直角三角形、等腰三角形、等邊三角形【考點(diǎn)講義】（解析版）

專題14直角三角形、等腰三角形、等邊三角形

尊知識導(dǎo)航

C知識整理

1.等腰三角形

(1)定義:兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)性質(zhì):①等腰三角形的兩腰相等；

②等腰三角形的兩底角相等，即“等邊對等角”；

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合，即“三線合一”;

④等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸，對稱軸是底邊的垂直平分線.

(3)判定：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；

②有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，即“等角對等邊”.

2.等邊三角形

(1)定義:三邊相等的三角形是等邊三角形.

(2)性質(zhì)：

①等邊三角形的三邊相等，三角相等，且都等于60。；

②“三線合一”；

③等邊三角形是軸對稱圖形，有三條對稱軸.

(3)判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；

②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

③有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形.

3.直角三角形

（1）性質(zhì)：

①直角三角形的兩銳角互余；

②直角三角形30。角所對的直角邊等于斜邊的一半；

③直角三角形中，斜邊上的中線長等于斜邊長的一半.

（2）判定:有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.

（3）勾股定理及其逆定理

①勾股定理:直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

②勾股定理的逆定理:若一個(gè)二角形中有兩邊的平方和等于第二邊的平方，則這個(gè)二角形是直角二角形.

Q考點(diǎn)講解

考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)與判定

【例1】（2022?江蘇宿遷?中考真題）若等腰三角形的兩邊長分別是3。"和5c%,則這個(gè)等腰三角形的周長

是（）

A.8cmB.13cmC.8c“z或13c??D.11cm13cm

【答案】D

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要

應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形.

【詳解】解：當(dāng)3是腰時(shí)，：3+3>5,，3,3,5能組成三角形，

此時(shí)等腰三角形的周長為3+3+5=11（cm）,

當(dāng)5是腰時(shí)，：3+5>5,5,5,3能夠組成二角形，

此時(shí)等腰三角形的周長為5+5+3=13（cm）,

則三角形的周長為11c%或13cm.故選：D

【例2】（2022?浙江臺州?中考真題）如圖，點(diǎn)。在，至C的邊3c上，點(diǎn)p在射線AD上（不與點(diǎn)A,。重

合），連接收，PC,下列命題中，假命題是（）

A

A.若AB=AC,ADA.BC,貝l]PJ5=PCB.若PB=PC,AD±BC,則AB=AC

C.若AB=AC,Z1=Z2,貝!]P3=PCD.若PB=PC,Z1=Z2,則A3=AC

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明尸D是否是3c的垂直平分線，判斷即可.

【詳解】因?yàn)锳2=AC,且得AP是BC的垂直平分線，所以PB=PC,則A是真命題；

因?yàn)镻B=PC,且AOLBC,得AP是8C的垂直平分線，所以AB=AC,則B是真命題；

因?yàn)锳2=AC,且N1=N2,得AP是BC的垂直平分線，所以尸2=PC,則C是真命題；

因?yàn)镻B=PC,ABCP是等腰三角形，Z1=Z2,不能判斷"是BC的垂直平分線，所以AB和AC不一定相

等，則D是假命題.故選：D.

【例3】（2021.江蘇揚(yáng)州市）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B,連接AB,在網(wǎng)格中再找一

個(gè)格點(diǎn)C,使得.A5c是等曖真為三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①為等腰直角AABC底邊；②為等腰直角△ABC

其中的一條腰.

【詳解】解：如圖：分情況討論：

①AB為等腰直角△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有。個(gè)；

②A3為等腰直角△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有3個(gè).

故共有3個(gè)點(diǎn),

故選：B.

1.（2020?福建）如圖，AD是等腰三角形A3C的頂角平分線，BD=5,則CD等于（）

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解.

【詳解】??ND是等腰三角形A2C的頂角平分線，BD=5,

：.CD=5.

故選：B.

2.（2020?齊齊哈爾）等腰三角形的兩條邊長分別為3和4,則這個(gè)等腰三角形的周長是.

【分析】分3是腰長與底邊長兩種情況討論求解即可.

【詳解】①3是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為3、3、4,

??.此時(shí)能組成三角形，

.?.周長=3+3+4=10；

②3是底邊長時(shí)，三角形的三邊分別為3、4、4,此時(shí)能組成三角形，

所以周長=3+4+4=11.

綜上所述，這個(gè)等腰三角形的周長是10或11.

故答案為：10或11.

3.如圖，點(diǎn)尸是射線ON上一動點(diǎn)，ZAON=30°,當(dāng)△AO尸為等腰三角形時(shí)，/A的度數(shù)一定不可能是

()

o

A.120°B.75°C.60°D.30°

【分析】分三種情形討論即可：當(dāng)點(diǎn)O為等腰三角形頂點(diǎn).b、當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形頂點(diǎn).C、當(dāng)點(diǎn)尸

為頂點(diǎn).

【解答】解：當(dāng)點(diǎn)。為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，ZA=75°,

當(dāng)點(diǎn)A為等腰三角形頂點(diǎn)時(shí)，ZA=120°,

當(dāng)點(diǎn)P為頂點(diǎn)時(shí)，ZA=30°,

綜上，ZA的度數(shù)為30?；?5。或120°,一定不可能等于60°,

故選：C.

4.（2022.云南?中考真題）已知△ABC是等腰三角形.若NA=40。，則△ABC的頂角度數(shù)是.

【答案】40。或100°

【分析】分/A為三角形頂角或底角兩種情況討論，即可求解.

【詳解】解：當(dāng)NA為三角形頂角時(shí)，則△ABC的頂角度數(shù)是40。；

當(dāng)NA為三角形底角時(shí)，則△ABC的頂角度數(shù)是180。-40。-40。=100。；

故答案為：40。或100。.

5.（2022?山東濱州?中考真題）如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=AC,立柱ACBC,且頂角

ZBAC=120°,則NC的大小為.

【答案】30。##30度

【分析】先由等邊對等角得到4=NC,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和進(jìn)行求解即可.

【詳解】AB^AC,

:.NB=NC,

ABAC=120°,ZBAC+ZB+ZC=180°,

，zc=180°-120°=3QO；

2

故答案為：30°.

6.如圖，直線尸。上有一點(diǎn)。點(diǎn)A為直線外一點(diǎn)，連接OA,在直線PQ上找一點(diǎn)B,使得AAOB是等腰

三角形，這樣的點(diǎn)B最多有個(gè).

【分析】分別以A、。為圓心A0長為半徑畫弧，作A。的垂直平分線，即可在直線尸。上找一點(diǎn)3,使得

△AOB是等腰三角形.

【詳解】解：如圖所示，分別以A、。為圓心，A0長為半徑畫弧，與直線P。的交點(diǎn)81，歷，肉符合題意;

作AO的垂直平分線，與直線PQ的交點(diǎn)國符合題意，若&，B3,&不重合，則最多有4個(gè).

7.（2022?江蘇蘇州?中考真題）定義：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三

角形若等腰△ABC是“倍長三角形"，底邊3c的長為3,則腰的長為.

【答案】6

【分析】分類討論：AB=AC=22C或5c=2A2=2AC,然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】解：:△ABC是等腰三角形，底邊2C=3；.AB=AC

當(dāng)AB=AC=2BC時(shí)，△ABC是“倍長三角形”；

BC=2AB=2ACm,AB+AC=BC,根據(jù)三角形三邊關(guān)系，此時(shí)A、B、C不構(gòu)成三角形，不符合題意；

所以當(dāng)?shù)妊麬ABC是“倍長三角形"，底邊BC的長為3,則腰的長為6.

故答案為6.

考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)與判定

【例4】如圖，等邊三角形紙片ABC的周長為6,E,尸是邊BC上的三等分點(diǎn).分別過點(diǎn)E,尸沿著平行于

BA,CA的方向各剪一刀，則剪下的△DEE的周長是（）

A

C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)邊三角形紙片ABC的周長為6可求BC=2,根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可求EF的長，再根據(jù)等邊三

角形的判定與性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：：等邊三角形紙片ABC的周長為6,...3C=2

2

■:E,尸是邊BC上的三等分點(diǎn)，尸=屋?..△ABC是等邊三角形，...NB=/C=60。，

y.\"DE//AB,DF//AC,：.ZDEF=ZB=60°,ZDFE=ZC=60°,

2

...△OEF是等邊三角形，.?.剪下的AOEF的周長是§x3=2.故選：B.

【例5】（2022?浙江嘉興?中考真題）小曹同學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)將幾種三角形的關(guān)系整理如圖，請幫他在橫線上—

【答案】NA=60。（答案不唯一）

【分析】利用等邊三角形的判定定理即可求解.

【詳解】解：添加NA=60。，理由如下:

為等腰三角形,

NB=NC==6。。,

2

ABC為等邊三角形，

故答案為：ZA=60°（答案不唯一）.

—糖&產(chǎn)

（1）等邊三角形與全等三角形的結(jié)合運(yùn)用；

（2）等邊三角形與含30。角的直角三角形的結(jié)合運(yùn)用.

?躡蹋瀏!蚓

1.如圖，ABC是等邊三角形，3。是中線，延長BC至E,使CE=CD,則下列結(jié)論塔堡的是（）

A.ZCED=30°B.NBDE=120。C.DE=BDD.DE=AB

【答案】D

［分析】因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，又BD是AC上的中線，所以有/ADB=/CDB=90。,且/ABD=ZCBD

=30°,ZACB=ZCDE+ZDEC=60°,又CD=CE,可得/CDE=/CED=30。，所以就有/CBD=/DEC,

即DE=BD,/BDE=NCDB+NCDE=120。.由此得出答案解決問題.

【詳解】解：：AABC是等邊三角形，，ZABC=ZACB=60°,

：BD是AC上的中線，.\ZADB=ZCDB=90°,ZABD=ZCBD=30°,

,?ZACB=ZCDE+ZDEC=60°,又CD=CE,AZCDE=ZCED=30°,

.\ZCBD=ZDEC,；.DE=BD,ZBDE=ZCDB+ZCDE=120°,故ABC均正確.故選：D.

2.如圖，A,B,E三點(diǎn)在同一直線上，ABC,△CDE都是等邊三角形，連接AD,BE,OC■.下列結(jié)

論中正確的是（）

①AACD咨ABCE；②△CPQ是等邊三角形；③OC平分NAOE；④△BPO9AEDO.

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】B

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形的全等，逐一判斷即可.

【詳解】AABC,△CDE都是等邊三角形，：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZECD=6Q°,

：.ZACB+ZPCQ=ZECD+ZPCQ,ZPCD=60°,：.ZACD=ZBCE,

.,.△ACD^ABCE,①的說法是正確的；

AACO^ABCE,；.ZPDC=ZQEC,

ZPCD=ZQCE=60°,CD=CE,/.APCD^AgCE,

.?.PC=QC,.?.△CP。是等邊三角形；②的說法是正確的；

VAPCD^AQCE,：.PD=QE,SAPCD=SAQCE,

過點(diǎn)C作CGLPO,垂足為G,CHLQE,垂足為H,

：.^PD?CG=^QE?CE,:.CG=CH,OC平分NAOE,...③的說法是正確的；

無法證明△3P。絲△EDO.??.④的說法是錯誤的；故答案為①②③，故選8.

3.下列條件不能得到等邊三角形的是（）

A.有兩個(gè)內(nèi)角是60的三角形B.有一個(gè)角是60的等腰三角形

C.腰和底相等的等腰三角形D.有兩個(gè)角相等的等腰三角形

【答案】D

【分析】根據(jù)等邊三角形的定義可知：滿足三邊相等、有一個(gè)角為60。且兩邊相等、有兩個(gè)內(nèi)角為60。這三

個(gè)條件中的任意一個(gè)條件即為等邊三角形，根據(jù)這個(gè)定義進(jìn)行逐項(xiàng)分析即可得到答案.

【詳解】A、有兩個(gè)內(nèi)角是60。，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和是180。，可知另一個(gè)角也是60。，故該三角形為等邊三

角形，故本選項(xiàng)不合題意；

B、有一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形，故本選項(xiàng)不合題意；

C、腰和底相等的等腰三角形，即三邊都相等的三角形是等邊三角形，故本選項(xiàng)不合題意；

D、等腰三角形中兩個(gè)底角是相等的，故不能判定該三角形是等邊三角形，故本選項(xiàng)符合題意；

故答案為D.

4.（2021.廣東）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=90°,點(diǎn)￡是AC的中點(diǎn)，^AC=AD

（1）尺規(guī)作圖：作NGW的平分線AR交CD于點(diǎn)、F,連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，若/胡￡>=45。，S.ZCAD=2ZBAC,證明：3EF為等邊三角形.

【答案】（1）圖見解析；（2）證明見解析.

【分析】

（1）根據(jù)基本作圖一角平分線作法，作出NGW的平分線AF即可解答；

（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得到BE=』AC并求出N3EC=/a4C+NABE=30。，再根據(jù)等腰三角形

2

三線合一性質(zhì)得出CF=）\從而得到EF為中位線，進(jìn)而可證BE=￡F,NBEF=60。,從而由有一個(gè)角

是60。的等腰三角形是等邊三角形得出結(jié)論.

【詳解】

解：（1）如圖，AF平分NC4D,

(2)VZBAD=45°,S.ZCAD=2ZBAC,

：.ZCAD=30°,ZBAC^15°,

VAE=EC,NABC=90。，

BE=AE=-AC,

2

ZABE=ZBAC^15°,

ZBEC=ABAC+ZABE=30°,

又「AE平分NC4D,AC^AD,

：.CF=DF,

又；AE=EC,

：.EF=-AD^-AC,EF//AD,

22

二ZCEF=ZCAD=30°,

：.ZBEF=ZBEC+ZCEF=60°

又；BE=EF=-AC

2

.5￡F為等邊三角形.

5.（2021?江蘇連云港市）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動.

（1）A6c是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，且AE=1,小亮以班為邊作等邊三角形

BEF,如圖1,求的長；

（2）A5c是邊長為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個(gè)動點(diǎn)，小亮以3E為邊作等邊三角形5所，

如圖2,在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)A的運(yùn)動過程中，求點(diǎn)尸所經(jīng)過的路徑長；

（3）一ABC是邊長為3的等邊三角形，M是高CD上的一個(gè)動點(diǎn)，小亮以所為邊作等邊三角形

如圖3,在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑長；

圖4

(4)正方形ABCD的邊長為3,E是邊CB上的一個(gè)動點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)8的運(yùn)動過程中，小亮以B

為頂點(diǎn)作正方形BFGH,其中點(diǎn)RG都在直線AE上，如圖4,當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)3時(shí)，點(diǎn)、F、G、H與點(diǎn)B

重合.則點(diǎn)〃所經(jīng)過的路徑長為，點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為

【答案】(1)1；(2)3；(3):6；(4)3%；墳"

244

【分析】

(1)由AABC、石尸是等邊三角形，BA=BC,BE=BF,ZABE=ZCBF,可證△ABEgACaF

即可；

(2)連接。尸，AABC,AB所是等邊三角形，可證AABEgACB尸，可得NBCF=NABC,又點(diǎn)E在

C處時(shí)，CF=AC,點(diǎn)E在A處時(shí)，點(diǎn)歹與C重合.可得點(diǎn)尸運(yùn)動的路徑的長=AC=3；

(3)取中點(diǎn)連接HN,由AABC、ABMN是等邊三角形,可證ADfiMgAHBN,可得

NHLBC.又點(diǎn)M在C處時(shí)，HN=CZ>=之叵，點(diǎn)四在。處時(shí)，點(diǎn)N與H重合.可求點(diǎn)N所經(jīng)過

2

的路徑的長=CD=』G；

2

(4)連接CG,AC,OB,由/CG4=90。，點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的上運(yùn)動，由四邊形

ABCD為正方形，BC為邊長，設(shè)OC=x,由勾股定理CCP+BO?=§。2即，可求％=之叵，點(diǎn)G所經(jīng)過

2

的路徑長為長=述"，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為將N的長=3萬.

44

【詳解】

解：(1)VAABC.ABEF是等邊三角形，

ABA=BC,BE=BF,NABC=NEBF=60°.

/.ZABE+ZCBE=ZCBF+NCBE,

ZABE=ZCBF,

AABE^CBF,

CF=AE=1；

(2)連接Cb,

VAB所是等邊三角形，

ABA=BC,BE=BF,ZABC=/EBF=3。.

ZABE+ZCBE=ZCBF+NCBE,

；?ZABE=ZCBF,

：.AABE^CBF,

.,.CF=AE,ABCF^ZBAE=6Q°,

,/ZABC=60°,

ZBCF=ZABC,

CF//AB,

又點(diǎn)E在C處時(shí)，C5=AC,點(diǎn)E在A處時(shí)，點(diǎn)尸與C重合.

/.點(diǎn)F運(yùn)動的路徑的長=AC=3；

(3)取中點(diǎn)”，連接HN,

：.BH=-BC,

2

BH=-AB,

2

???CDLAB,

：.BD=-AB,

2

c

；?BH=BD,

VAABC>ABMV是等邊三角形，

:,BM=BN,ZABC=ZMBN=60°,

：.ZDBM+ZMBH=ZHBN+ZMBH9

:?/DBM=ZHBN,

：.ADBM^AHBN,

：.HN=DM,/BHN=/BDM=90。,

???NHIBC,

又點(diǎn)〃■在C處時(shí)，HN=CD=3a，點(diǎn)M在。處時(shí)，點(diǎn)N與H重合,

2

.?.點(diǎn)N所經(jīng)過的路徑的長=CD=-73；

2

(4)連接CG/C,0B,

,?ZCGA=90°,

.??點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的3C上運(yùn)動，

???四邊形ABCD為正方形，2c為邊長，

ZC(9B=90°,設(shè)OC=x,

由勾股定理C(?2+BO?=5c2即無2+%2=32,

.372

??X=----，

2

點(diǎn)G所經(jīng)過的路徑長為BC長=3x2萬

點(diǎn)，在以BC中點(diǎn)為圓心，BC長為直徑的弧加上運(yùn)動,

點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為珈的長度，

???點(diǎn)G運(yùn)動圓周的四分之一，

，點(diǎn)”也運(yùn)動圓周的四分一，

133

點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長為珈的長=w義2?x5=a?，

故答案為一乃；士旦萬.

44

考點(diǎn)3：直角三角形的性質(zhì)

【例6】（2022.廣西賀州）如圖，在MAABC中，ZC=90°,ZB=56°,則NA的度數(shù)為（）

134°

【答案】A

【分析】根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可得出/A的度數(shù).

【詳解】解：ABC中，ZC=90°,48=56。，

ZA=90°-ZB=90°-56°=34°；

故選：A.

【例7】（2022?湖南永州）如圖，在RtzXABC中，ZABC^90°,ZC=60°,點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，BD=2,

則BC的長為（）

A.^3B.2上C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得N4=30。，由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)得出AC=22D=4,再利用

含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解:ZABC=90°,ZC=60°,

ZA=3Q°,

:點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，BD=2

：.AC=2BD=4,

：,BC=-AC=2,

2

故選：C.

軟固頤II睡圖

1.（2022?廣西）活動探究：我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，如

己知AABC中，ZA=30°,AC=3,乙4所對的邊為百，滿足已知條件的三角形有兩個(gè)（我們發(fā)現(xiàn)其中如

圖的AABC是一個(gè)直角三角形），則滿足已知條件的三角形的第三邊長為（）

C

AB

A.2叢B.273-3C.2石或有D.2后或20-3

【答案】C

【分析】分情況討論，當(dāng)△ABC是一個(gè)直角三角形時(shí)，當(dāng)AASC是一個(gè)鈍角三角形時(shí)，根據(jù)含30。的直角

三角形的性質(zhì)及勾股定理求解即可.

【詳解】如圖，當(dāng)AA3C是一個(gè)直角三角形時(shí)，即NC=90。，

ZA=30°,BC=V3,

AB=2BC=2百；

如圖，當(dāng)△AB/C是一個(gè)鈍角三角形時(shí),

過點(diǎn)C作CDLABI,

:.NCDA=90°=NCDB,

CB=CB、,

BD=Bp,

ZA=30°,AC=3f

13

:.CD=-AC=-,

22

BC=73,

22

B1D=ylBtC-CD=^-=BD,

BBt=V3,

ABj=AB—BB}=yf3，

綜上，滿足已知條件的三角形的第三邊長為2道或。,

故選：c.

2.如圖，在等腰及ABC中，NACB=90°,點(diǎn)P是5c內(nèi)一點(diǎn)，且CP=1,BP=叵，AP=2,

以CP為直角邊,點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),作等腰RtDCP,下列結(jié)論:①點(diǎn)A與點(diǎn)D的距離為也您AP工PC；

③AB=20；④SAM=2,其中正確結(jié)論有是（）

A.①②③B.②④C.①②D.②③④

【答案】C

【分析】連結(jié)AD,由等腰,可得AC=BC,等腰可得CD=CP,由余角性質(zhì)可

/DCA=/PCB,可證△ADCgZXBPC（SAS）A￡）=BP=后可判斷①，由勾股定理DP=JcD?+CP?=J5，

再由AD?+DP2=（逝'）？+（應(yīng)丫=4=AP2,可證△ADP為等腰直角三角形，可判斷②，由PB與PD可求

BD=20,由勾股定理AB=JAD2+BD2=標(biāo)，可判斷③，由面積S.=亞=1可

判斷④即可

【詳解】連結(jié)AD,在等腰放一ABC中，NACB=90。，；.AC=BC,

；處_OCP是等腰三角形，；.CD=CP,ZACD+ACP=90°,ZACP+ZPCB=90°,/.ZDCA=ZPCB,

在AADC和ABPC中，AC=BC,ZDCA=ZPCB,DC=PC,

AADC^ABPC（SAS）,AD=BP=42<①點(diǎn)A與點(diǎn)D的距離為后正確，

在R3DCP中，由勾股定理DP=gy+CP?=0，在△ADP中，AD?+Dp2=（應(yīng)『+（拒『=4=AP?,

二.△ADP為等腰直角三角形，/.ADXDP,②AP_LPC正確；

BD=BP+PD=2&,在RSADB中，由勾股定理，AB=7AD2+BD2=V2+8=A/10-③AB=2也不正確；

SAPB=；PB?AD=；g6=\,④S=2不正確.故選擇：C.

A

3.（2021?河南商丘市?八年級期末）如圖，在,A3c中，44底=90。,4。=8。,。￡，5￡,?！昱c48相

交于點(diǎn)R且CD=BE,則NACD、NCBA、NZMF之間的數(shù)量關(guān)系是.

A

CB

［答案］ZACD^ZCBA+ZDAF

【分析】先利用同角的余角相等得到NACD=NCBE,再通過證AAC*CBE,得到

NADC=NCEB=900即NADF=NCEB=90°,再利用三角形內(nèi)角和得

180°-ZAFD-ZADF=180°-ZEFB-ZFEB可得/DAF=ZEBF,最后利用角的和差即可得到答案,

ZACD=/CBE=/CBA+/EFB=ZCBA+ZDAF.

【詳解】證明：：NACE=90°,CELBE

：.ZACD+ZECB=90°,NCBE+NECB=90°；.ZACD=ZCBE

又；AC=5C,CD=BE/.=ACD^_CBE；.ZADC=ZCEB^900即ZADF=ZCEB^90°

ZAFD=ZEFB1800-ZAFD-ZADF=1800-ZEFB-ZFEB即ZDAF=ZEBF

；?ZACD=ZCBE=ZCBA+ZEFB=ZCBA+ZDAF故答案為：ZACD=ZCBA+ZDAF.

4.（2020.南通市通州區(qū)平潮初級中學(xué)初二期中）如圖，ZAOE=ZBOE=15°,EF〃OB,EC±OB,若EC=1,

貝!］EF=.

【答案】2.

【解析】角平分線的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì).

作EG±OA于F,

VEF/7OB,/.ZOEF=ZCOE=15°,VZAOE=15°,/.ZEFG=150+15°=30°.VEG=CE=1,；.EF=2xl=2.

5.（2022?貴州遵義）如圖，在等腰直角三角形ABC中，/B4C=90。，點(diǎn)N分別為3C,AC上的動

點(diǎn)，且4V=OW,AB=及.當(dāng)AM+8N的值最小時(shí)，CM的長為.

【答案】2-夜

【分析】過點(diǎn)A作AD〃3C,且AP=AC,證明△?。┮部傻肁〃=DV,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),

3N+AM取得最小值，證明=即可求解.

【詳解】如圖，過點(diǎn)A作AD〃3C,且M=AC,連接@V,如圖1所示，

:.ZDAN=ZACM,

又AN=CM,

:.AND'CMA,

.\AM=DN,

:.BN+AM=BN+DN>BD,

當(dāng)昆N,。三點(diǎn)共線時(shí)，BN+40取得最小值，

此時(shí)如圖2所示，

在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,=0

BC=&AB=2，

v/\AND^：/\CMA,

,\ZADN=ZCAMf

AD=AC=AB,

:.ZADN=ZABNf

AD//BC,

:.ZADN=ZMBN,

:.ZABN=ZMBN,

設(shè)NM4C=a,

:.ZBAM=ZBAC-a=90°-a,

:./ABM=/ABN+NNBM=2a=45。,

a=22.5°,

ZAMB=180°-ZBAM-ZABM=180。—90。+a—45°=67.5°,ZBAM=90°-22.5°=67.5°,

:.AB=BM=①,

:.CM=BC-BM=2-6,

即BN+AM取得最小值為2-母,

故答案為：2-立.

<.............................D

/_--W

/

LM------------B

圖1圖2

考點(diǎn)4：勾股定理及其逆定理

【例8】（2022?湖北武漢?中考真題）如圖，沿方向架橋修路，為加快施工進(jìn)度，在直線上湖的另一

邊的。處同時(shí)施工.取/ABC=150。，BC=1600m,/BCD=105°,則C,。兩點(diǎn)的距離是m.

C

【答案】800拒

【分析】如圖所示：過點(diǎn)C作于點(diǎn)E,先求出CE=800m,再根據(jù)勾股定理即可求出8的長.

【詳解】如圖所示：過點(diǎn)C作CE_L即于點(diǎn)￡,貝i]NBEC=/QEC=90°,

ZABC=150°,.\ZCBD=30°,AZBCE=90°-30o=60°,

又i/BCD=105°,：.?DB=45。,：.ZECD=45°=ZD,：,CE=DE,

BC=1600m,CE=—BC=—xl600=800m,

22

.-.CD1=CE2+DE2=2CE2,即C￡>=0CE=800夜m.故答案為：800vL

【例9】在中，NC=90。，AB=10,則2AB°+AC?+BC?=（）.

A.100B.200C.300D.400

【答案】C

【分析】根據(jù)題意/C=90。，那么AB就為斜邊，則根據(jù)勾股定理可得：AC2+BC2=AB2,那么原式則為

3AB2,再將AB的值代入即可求出答案.

【詳解】解：：在RtaABC中，且/C=90。，

為RtA43C的斜邊，

?*.根據(jù)勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

,2AB2+AC2+BC2=3AB-=3xlO2=300,

故選：C.

■■產(chǎn)田產(chǎn)

（1）已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長.

（2）已知直角三角形的一邊長，求另兩邊長的關(guān)系.

（3）用于證明平方關(guān)系的問題.

金躡摘訓(xùn)蚓

1.（2022.貴州遵義）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的

直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形Q4BC.若AB=BC=1,ZAO8=30。，則點(diǎn)8到OC的距

離為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)題意求得03=2,進(jìn)而求得OC=6,進(jìn)而等面積法即可求解.

【詳解】解：在Rt_ABO,RtB0C中,

ZAOB=30°,AB=BC=1,

;.OB=2,

:.OC=y/OB2+BC2=y/5，

設(shè)B到0C的距離為

:.-OCh^-BCBO,

22

百

n,1=x—2—=-2-

出5

故選B.

2.已知ASC中，AB=AC=10,BD是AC邊上的高線，DC=2,那么2D等于（

【答案】C

【分析】由題意根據(jù)已知可求得A。的長，再根據(jù)勾股定理即可求得8。的長.

【詳解】解："：AB=AC=W,DC=2,

：.AD=AC-DC=8,

BD=y/AB2-AD2=V102-82=6.

故選：C