浙教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步訓(xùn)練：解直角三角形（7類題型）（原卷版）

第03講解直角三角形（7類題型）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握解直角三角形；

2.掌握解直角三角形的應(yīng)用一一仰俯角問題；

L解直角三角形的應(yīng)用；

3、掌握解直角三角形的應(yīng)用一一方位角問題；

4、掌握解直角三角形的應(yīng)用一一坡度、坡角問題；

5、掌握解直角三角形的綜合應(yīng)用；

思維導(dǎo)圖

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)1：解直角三角形

（1）解直角三角形的定義

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的關(guān)系

①銳角、直角之間的關(guān)系：/A+NB=90°；

②三邊之間的關(guān)系：。2+反=?2；

③邊角之間的關(guān)系：

乙A的對(duì)邊a乙A的鄰邊

s\r\A=一,cosA=2ta上等瓷=去

斜邊c斜邊c乙A的令B邊b

（a,b,c分別是NA、NB、NC的對(duì)邊）

【即學(xué)即練1】

1.（2023上?山東濟(jì)寧?九年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）在RSABC中，ZC=90°,ZB=30°,則cosB

的值為（）

A-IB近D

3-f

知識(shí)點(diǎn)2：解直角三角形的應(yīng)用一一仰角、俯角問題

（1）概念：仰角是向上看的視線與水平線的夾角；俯角是向下看的視線與水平線的夾角.

（2）解決此類問題要了解角之間的關(guān)系，找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形，當(dāng)圖形中沒有直角三角

形時(shí)，要通過作高或垂線構(gòu)造直角三角形，另當(dāng)問題以一個(gè)實(shí)際問題的形式給出時(shí)，要善于讀懂題意，把

實(shí)際問題劃歸為直角三角形中邊角關(guān)系問題加以解決.

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；

視線

鉛

線

水平

仰角

垂

俯角

線

、

視線

【即學(xué)即練2】

2（2023上?湖南邵陽?九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得樹頂5的仰角為a度，若AC=6

米，則樹高BC為（）

c.—^―米D.d—米

A.6sina米B.6tana米

tanacosa

知識(shí)點(diǎn)3:解直角三角形的應(yīng)用一一方位角問題

（1）在辨別方向角問題中：一般是以第一個(gè)方向?yàn)槭歼呄蛄硪粋€(gè)方向旋轉(zhuǎn)相應(yīng)度數(shù).

（2）在解決有關(guān)方向角的問題中，一般要根據(jù)題意理清圖形中各角的關(guān)系，有時(shí)所給的方向角并不一定在

直角三角形中，需要用到兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等或一個(gè)角的余角等知識(shí)轉(zhuǎn)化為所需要的角.

【即學(xué)即練3】

3.（2023上?山東泰安?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，某貨船以24海里/時(shí)的速度從A處向正東方向的。處航

行，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在北偏東60。的方向.該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得該島在北偏東30。

的方向上.則貨船在航行中離小島C的最短距離是（）

A.12海里B.6石海里C.12萬海里D.24百海里

知識(shí)點(diǎn)4：解直角三角形的應(yīng)用一:坡度、坡角問題

（1）坡度是坡面的鉛直高度力和水平寬度/的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度,

一般用/?表示，常寫成/.=1：m的形式.

（2）把坡面與水平面的夾角a叫做坡角，坡度，與坡角a之間的關(guān)系為：/=/7//=tana.

（3）在解決坡度的有關(guān)問題中，一般通過作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的

正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問題.

應(yīng)用領(lǐng)域：①測(cè)量領(lǐng)域；②航空領(lǐng)域③航海領(lǐng)域：④工程領(lǐng)域等.

【即學(xué)即練4】

4.（2023上?山西臨汾?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）汾河水庫位于山西省太原市西北婁煩縣境內(nèi)下靜游村至下石

鉛直高度

家莊之間.如圖，水庫某段橫截面迎水坡AB的坡度1:2（坡度；),若坡高3c=20m,則

水平寬度AC

坡面AB的長(zhǎng)度約為（參考數(shù)據(jù)：V2?1.41,73?1.73,A/5?2.24）

A.28mB.35mC.45mD.67m

知識(shí)點(diǎn)5:解直角三角形的綜合應(yīng)用

（1）通過解直角三角形能解決實(shí)際問題中的很多有關(guān)測(cè)量問.

如：測(cè)不易直接測(cè)量的物體的高度、測(cè)河寬等，關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測(cè)量角的度數(shù)和測(cè)量邊

的長(zhǎng)度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長(zhǎng)度.

（2）解直角三角形的一般過程是：

①將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）.

②根據(jù)題目已知特點(diǎn)選用適當(dāng)銳角三角函數(shù)或邊角關(guān)系去解直角三角形，得到數(shù)學(xué)問題的答案，再轉(zhuǎn)化得

到實(shí)際問題的答案.

【即學(xué)即練5】

5.（2023上?山西臨汾?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）為慶祝國慶，某校要在如圖所示的五角星中（圖中所有線段

的長(zhǎng)度均相等，且NA=N3=NC=ND=NE=36。），從頂點(diǎn)A開始，沿邊每隔40厘米裝一盞閃光燈，如

果R/兩點(diǎn)間的距離為（君-1）米，那么需要安裝閃光燈的盞數(shù)是（參考數(shù)據(jù)：5布18。=與i）

題型精講

題型01解直角三角形的相關(guān)計(jì)算

1.（2223下?深圳?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊“LBC中，點(diǎn)E在邊AC上自A向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)廠在

邊CB上自C向8運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)速度相同，連接尸交于點(diǎn)P,連接CP,在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路

徑長(zhǎng)為（）

c

F

EU/\

心-----

A生生R”raA

A.----D.L.3un.1

33j\Vl2

2.（2122下?蕪湖咱主招生）如圖所示，已知/1〃4〃/3,且乙與4的距離為2,4與4的距離為1，正三角

形4BC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在4，/。上，則AB=.

3.（2022秋?廣東深圳?八年級(jí)深圳市南山區(qū)荔香學(xué)校?？计谥校┪覀兌x：等腰三角形中底邊與腰的比叫做

頂角正對(duì)（sad）,如圖①，在AABC中，AB=AC,頂角A的正對(duì)記作sadA,這時(shí).容

易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：

（l）sad90°=.

⑵對(duì)于0。<A<180。，/A的正對(duì)值sadA的取值范圍是

（3）如圖②，已知sinA=g,其中NA為銳角，試求sadA的值.

題型02解非直角三角形

1.（2020?哈爾濱?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在A處測(cè)得點(diǎn)尸在北偏東60。方向上，在8處測(cè)得點(diǎn)尸在北偏東30。方向

上，若AP=6如千米，則點(diǎn)A3兩點(diǎn)的距離為（）千米.

p

C.2D.6

3

2.（2019上?成都?期末）如圖，在等腰“IBC中，回=4S,8。_14?于點(diǎn)。,°0以=《，貝心血/。5。的值（）

C.好D.f

2

3

3.（23?24上?哈爾濱?階段練習(xí)）在AABC中，若45=屈,tanB=-,AC=3在,則BC=

題型03構(gòu)造直角三角形求不規(guī)則圖形的邊長(zhǎng)或面積

1.（2223下?益陽?期末）如圖，在四邊形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,43=7,BC=9,CD=3,則

四邊形A3CD的面積為（）

A.48B.50C.52D.54

2.（22?23下?專題練習(xí)）如圖，在AABC中，sinB=工，tanC=—,AB=3,則AC的長(zhǎng)為，AABC

32

的面積為.

3.（2223上?西安?階段練習(xí)）如圖，在四邊形A8CD中，連接AC、B。，ZABD=ZBCD=90°,ND鉆=60。,

BC=CD,貝!JtanNACD的值為

題型04仰角俯角問題

1.（2223下?日照?階段練習(xí)）如圖，A3是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端8沿水平方向向左走8米

到達(dá)點(diǎn)C,沿坡度i=l:2（坡度i=坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點(diǎn)O,再繼續(xù)沿水平方向向左

走40米到達(dá)點(diǎn)E（A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)），在E處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為34。，己知建筑物

底端8與水平面DE的距離為2米，則建筑物AB的高度約是（參考數(shù)據(jù)：sin340?0.56,cos34°?0.83,

tan34°?0.67）（）

X34°

E--------------

A.27.1米B.30.8米C.32.8米D.49.2米

2.（2223?一模）安裝了軟件"5〃篦"牘磁are”的智能手機(jī)可以測(cè)量物高.其數(shù)學(xué)原理是：該軟件通過測(cè)量手

機(jī)離地面的高度，物體底端的俯角和頂端的仰角即可得出物體高度.如圖，小明測(cè)得大樹底端C點(diǎn)俯角a,

頂端。點(diǎn)的仰角/，點(diǎn)A離地面的高度AB=。米，則大樹8的為（）

圖1圖2

A.a(tanar+tan齊)米B.a(sina+sin/?)米

(tana八(tan夕八

C.a\------+1|米D.a\—匕+1|米>lz

(tan￡Jtana)

3.（2023?湖北襄陽?統(tǒng)考中考真題）在襄陽市諸葛亮廣場(chǎng)上矗立著一尊諸葛亮銅像.某校數(shù)學(xué)興趣小組利用

熱氣球開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，測(cè)量諸葛亮銅像的高度.如圖，在點(diǎn)C處，探測(cè)器顯示，熱氣球到銅像底座底

部所在水平面的距離CE為32m,從熱氣球C看銅像頂部A的俯角為45。，看銅像底部8的俯角為63.4。.已

知底座的高度為4m,求銅像A3的高度.（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin63.4。。0.89,cos63.4°?0.45,

tan63.4°?2.00,5/2?1.41)

題型05方位角問題

1.（2324上?石家莊?階段練習(xí)）如圖，島尸位于島。的正西方，P、。兩島間的距離為20（1+石）海里，由

島P、。分別測(cè)得船R位于南偏東60。和南偏西45。方向上，則船R到島尸的距離為（）

A.40海里B.40后海里C.404海里D.40面海里

2.（2223下?清遠(yuǎn)?三模）如圖，一艘海輪位于燈塔P的南偏東45。方向，距離燈塔60nmile的A處，它沿正

北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東30。方向上的8處，這時(shí)，8處與燈塔P的距離為

nmile.

3.（2022秋?安徽合肥?九年級(jí)合肥市第四十八中學(xué)校考期末）如圖，某漁船向正東方向以10海里/時(shí)的速度

航行，在A處測(cè)得島C在北偏東60。方向上，1小時(shí)后漁船航行至1」8處，測(cè)得島C在北偏東30。方向上，已

知該島周圍9海里內(nèi)有暗礁.

C。北

（1）8處離島C有多遠(yuǎn)？

⑵如果漁船繼續(xù)向東航行，有無觸礁危險(xiǎn)？

⑶如果漁船在8處改為向東偏南15。方向航行，有無觸礁危險(xiǎn)（參考數(shù)據(jù)：退它1.732、sin75°?0.966>

cos75°~0.259）

題型06坡度坡比問題

1.（2223下廣州?一模）如圖是一個(gè)山坡，已知從A處沿山坡前進(jìn)160米到達(dá)8處，垂直高度同時(shí)升高80

米，那么山坡的坡度為（）

AC

A.30°B.1:2C.1:73D.3:1

2.（2223下?太原?一模）我校數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)要測(cè)量建筑物。的高度，如圖，建筑物CD前有一段坡

度為1:2的斜坡BE,用測(cè)角儀測(cè)得建筑物屋頂C的仰角為37。，接著小明又向下走了46米，剛好到達(dá)坡

底E處，這時(shí)測(cè)到建筑物屋頂C的仰角為45。，AB、aD、E、/在同一平面內(nèi)，若測(cè)角儀的高度

Afi=EF=L5米，則建筑物CO的高度約為（）米.（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin370-0.60,cos37°?0.80,

tan37°?0.75）

3.（2L22下?江門?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在距某居民樓A3樓底8點(diǎn)左側(cè)水平距離60m的C點(diǎn)處有一個(gè)山坡，

山坡8的坡度（或坡比）z=l：0.75,山坡坡底C點(diǎn)到坡頂。點(diǎn)的距離CD=45m,在坡頂￡>點(diǎn)處測(cè)得居民

樓樓頂A點(diǎn)的仰角為28。，居民樓與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，則居民樓4B的圖度約為（參

考數(shù)據(jù)：sin28°?0.47,cos28°?0.88,tan28°?0.53）

題型07解直角三角形的其他應(yīng)用

L（2022春?云南紅河?八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國明代有一位杰出的數(shù)學(xué)家程大位在所著的《直指算法統(tǒng)宗》里

有一道"蕩秋千"的問題："平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭(zhēng)蹴，

終朝笑語歡嬉，良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？"詞寫得很優(yōu)美，其大意是：當(dāng)秋千靜止在地面上時(shí)，秋

千的踏板離地的距離為一尺，將秋千的踏板往前推兩步（每一步為五尺），秋千的踏板與人一樣高，這個(gè)人的

身高為五尺，當(dāng)然這時(shí)秋千的繩索是呈直線狀態(tài)，問這個(gè)秋千的繩索有多長(zhǎng)？（）

A.14尺B.14.5尺C.15尺D.無法計(jì)算

2.（2022秋?山東東營?九年級(jí)東營市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谥校橥瓿伞熬C合與實(shí)踐”作業(yè)任務(wù)，小明和小

華利用周末一起去郊外放風(fēng)箏，小明負(fù)責(zé)放風(fēng)箏，小華負(fù)責(zé)測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，如圖，當(dāng)小明把風(fēng)箏放飛到空

中到點(diǎn)P處時(shí)，小華分別在地面測(cè)得NPAB=45。，/PA4=30。，AB=200米,則風(fēng)箏的高度PC的長(zhǎng)為（）

米（點(diǎn)C在點(diǎn)尸的正下方，A、B、C在地面的同一條直線上）（結(jié)果保留根號(hào)）

A.100A/2B.IOOA/2-IOOC.1004D.100A/3-100

3.（2022春?黑龍江綏化?九年級(jí)綏化市第八中學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）松花江斜拉橋是哈爾濱繞城高速公路西

段（瓦盆窯一一秦家）項(xiàng)目的重要組成部分，是我省修建的第一座公路斜拉橋，也是哈爾濱市乃至黑龍江省

的標(biāo)志性工程.主橋采用雙塔雙索面鋼一混凝土結(jié)合梁斜拉橋，塔墩固結(jié)一體、塔與主梁縱向活動(dòng)支承，屬

塔墩固結(jié)、塔梁支承式半懸浮體系.大橋索塔為門式塔，橋面以上設(shè)一道上橫梁.全長(zhǎng)1268.86m.圖2是

從圖1引申出的平面圖.假設(shè)你站在橋上測(cè)得拉索A3與水平橋面的夾角是30。，拉索8與水平橋面的夾

角是60。，兩拉索頂端的距離8C為2米，兩拉索底端距離AD為128米，請(qǐng)求出索塔高的長(zhǎng).（結(jié)果精

確到0.1米，73=1,732）

圖1圖2

強(qiáng)化訓(xùn)練

A夯實(shí)基礎(chǔ)

1.（2022上?黑龍江大慶?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AC是旗桿A2的一根拉線，測(cè)得AC=6米，NACB=50°,

B.6sin500米

6D-/米

C.--------米

sin50°

2.（2023?陜西西安?西安市慶安初級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是河堤的橫斷面示意圖，已知tanA=YZ,

2

堤高BC=4m,則坡面AB的長(zhǎng)度是（）

A.4A/3mB.45/5mC.8mD.16m

3.（2022上?湖南株洲?九年級(jí)?？计谥校┠车痰臋M斷面如圖，堤高是5米，斜坡A3的坡度是1:石，那

么斜坡AB的長(zhǎng)為米.

B

4.（2023上?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，漁船向東航行，8點(diǎn)到達(dá)。處，看到燈塔A在其北

偏東60。方向，距離12海里，10點(diǎn)到達(dá)B處，看到該燈塔在其正北方向，則漁船每小時(shí)航行海里.

西F

5.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考三模）數(shù)學(xué)興趣小組為了實(shí)地測(cè)量?jī)砂痘ハ嗥叫械囊欢魏拥膶挾龋诤拥哪习饵c(diǎn)A

處測(cè)得河的北岸點(diǎn)3在其北偏東13。方向，然后向西走80米到達(dá)C點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)8在點(diǎn)C的北偏東53。方向,

求河寬.（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)sin37°20.60,cos370工0.80,tan37°a0.75,sin77°工0.97,cos770工0.22,

tan77°土4.33）

CA

6.（2023下?天津?九年級(jí)專題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)完"三角函數(shù)的應(yīng)用"后，在校園內(nèi)利用三角尺測(cè)量

教學(xué)樓的高度，如圖，小明同學(xué)站在點(diǎn)。處，將含45。角三角尺的一條直角邊水平放置，此時(shí)三角尺的

斜邊剛好落在視線C4上.沿教學(xué)樓向前走7.7米到達(dá)點(diǎn)尸處，將含30。角三角尺的短直角邊水平放置，此

時(shí)三角尺的斜邊也剛好落在視線胡上.已知小明眼睛到地面的距離為1.6米，求教學(xué)樓A2的高度.（點(diǎn)。，

F,8在同一水平線上.結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)：括々1.73,V2?1.41）

A

B能力提升

1.（2023上?山東濟(jì)南?九年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀材料：余弦定理是這樣描述的：在AABC中，/A、/B、NC

所對(duì)的邊分別為人氏c,則三角形中任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊及這兩邊的夾角的

余弦值的乘積的2倍.用公式可描述為：a1=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB；

c2=cr+b2-2abcosC.已知在"LBC中，AB=2,BC=4,NA=60°,則AC的長(zhǎng)為（）

A.2A/3B.V13+1C.VB-1D.3收

2.（2023上?河北邢臺(tái)?九年級(jí)?？计谥校樨瀼芈鋵?shí)"綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市大力開展植

樹造林活動(dòng).如圖，在坡度i=l:6的山坡A3上植樹，要求相鄰兩樹間的水平距離AC為2gm,則斜坡上

C.4mD.4石m

3.（2023上?河北唐山,九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一山坡的坡度為i=小辰從山腳A出發(fā)，沿山坡向上

走了200米到達(dá)點(diǎn)8,則坡角為，小辰上升了米.

4.（2022?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，小紅同學(xué)用儀器測(cè)量一棵大樹的高度，在C處知ZADG=30。,

在E處測(cè)得NAFG=60。，CE=8m,儀器高度CD=1.5m,這棵樹A3的高度為.

5.（2023上?江蘇泰州?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AD是44BC的中線，tanB=-,cosC=―,AC=A/2

52

A

（1）8C的長(zhǎng)；

（2）/ADC的正弦值.

6.（2023上?山東濟(jì)南?九年級(jí)統(tǒng)考期中）黃河是中華文明最主要的發(fā)源地，中國人稱其為"母親河"，1855

年8月，黃河改道山東大清河入渤海，自此與泉城濟(jì)南結(jié)下了不解之緣.黃河在濟(jì)南流經(jīng)7個(gè)區(qū)縣，綿延

300余里，哺育了濟(jì)南兒女，潤(rùn)澤了泉城大地，為落實(shí)黃河文化的傳承弘揚(yáng)，某校組織學(xué)生到黃河某段流域

進(jìn)行研學(xué)旅行.某興趣小組在只有米尺和測(cè)角儀的情況下，想要求出黃河某處的寬度（不能到達(dá)對(duì)岸）如

圖，已知該段河對(duì)岸岸邊有一點(diǎn)4興趣小組以A為參照點(diǎn)在河這邊沿河邊任取兩點(diǎn)8、C,測(cè)得

ZABC=65°,NACB=45。，量得的長(zhǎng)為300m.求河的寬度.（結(jié)果精確到1m,參考數(shù)據(jù)

C綜合素養(yǎng)

1.（2023上?山東濟(jì)南?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)。，E在邊3C上，若

ZDAE=30°,tanZEAC^,則8。的長(zhǎng)度是（）

A

A.3-6B.3+6C.343D.6

2.（2023上?浙江杭州?九年級(jí)杭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=6,對(duì)折矩形ABCD

使得8C與AD重合，得到折痕所，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在EF上，折痕是

BM,連接被，若MF上BM,則點(diǎn)BC的長(zhǎng)是（）

3.（2023?廣東深圳??？寄M預(yù)測(cè)）為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)

行體溫檢測(cè).某學(xué)校大門AB高6.5米，學(xué)生。尸身高1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測(cè)有效識(shí)別區(qū)域