中考數(shù)學專項復習：瓜豆原理最值問題

專題瓜豆原理中動點軌跡直線型最值問題

【專題說明】

動點軌跡問題是中考的重要壓軸點.受學生解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點往往成為學生在中考中的一

個坎,致使該壓軸點成為學生在中考中失分的一個黑洞.掌握該壓軸點的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復習

的一個重要途徑.本文就動點軌跡問題的基本圖形作一詳述.動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型.

【知識精講】

動點軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。

(1)當動點軌跡確定時可直接運用垂線段最短求最值

(2)當動點軌跡不易確定是直線時，可通過以下三種方法進行確定

①觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等位置時是否存在動點與定直線的端點連

接后的角度不變，若存在該動點的軌跡為直線。

②當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線。

③當一個點的坐標以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線。

如圖，尸是直線3c上一動點，連接AP,取AP中點。，當點尸在3C上運動時，

。點軌跡是？

【分析】當P點軌跡是直線時，。點軌跡也是一條直線.

可以這樣理解：分別過A、。向8c作垂線，垂足分別為/、N,在運動過程中，

因為AP=2AQ,所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故。點

軌跡是一條直線.

A

【引例】如圖，AAP。是等腰直角三角形，NB40=9O。且AP=AQ,當點P在直線

8C上運動時，求。點軌跡?

【分析】當AP與A。夾角固定且AP:A。為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形.

當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的。點的位置，連線即可，比如。

點的起始位置和終點位置，連接即得。點軌跡線段.

【模型總結(jié)】

必要條件：

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（/B4。是定值）;

主動點、從動點到定點的距禺之比是定量（AP:AQ是定值）.

結(jié)論：

產(chǎn)、。兩點軌跡所在直線的夾角等于/以。（當/P4QW90。時，NPAQ等于MN與

BC夾角）

P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ（由^ABC^AAMN,可得AP:AQ^BC:MN'）

【精典例題】

1、如圖，正方形A8C。的邊長為4,E為BC上一點、,且8￡=1,尸為A8邊上的一個動點,

連接EF,以所為邊向右側(cè)作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為.

BEC

2、如圖，等腰R3ABC中，斜邊AB的長為2,0為AB的中點，P為AC邊上的動點，

OQLOP交BC于點Q,M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路

線長為（）

A.史萬B.叵兀C.1

D.2

42

3、如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點尸是矩形ABCD內(nèi)一動點，且SAW=S"s，

則PC+PD的最小值為.

4、如圖，在平面內(nèi)，線段A8=6,P為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的

直線與線段AB垂直相交于點尸，且滿足PC=B4.若點尸沿AB方向從點A運動到點8,則

點E運動的路徑長為.

5、如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,點D是直線AB上一點.將線段CD繞點D順時針

旋轉(zhuǎn)60。得到線段DE,連結(jié)BE.

（1）若點D在AB邊上（不與A,B重合）請依題意補全圖并證明AD=BE；

（2）連接AE,當AE的長最小時，求CD的長.

【精典例題】

1、如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為BC上一點,且BE=1,尸為AB邊上的一個動點,

連接ER以為邊向右側(cè)作等邊AEPG,連接CG,則CG的最小值為.

【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將

尸點看成是由點8向點A運動，由此作出G點軌跡：

考慮到尸點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置,

初始時刻G點在G1位置，最終G點在G2位置（G2不一定在CD邊）,G&即為G

點運動軌跡.

AD

CG最小值即當CGIG,G2的時候取到，作CH_LGtG2于點H,CH即為所求的最

小值.

根據(jù)模型可知：G?2與A2夾角為60°,故GO?，

13

過點E作E凡LC”于點/，則H/三G]E=1,CF=—CE=—,

22

所以CH=*,因此CG的最小值為*.

22

2、如圖，等腰R3ABC中，斜邊AB的長為2,。為AB的中點，P為AC邊上的動點,

OQLOP交BC于點Q,M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路

線長為（

0

C

A.工B6〃

u.-----nC.1D.2

42

【答案】C

【詳解】連接OC,作PE_LAB于E,MH_LAB于H,QFJ_AB于F,如圖,

VAACB為到等腰直角三角形,

.?.AC=BC=，ZA=ZB=45°,

為AB的中點,

AOCXAB,OC平分NACB,OC=OA=OB=1,

.\ZOCB=45°,

VZPOQ=90°,ZCOA=90°,

ZAOP=ZCOQ,

在RtAAOP和^COQ中

NA=ZOCQ

AO=CO

ZAOP=ZCOQ

.*.RtAAOP^ACOQ,

；.AP=CQ,

易得△APE和4BFQ都為等腰直角三角形,

ACQ,QF=

.-.PE=2/1P=——BQ,

222

，PE+QF=EBC=^x0=l,

(CQ+BQ)=—

222

點為PQ的中點，

/.MH為梯形PEFQ的中位線,

11

.\MH=-(PE+QF)=5

即點M到AB的距離為工,

2

而CO=1,

，點M的運動路線為△ABC的中位線，

二當點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長=工AB=1,

2

故選C.

3、如圖，矩形ABCD中，A8=4.6C=6,點尸是矩形A3CD內(nèi)一動點，且網(wǎng)=SAPCD,

則PC+PD的最小值為

【答案】2岳

【詳解】

??,ABCD為矩形，

AB=DC

又,S?PAB=S&PCD

點尸到AB的距離與到CD的距離相等，即點P線段AD垂直平分線上，

連接AC,交MN與點、P，此時PC+?D的值最小，

且尸C+PD=AC=NAB?+BC?=卮=2屈

故答案為：2岳

4、如圖，在平面內(nèi)，線段A8=6,P為線段AB上的動點，三角形紙片CDE的邊CD所在的

直線與線段AB垂直相交于點尸，且滿足PC=B4.若點尸沿AB方向從點A運動到點8,則

點E運動的路徑長為.

X

Cp\D

A

【答案】6近.

【詳解】

解：如圖，由題意可知點C運動的路徑為線段AC,點E運動的路徑為EE,由平移的性質(zhì)

可知AC=EE,在RtAABC中，易知AB=BC=6,ZABC'=90°,；.EE?AC=招+62=60，

故答案為：672.

5、如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,點D是直線AB上一點.將線段CD繞點D順時針

旋轉(zhuǎn)60。得到線段DE,連結(jié)BE.

（1）若點D在AB邊上（不與A,B重合）請依題意補全圖并證明AD=BE；

（2）連接AE,當AE的長最小時，求CD的長.

【答案】（1）見解析；（2）2手

【詳解】

解：（1）補全圖形如圖1所示，AD=BE,理由如下:

,/△ABC是等邊三角形，

.\AB=BC=AC,NA=NB=60°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZACB=ZDCE=60°,CD=CE,

；.NACD=/BCE,

/.△ACD^ABCE（SAS）,

.\AD=BE.

(2)如圖2,過點A作AFLEB交EB延長線于點F.

VAACD^ABCE,

.,.ZCBE=ZA=60°,

.?.點E的運動軌跡是直線BE,

根據(jù)垂線段最短可知：當點E與F重合時，AE的值最小,

此時CD=CE=CF,

,.,ZACB=ZCBE=60°,

；.AC〃EF,

VAFXBE,

AAFXAC,

在RtAACF中，

CF=yjAC2+AF2=^42+(2^/3)2=2A/7，

.?.CD=CF=2A/7.

專題瓜豆原理中動點軌跡圓或圓弧型最值問題

【專題說明】

動點的軌跡為定圓時，可利用：“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點到圓心

的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。

確定動點軌跡為圓或者圓弧型的方法：

(1)動點到定點的距離不變，則點的軌跡是圓或者圓弧。

(2)當某條邊與該邊所對的角是定值時，該角的頂點的軌跡是圓，具體運用如下;

①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形

②見定角，找對邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形

【知識精講】

如圖，戶是圓。上一個動點，/為定點，連接力戶，。為45中點.

考慮：當點?在圓。上運動時，0點軌跡是？

【分析】觀察動圖可知點。軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓。有什么關(guān)系？

考慮到0點始終為/尸中點，連接取中點弘則〃點即為0點軌跡圓圓心，半徑欣

是神一半，任意時刻，均有△/施s△/卯，QM:PO=AQ:A片1:2.

【小結(jié)】確定。點軌跡圓即確定其圓心與半徑,

由A,Q、戶始終共線可得：A,M、。三點共線,

由0為4戶中點可得：/滬1/2/0.

。點軌跡相當于是尸點軌跡成比例縮放.

根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系;

根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系.

D

A."B.3C.V13-1D.y/io-l

2

3、如圖，在R3ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,BC=2”,△AOC與AABC關(guān)于

AC對

稱，點E、F分別是邊。C、8c上的任意一點，且DE=CF,BE、。F相交于點P,則“

的最小值為（）

A.1B.C.D.2

3

4、如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=6,E是AB邊的中點，尸是線段BC上的動點，將

△EBF沿EF所在直線折疊得到AEB'F,連接B'D,則B'D的最小值是.

5、如圖，RtZVLBC中，ABLBC,AB=6,5c=4,尸是/XABC內(nèi)部的一個動點,

且滿足ZPAB+ZPBA=90°,則線段CP長的最小值為

6、如圖，點。在半圓。上，半徑OB=5,AD=4,點C在弧3。上移動，連接AC,作

DHLAC,垂足為“，連接3H，點C在移動的過程中，8目的最小值是.

于點C,已知點A的橫坐標為一：?

(1)求拋物線的對稱軸和點B的坐標；

(2)在AB上任取一點P,連結(jié)OP,作點C關(guān)于直線OP的對稱點D；

①連結(jié)BD,求BD的最小值；

②當點D落在拋物線的對稱軸上，且在二軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達式.

【精典例題】

1、如圖，在RtAABC中，NC=90°，AC=4,BC=3,點。是AB的三等分點，半圓。

與AC相切，M,N分別是8C與半圓弧上的動點，則MN的最小值和最大值之和是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【詳解】

如圖，設。。與AC相切于點D,連接。。作OP_L5C垂足為尸交0O于尸,

此時垂線段0P最短，PF最小值為OP-OF,

VAC=4,BC=3,

.,.AB=5

NOPB=90°，

：.OP\\AC

:點。是AB的三等分點,

.八八2「10OPOB2

??OB——x5——,-——

33ACAB3

.?.°Y

:。。與AC相切于點￡）,

；?ODA.AC,

AOD//BC，

,OPOA1

"BC~AB^3'

OD—1,

o5

MN最小值為OP—OF=—1=—，

33

如圖，當N在AB邊上時，M與8重合時，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長,

士10,13

MN取大值=---1-1=—,

33

513人

-+—=6,

33

長的最大值與最小值的和是6.

故選艮

2、如圖，在矩形紙片ABC。中，AB=2,AD=3,點E是43的中點，點尸是邊上

的一個動點，將△AEF沿所在直線翻折，得至!JAA'ER,則4C的長的最小值是（）

B

A.三B.3C.V13-1D.V10-1

2

【答案】D

【詳解】

以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE,當點A'在線段CE上時，A'C的長取最小

值，如圖所示，

根據(jù)折疊可知：A'E=AE=-AB=1.

2

在R^BCE中，BE=-AB=1,BC=3,NB=90。，

一2-

.-.CE=VBE2+BC2=M，

A'C的最小值=CE—A'E=歷—1.

故選D.

3、如圖，在RSABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,BC=2,△AOC與AABC關(guān)于

AC對稱，點、E、尸分別是邊。C、BC上的任意一點，且。E=CP,BE、。尸相交于點P,則

CP的最小值為（）

A.1B.C.D.2

D

【答案】D

【詳解】

連接A￡),因為NACB=30。，所以/28=60。，

因為CB=CD,所以△CBD是等邊三角形，

所以8￡>=OC.

因為DE=CV,/EDB=/FCD=60。,

所以4EDB空AFCD,所以NEBD=NFDC,

因為/FDC+/BDF=60°,

所以NEBO+NBO尸=60。，所以/8PO=120。，

所以點尸在以A為圓心，AQ為半徑的弧8。上，

直角AABC中，ZACB=30°,2。=2、弓，所以AB=2,AC=4,

所以AP=2.

當點A,P,C在一條直線上時，CP有最小值，

CP的最小值是AC—AP=4—2=2.

故選D

4、如圖，在矩形ABC。中，AB=4,AD=6,E是A2邊的中點，尸是線段BC上的動點，將

△EBF沿EF所在直線折疊得到AEB'F,連接B'D,則B'D的最小值是.

【答案】2M-2.

【詳解】

如圖所示點8在以E為圓心EA為半徑的圓上運動，當。、E共線時，的值最小,

根據(jù)折疊的性質(zhì)，△EBF咨AEBH：.ZB=ZEB'F,EB'=EB.

是AB邊的中點，AB=4,：.AE=EB'^2.

,：AD=6,:.DE=d?+于=2屈,；.B，D=2M—2.

故答案為2癡—2.

5、如圖，中，ABLBC,AB=6,BC=4,尸是ZXABC內(nèi)部的一個動點,

且滿足ZPAB+NPBA=90°,則線段CP長的最小值為.

【答案】2：

【詳解】

,/ZPAB+ZPBA=90°

，ZAPB=90°

...點P在以AB為直徑的弧上（P在△ABC內(nèi)）

設以AB為直徑的圓心為點0,如圖

接OC,交OO于點P,此時的PC最短

VAB=6,

.?.0B=3

VBC=4

OC=y/OB2+BC2=A/32+42=5

.\PC=5-3=2

6、如圖，點。在半圓。上，半徑OB=5,AD=4,點C在弧3。上移動，連接AC，作

DHLAC,垂足為連接點C在移動的過程中，的最小值是.

D

C

AoB

【答案】2叵-2

【詳解】

如圖，設AD的中點為點E,則叢=瓦＞=L4。=!義4=2

22

由題意得，點H的運動軌跡在以點E為圓心，EA為半徑的圓上

由點與圓的位置關(guān)系得：連接BE,與圓E交于點H,則此時9取得最小值，EH=2

連接BD

VAB為半圓0的直徑

:.ZADB=90°

BD=VAB2-AD2='(5+5)2—42=2歷

BE=^BDr+ED1=7(2A/21)2+22=2722

BH=BE-EH=2A/22-2

故答案為：2叵-

7、如圖，過拋物線,v=；x：上一點A作工軸的平行線，交拋物線于另一點B,交1軸

于點C,已知點A的橫坐標為一2.

(1)求拋物線的對稱軸和點B的坐標；

(2)在AB上任取一點P,連結(jié)OP,作點C關(guān)于直線OP的對稱點D；

①連結(jié)BD,求BD的最小值；

②當點D落在拋物線的對稱軸上，且在工軸上方時，求直線PD的函數(shù)表達式.

【詳解】

-2

(1)由題意A(-2,5),對稱軸x=-1=4,

2x—

4

,：A、B關(guān)于對稱軸對稱，

J.B(10,5).

(2)①如圖1中,

由題意點D在以0為圓心0C為半徑的圓上，

...當0、D、B共線時，BD的最小值=0B-0D=用+]0：-5=5后

②如圖2中，

圖2

當點D在對稱軸上時，在RtAODE中，0D=0C=5,0E=4,

DE=:Z

,■?\to-OE=E-4；=3,

點D的坐標為(4,3).

設PC=PD=x,在RtAPDK中，x2=(4-x)2+22,

._5

??X-__,

2

5

AP5),

2

425

，直線PD的解析式為y=-3x+3.

專題瓜豆原理中動點軌跡不確定型最值問題

【專題說明】

動點軌跡非圓或直線時，基本上將此線段轉(zhuǎn)化為一個三角形中，

(D利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求最值。

(2)在轉(zhuǎn)化較難進行時，可借助直角三角形斜邊上的中線及中位線或構(gòu)建全等圖形進一步轉(zhuǎn)化求最值。

【知識精講】

所謂“瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動點

與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，

而當主動點軌跡是其他圖形時，從動點軌跡必然也是.

【精典例題】

1、如圖，在反比例函數(shù)y=-二的圖像上有一個動點4連接/。并延長交圖像的

另一支于點8,在第一象限內(nèi)有一點C滿足/年8G當點/運動時，點C始終在

函數(shù)y=2的圖像上運動，若tan/CAB=2,則彳的值為（）

x

A.2B.4C.6D.8

【模型】一、借助直角三角形斜邊上的中線

1、如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x

軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）

A.6B.276C.2V50.2V2+2

【模型】二、借助三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

1、如圖，已知等邊三角形力加邊長為2班，兩頂點46分別在平面直角坐標系的X軸負

半軸、軸的正半軸上滑動，點C在第四象限，連接。G則線段％長的最小值是（）

y,

A.73-1B.3-73C.3D.V3

2、如圖，ZM0N=90°,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、0N±,當B在邊ON上運動時,

A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4,BC=2.運動過程中點D到點0

的最大距離是.

3、如圖，在八45。中，ZACB=90°,ZC4B=30°,AB=6,以線段A5為邊向外作

等邊△ABD，點E是線段AB的中點，連結(jié)CE并延長交線段AD于點尸.

⑴求證：四邊形3CED為平行四邊形；

(2)求平行四邊形BCED的面積;

(3)如圖，分別作射線CM,CN,如圖中△ABD的兩個頂點A，3分別在射線CN,CM

上滑動，在這個變化的過程中，求出線段CD的最大長度.

4、如圖，在H/AABC中，ZACB=9Q°＞將AABC繞頂點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,"

是的中點，N是45'的中點，連接肱V,若8C=4,NA3C=60。，則線段MV的

最大值為（）

A.4B.8C.4月D.6

【模型】三、借助構(gòu)建全等圖形

1、如圖，在AABC中，ZACB=90°,NA=30°,AB=5,點P是AC上的動點，連接BP,

以BP為邊作等邊ABP、，連接CQ,則點P在運動過程中，線段CQ長度的最小值是

2、如圖，邊長為12的等邊三角形/8C中，〃是高陽所在直線上的一個動點，連結(jié)物，將

線段掰繞點6逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到剛連結(jié)班則在點〃運動過程中，線段的長度的最

小值是（）

A.6B.3C.2D.1.5

【模型】四、借助中位線

1、如圖，在等腰直角△力6c中，斜邊46的長度為8,以AC為直徑作圓，點戶為半圓上

的動點，連接BP,取BP的中點〃，則0/的最小值為（）

C.屈-0D.342-45

2、如圖，拋物線y=（x2—1與x軸交于AB兩點,。是以點C（0,4）為圓心，1為半徑

的圓上的動點，E是線段AD的中點，連接0￡應＞,則線段0E的最小值是（）

3J25

A.2B.三上C.-D.3

22

【精典例題】

1、如圖，在反比例函數(shù)y=的圖像上有一個動點4連接力。并延長交圖像的

X

另一支于點6,在第一象限內(nèi)有一點C滿足/已6G當點/運動時，點。始終在

函數(shù)y=A的圖像上運動，若tan/CAB=2,則"的值為（）

A.2B.4C.6D.8

【分析】ZAO（=90°且4。:〃年1:2,顯然點。的軌跡也是一條雙曲線，分別作/從

GV垂直x軸，垂足分別為雙N,連接%,易證△/幽9s0N=2AM,

：.0N?C用4AM?0M,故公4X2=8.

【思考】若將條件“tan/CAB=2”改為"△力回是等邊三角形”，A會是多少？

【模型】一、借助直角三角形斜邊上的中線

1、如圖，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x

軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是（）

A.6B.2娓C.2臟D.2A/2+2

【答案】D

【解析】

解：如圖，取CA的中點D,連接OD、BD,

則OD=CD寺C=,X4=2,

由勾股定理得，BD=*7P=2&,

當0、D、B三點共線時點B到原點的距離最大,

所以，點B到原點的最大距離是2+2&.

故答案為2+2后.

【模型】二'借助三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊

1、如圖，己知等邊三角形力寬邊長為2石，兩頂點46分別在平面直角坐標系的x軸負

半軸、軸的正半軸上滑動，點C在第四象限，連接。G則線段"長的最小值是（）

A.73-1B.3-^/3C.3D.6

【答案】B

【詳解】

解：如圖所示：過點。作血功于點￡,連接0E,

是等邊三角形，

.?.CE=ACXsin60°=2百x3=3,AE=BE,

2

VZA0B=90°,

：.E0=^AB=y[3,

/.EC-OE^OC,

當點Gft￡在一條直線上，此時%最短,

故0C的最小值為：OC=CE-E0=3-V3

故選8

2、如圖，ZM0N=90°,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON±,當B在邊ON上運動時,

A隨之在0M上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=4,BC=2.運動過程中點D到點0

的最大距離是.

【答案】2應+2

【詳解】

如圖，取AB的中點E,連接OE、DE、0D,

VOD^OE+DE,

.?.當0、D、E三點共線時，點D到點0的距離最大,

此時，VAB=4,BC=2,

1

.\0E=AE=-AB=2,

2

DE=VAO2+AE2=A/22+22=272，

，0D的最大值為：20+2,

故答案為2亞+2.

3、如圖，在Z\ABC中，ZACB=90°,ZG4B=30°,AB=6,以線段A5為邊向外作

等邊△ABD，點E是線段A3的中點，連結(jié)CE并延長交線段AD于點尸.

⑴求證：四邊形3CED為平行四邊形；

(2)求平行四邊形BCED的面積；

⑶如圖，分別作射線CM,CN,如圖中ZWD的兩個頂點A，3分別在射線CN,CM

上滑動，在這個變化的過程中，求出線段CD的最大長度.

【答案】⑴證明見解析；(2)9^/3;(3%+3省.

【詳解】

⑴在AABC中，，ACB=90°,/CAB=30°,.,./ABC=60°,

在等邊AABD中，/BAD=60°,.?./BAD=/ABC=60°,

?.,E為AB的中點，；.AE=BE，

又?.?/AEF=/BEC,

.-.AAEF^ABEC，

在AABC中，ZACB=90°,E為AB的中點，.?.?￡=▲",BE=-AB,

22

..CE=AE,.-.^EAC=^ECA=30o,^BCE=^EBC=60°,

又AAEF^ABEC,ZAFE=/BCE=60°，

又?.?/D=60°,;./AFE=4)=60。，

/.FC||BD,

又?.?/AD=/ABC=60。，?^.AD||BC,即FD||BC,

四邊形BCFD是平行四邊形；

⑵在RSABC中，?.?/BAC=30°,AB=6,

BC=-AB=3,

2

,,AC=yjAB2—BC2=,6?-3?—3/>

?Q=3\/39yf3；

.?"平行四邊形BCFDx3=

(3)取AB的中點G,連結(jié)CG,DG,CD

?.?CDWCG+DG,

/.CD的最大長度=CG+DG=3+.

4、如圖，在H/AABC中，ZACB=9Q°，將AABC繞頂點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,"

是的中點，N是A'5'的中點，連接肱V,若3c=4,NA3C=60。，則線段MV的

最大值為（）

C.4A/3D.6

【答案】D

【詳解】

連接CN,

V將AABC繞頂點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到AA'5'C,

AZA'CB'=ZACB^90°,B'C=BC=4,ZA'B'C=ZABC=60°,

.,.ZA'=30°,A'B'=8,

：N是A'5'的中點，

CN=-A'B'=4,

2

:在KMN中，MN<CM+CN,當且僅當M,C,N三點共線時，MN=CM+CN=6,

，線段肱V的最大值為6.

故選D.

【模型】三、借助構(gòu)建全等圖形

1、如圖，在AABC中，ZACB=90°,ZA=30°,AB=5,點P是AC上的動點，連接BP,

以BP為邊作等邊△BPQ,連接CQ,則點P在運動過程中，線段CQ長度的最小值是.

B,

【答案】

【詳解】

解：如圖，取AB的中點E,連接CE,PE.

VZACB=90°,ZA=30°,

ZCBE=60°,

VBE=AE,

ACE=BE=AE,

???△BCE是等邊三角形，

/.BC=BE,

VZPBQ=ZCBE=60°,

.,.ZQBC=ZPBE,

VQB=PB,CB=EB,

.,.△QBC^APBE(SAS),

???QC=PE,

???當EPLAC時,QC的值最小，

在RtaAEP中，VAE=,ZA=30°，

5

：.PE=AE=，

15

???CQ的最小值為.

故答案為：5

4

2、如圖，邊長為12的等邊三角形A6C中，〃是高紡所在直線上的一個動點，連結(jié)MB,將

線段加繞點方逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到融連結(jié)成則在點〃運動過程中，線段m長度的最

小值是（）

A.6B.3C.2D.1.5

【答案】B

【詳解】

解：如圖，取