000、,200方,1,1sinct+coscr

設(shè)修建OT,OL的總費用為y,則y——x2入H-------x3入=600A,(-：F600人?

,sinacosa'sinacosa)sinacosa

設(shè)"sina+cosa,則t=V2sin(a+^)G(1,V2],則sinacosa=

,,「「2t

的y=60c0o入—sin：-a-+-c-o--sa-=60c0m入?--=1200入---1

伙/sinacosatz—lt—T19

LT

由于y=t—推(1,金]上單調(diào)遞增，故o<t—工三零，t=/時取得等號,

故y=1200A-亳1的最小值為120。入?方1=1200V2\

1t-T

此時t-V2,即a=%

故當(dāng)a=/時，修建OT,0L的總費用最少，最少為1200V2A.

【解析】【分析】(1)設(shè)=Z.TOA=a,根據(jù)圖形分別求出tan￡,tana,根據(jù)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式以及兩

角和的正切公式求解即可；

(2)當(dāng)。T1OL時，A0B=4-a,從而求出。T,OL的表達式，即可求得總費用的表達式，利用換元法，結(jié)

合函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

20.【答條】(1)解：a=(l,2),b=(cosa,sina)c=(-1,0>所以b+c=(cosa—1,sina)j

所以Ib+c\=Jcos2a_2cosa+1+sin2a=—2cosa，

當(dāng)cosa=-l時，歷+工|最大，此時歷+由=2，a=n+2kn,keZ

(2)解：a=(1,2),b=(cosa,sina),/.a?b=cosa+2sina=V5sin(a+(p)ftan0=*,cpE(0,5)

13

TTTT.

??1ae（0,a+0C（0,w+0）,設(shè)6=a+0易知。是第一象限角，故原式轉(zhuǎn)化為/'（9）=有sin?,結(jié)合

正弦函數(shù)性質(zhì)得/（。）在（0,*）上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，tan6=*,易知。是第一象限角，故sin?=^，a-b=l,

當(dāng)6=9+郢寸，sin?=2七產(chǎn)五不=逐*辿柒1=4+b，

J1U1UL

故/（e）e（i,1+V3）,即2?另e（i,1+V3）.

【解析】【分析】（1）利用平面向量的坐標(biāo)運算，求的1+杳再利用求模公式表示為關(guān)于cosa的函數(shù)，求最值

即可；

（2）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求范圍即可.

21.【答案】(1)解：???△BCD為等腰直角三角形，|CD|=2,A71=1,

且多=2,?**T==4,又3>0,??co=.

貝」/I(%)=sin(J^x+@).

選①，由/(%+*)=/(-％+*)，得函數(shù)/(%)的圖像關(guān)于直線％=4對稱，

則*X④+9=*+kn(kGZ),?,?R=今+kn(kGZ),丁0<0<兀，.

故函數(shù)/(%)的解析式為/(%)=sin(J^x+今).

(2)解：由(1)得g(%)=/(，％+*)=sin(%+*)=COSK,

???msin2%—g{x}<4—6m=msin2%—cos%—4+6m<0,

???mcos2x+cos%—7m+4>0對于V%ER恒成立.

☆t=cosKC[—1,1],則血產(chǎn)+t—7血+420對”e[-1,1]恒成立,

t+4

-,?m<——-----.

住一7

俘一7(t+4)2—8(t+4)+99

t+4t+4=￡+4+t+4-8.

令n=t+4C[3,5],則y=n+'—8在nC[3,5]時單調(diào)遞增,

.,■ye[-2,即:+：C[_2,6-].t+4