中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：線段、角、對角線的計數(shù)模型（原卷版+解析）

專題05.線段、角、對角線的計數(shù)模型

本專題主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實驗和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構(gòu)建數(shù)學(xué)模

型解決實際問題等。線段的條數(shù)、直線的交點(diǎn)數(shù)、角的個數(shù)、對角線條數(shù)等計數(shù)規(guī)律，可以自己推導(dǎo)后進(jìn)

行記憶。本專題就線段（角度）的計數(shù)、平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計數(shù)、多邊形的對角線條數(shù)和

三角形個數(shù)的計數(shù)模型進(jìn)行研究，以方便大家掌握。

模型1.線段與角度的計數(shù)模型

1）線段的計數(shù)模型

結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個方向數(shù)，不回頭）；

結(jié)論拓展：若有”個點(diǎn)，則線段數(shù)量為：（"-1）+（?-2）+...+4+3+2+1="（”1）（條）

2

例1.（2023秋?浙江?七年級階段練習(xí)）如圖，射線AD上有3,C,D,則圖中有（）

????

ABCD

A.1條射線、3條線段B.4條射線、3條線段C.4條射線、6條線段D.7條射線、8條線段

例2.（2023秋?浙江七年級月考）如圖所示，由泰山始發(fā)終點(diǎn)至青島的某一次列車，運(yùn)行途中停靠的車站依

次是：泰山一一濟(jì)南一一淄博一一濰坊一一青島，那么要為這次列車制作的單程火車票（）種.

??????

泰山濟(jì)南淄博濰坊青島

A.5B.10C.15D.20

例3.（2023春?山東淄博?七年級統(tǒng)考期中）如圖，是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個點(diǎn)表示

5個車站，在這段路線上往返行車，需印制多少種車票？（）

IIIII

ABCDE

A.10B.11C.18D.20

例4.(2023秋?四川甘孜?七年級統(tǒng)考階段練習(xí))①如圖(1),直線I上有2個點(diǎn)，則圖中有2條可用圖中

字母表示的射線：A1A2、A2AI,有1條線段：AIA2：②如圖(2),直線I上有3個點(diǎn)，則圖中有幾條可用

圖中字母表示的射線，有幾條線段，并分別用圖中字母表示出來；③如圖(3),直線I上有n個點(diǎn)，則圖

中有多少條可用圖中字母表示的射線，有多少條線段，分別用含n的代數(shù)式表示出來；

④應(yīng)用(3)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級共有8個班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行循環(huán)賽(即每兩隊

之間賽一場)，預(yù)計全部賽完共需多少場比賽？

-I---1---/IIIIII________]/

4A24a4A\4…A

i2z.jizn

(1)(2)(3)

例5.(2023秋?山西七年級月考)主題式學(xué)習(xí)：數(shù)形規(guī)律探究學(xué)習(xí)

⑴發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想說理.

,3(1+3)

1+2+3=6=-^——L

2

4(1+4)

1+2+3+4=10=-^——上

2

5(1+5)

1+2+3+4+5=15=-^——L...........

2

以此類推，我們發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+……+〃的和與第一個數(shù)、最后一個數(shù)及數(shù)的個數(shù)有關(guān).

如果，我們設(shè)S=l+2+3+4+……+n

貝°2s=1+2+3+4++n+1+(〃—3)+(〃—2)+(n—1)+n

我們可以看出此等式的右邊是若干個。+〃)的和，

EI2S=.貝打+2+3+4+……+〃=.

(2)運(yùn)用規(guī)律，計算表達(dá).①求3+4+5+6+7+8+9......+100=.

②某校為慶祝2023年元旦，活躍學(xué)生文化生活，舉行歌詠比賽.七年級(9)班獲得第一名，該班學(xué)生列

隊以"單擊掌”形式(每兩個學(xué)生擊掌一次)祝賀獲獎；活動結(jié)束后該班同學(xué)又互贈“元旦祝福語如果該班

有尤名同學(xué)，則共擊掌次，共贈送祝福語條.

⑶遷移規(guī)律，解決問題.①如圖，"北京一一廣州"航線上有4、B、C、D、E、F、G、H8個城市，如果每

兩個城市都要互通航班，那么這條航線上一共需要開通架航班.

北京，,廣州

ABCDEFGH

②如圖，在4x5的方格中，橫線和豎線上的線段共有條.

②圖③圖

③2022年足球世界杯在卡塔爾舉行（如圖是足球世界杯獎杯"大力神杯"和卡塔爾世界杯會徽、吉祥物），

共有32支國家足球隊參賽.比賽分小組賽、1/8決賽、1/4決賽、半決賽、二四名決賽、決賽六個階段進(jìn)行.32

支球隊平均分成8個進(jìn)行小組循環(huán)賽（小組內(nèi)每兩支球隊舉行一場比賽）;每小組前兩名球隊進(jìn)入1/8決賽，

然后實行淘汰賽，勝者進(jìn)入1/4決賽.....請你計算2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場比賽？

2）角度的計數(shù)模型

結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（個）（注意：按一個方向數(shù)，不回頭）；

結(jié)論拓展：若有〃條射線，則角度數(shù)量為：g）+g）…+3+2+1=與（個）

例L（2023春?浙江?七年級課堂例題）圖中角的個數(shù)是（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

例2.（2023?四川內(nèi)江?七年級月考）在銳角0A08內(nèi)部，畫1條射線，可得3個銳角；畫2條不同射線，可

得6個銳角；畫3條不同射線，可得10個銳角；…照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角個.

例3.（2023秋?浙江?七年級專題練習(xí)）觀察思考：（1）在0A08內(nèi)部畫1條射線OC,則圖中有3個不同

的角；（2）在0AO8內(nèi)部畫2條射線OC、OD,則圖中有幾個不同的角？

（3）3條射線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，表示出“條射線能有幾個不同的角？

例4.（2023秋?湖北孝感?七年級統(tǒng)考期末）如圖1,從點(diǎn)。分別引兩條射線，則得到一個角/AO3.（圖中

的角均指不大于平角的角）。（1）探究：①如圖2,從點(diǎn)。分別引三條射線，則圖中得到個角；

②如圖3,從點(diǎn)。分別引四條射線，則圖中得到個角；

③依此類推，從點(diǎn)。分別引〃條射線，則得到個角（用含〃的式子表示）；

（2）應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級共有16個班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽（即

每兩隊之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？

AA

C

D

o-B

圖1圖2圖3

3）平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計數(shù)模型

直線的條數(shù)最多交點(diǎn)個數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)

102

214

337

?????????

n〃（撲+1）

22

例1.（2023春?浙江七年級期中）已知2條直線最多有2X（2-1）=1個交點(diǎn),3條直線最多有由9二。=3個

22

交點(diǎn),4條直線最多有1*（47）=6個交點(diǎn),…由此猜想，8條直線最多有個交點(diǎn)（）

2

A.16B.28C.32D.40

例2.（2023春?浙江嘉興?七年級?？茧A段練習(xí)）若平面內(nèi)互不重合的4條直線只有3個交點(diǎn)，則平面被分成

了（）個部分.

A.7或8B.8C.8或9D.10

例3.（2023春?浙江?七年級專題練習(xí)）2條直線相交，有1個交點(diǎn)；3條直線相交，最多有3個交點(diǎn)；"條

直線相交最多有多少個交點(diǎn)？（）

1,1,

A.萬("—〃)B.2〃一1C.—3D.—(2.n~—3)

例4.(2023春?浙江七年級期中)觀察表格：

X-Xk

1條直線2條直線3條直線4條直線

0個交點(diǎn)1個交點(diǎn)（1+2）個交點(diǎn)（1+2+3）個交點(diǎn)

平面分成（1+1）塊平面分成（1+1+2）塊平面分成（1+1+2+3）塊平面分成（1+1+2+3+4）塊

根據(jù)表格中的規(guī)律解答問題：

（1）5條直線兩兩相交，有個交點(diǎn)，平面被分成塊；

（2）”條直線兩兩相交，有個交點(diǎn)，平面被分成塊；

（3）應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：一張圓餅切10刀（不許重疊），最多可得到塊餅.

例5.（2023春?江蘇?七年級專題練習(xí)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖，我們通過觀察后可以發(fā)現(xiàn)：兩條直線相交，最多

有1個交點(diǎn)；三條直線相交，最多有3個交點(diǎn)；那么四條直線相交，最多有個交點(diǎn)；w條直線相交,

最多有個交點(diǎn)（用含〃的代數(shù)式表示）；

【實踐應(yīng)用】在實際生活中同樣存在數(shù)學(xué)規(guī)律型問題，請你類比上述規(guī)律探究，計算：某校七年級舉辦籃

球比賽，第一輪要求每兩班之間比賽一場，若七年級共有16個班，則這一輪共要進(jìn)行多少場比賽？

4）多邊形的對角線條數(shù)和三角形個數(shù)的計數(shù)模型

結(jié)論：從〃邊形一個頂點(diǎn)出發(fā)可引出（w-3）條對角線；這些對角線把多邊形分割成（力-2）個三角形；

“邊形共有心心對角線。

2

例1.（2023秋?湖北武漢?八年級?？茧A段練習(xí)）六邊形共有多少條對角線（）

A.8B.9C.10D.12

例2.（2023春?山東威海?七年級統(tǒng)考期中）從多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出4條對角線，則該多邊形

的邊數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

例3.（2023春?河南新鄉(xiāng)?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若經(jīng)過〃邊形的一個頂點(diǎn)的所有對角線可以將該n邊形分成

6個三角形，則”邊形的對角線條數(shù)為（）

A.20B.19C.18D.17

例4.（2023秋,山東濟(jì)南?七年級校聯(lián)考期末）我們知道，四邊形有2條對角線，五邊形有5條對角線，那

么十二邊形的對角線總條數(shù)是（）

A.9B.54C.60D.108

例5.（2023?山東?八年級專題練習(xí)）多邊形的對角線：

多邊形的對角線是連接多邊形的兩個頂點(diǎn)的線段，從”邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)有條對角線，將“邊

形分成個三角形，一個"邊形共有條對角線.

例6.（2023秋,浙江七年級課時練習(xí)）請仔細(xì)觀察下面的圖形和表格，并回答下列問題:

(1)(2)

多邊形的頂點(diǎn)數(shù)/個45678.....n

從一個頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)/條12345.....①___________

多邊形對角線的總條數(shù)/條2591420.....②___________

(1)觀察探究：請自己觀察上面的圖形和表格，并用含"的代數(shù)式將上面的表格填寫完整，其中

①；②；

(2)實際應(yīng)用：數(shù)學(xué)社團(tuán)共分為6個小組，每組有3名同學(xué).同學(xué)們約定，大年初一時不同組的兩位同學(xué)

之間要打一個電話拜年，請問，按照此約定，數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們一共將撥打電話多少個？

課后專項訓(xùn)練

1.（2023?湖北?七年級階段練習(xí)）平面內(nèi)10條直線把平面分成的部分個數(shù)最多是（）

A.46個B.55個C.56個D.67個

2.（2023春?四川達(dá)州?七年級校考期末）如圖圖形是按一定的規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第10個圖形有（）

條線段.

A.125B.140C.155D.160

3.（2023秋?湖北襄陽?七年級校考階段練習(xí)）過平面上A,B,C,。四點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)作直線，一共可作的

直線條數(shù)不可能是（）

A.6B.5C.4D.1

4.（2023春?山東泰安?七年級?？茧A段練習(xí)）濟(jì)青高鐵北線，共設(shè)有5個不同站點(diǎn)，要保證每兩個站點(diǎn)之間

都有高鐵可乘，需要印制不同的火車票（）

A.20種B.42種C.10種D.84種

5.（2023秋?安徽蚌埠?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，以A為一個端點(diǎn)的線段共有（）

ABCD

A.1條B.2條C.3條D.4條

6.（2023秋?浙江七年級月考）公園里準(zhǔn)備修5條直的通道，并在通道交叉路口處設(shè)一個報亭，這樣的報亭

最多設(shè)（）

A.9個B.10個C.II個D.12個

7.（2023秋?陜西咸陽?七年級統(tǒng)考期末）從五邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以畫出m條對角線，它們將五邊形分

成”個三角形.則加、”的值分別為（）

A.1,2B.2,3C.3,4D.4,4

8.（2023春,浙江,八年級專題練習(xí)）過多邊形一個頂點(diǎn)的所有對角線，將這個多邊形分成4個三角形，那么

這個多邊形是（）

A.六邊形B.七邊形C.八邊形D.九邊形

9.（2023?四川成都?七年級?？计谀┏啥寂c重慶之間往返的動車，除起始站和終點(diǎn)站外中途都有3個?？?/p>

站，則鐵路部門針對此動車需要發(fā)售種不同行程的動車票.

10.（2023秋?吉林長春,七年級統(tǒng)考期末）過平面上A、B、C三點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)作直線，可作條.

11.（2023秋?寧夏吳忠?八年級?？茧A段練習(xí)）已知正多邊形的邊長為5,從其一個頂點(diǎn)出發(fā)共有3條對角

線，則該正多邊形的周長為.

12.（2023秋?四川成都?七年級?？计谀┢矫鎯?nèi)有〃條直線522）,這n條直線兩兩相交，最多可以得到

。個交點(diǎn)，最少可以得到6個交點(diǎn)，則a+b=.

13.（2023秋?廣西七年級課時練習(xí)）如圖：已知NAO3=60。，NCOE=30°,圖中以。為頂點(diǎn)的所有角之

和為.

14.（2023秋?遼寧沈陽?七年級統(tǒng)考期末）多邊形的一個頂點(diǎn)處的所有對角線把多邊形分成了11個三角形，

則經(jīng)過這一點(diǎn)的對角線的條數(shù)是條.

15.（2023春?浙江金華?八年級統(tǒng)考期末）過某個多邊形一個頂點(diǎn)的所有對角線，將這個多邊形分成5個三

角形，則這個多邊形是邊形.

16.（2023秋?山東七年級課時練習(xí)）如圖，。為直線上一點(diǎn)，圖中小于平角的角有個；若。。、

OE分別平分/AOC和-30C,則圖中共有對互余的角，對互補(bǔ)的角.

17.（2023秋,福建福州?七年級校考階段練習(xí)）往返于甲、乙兩地的火車，途中?？咳齻€站，則至多要準(zhǔn)備一種

車票.

18.（2023春?湖北武漢?七年級統(tǒng)考開學(xué)考試）已知10條直線兩兩相交,最多會有的交點(diǎn)數(shù)可能是個.

19.（2023秋?廣東深圳?七年級?？计谀┤粢粋€多邊形的邊數(shù)是這個多邊形從一個頂點(diǎn)發(fā)出的對角線條數(shù)

的2倍，則這個多邊形是_邊形.

20.（2023秋?廣東七年級月考）如圖，在銳角/AO3內(nèi)部，畫1條射線，可得個銳角；畫2條不同

射線，可得個銳角；畫3條不同射線，可得個銳角照此規(guī)律，畫，條不同射線，可得

個銳角.

A

C

B.

（1）畫直線AC,線段BC,射線A3；（2）在線段8C上任取一點(diǎn)。（不同于8,C）,連接線段A￡＞；

⑶數(shù)數(shù)看，此時圖中線段的條數(shù).

22.（2023秋?四川瀘州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，O為直線上一點(diǎn)，ZAOC=50°,平分

ZAOC,ZDOE=90°.

⑴請你數(shù)一數(shù)，圖中有多少個小于平角的角；（2）求出NBOD的度數(shù);

⑶請通過計算說明OE是否平分ZBOC.

23.（2023秋?浙江?七年級專題練習(xí)）閱讀表:

線段AB上的點(diǎn)數(shù)（包括A,8兩點(diǎn)）圖形線段總條數(shù)N

3ACB3=2+1

4ACDB6=3+2+l

5ACDEB10=4+3+2+1

6

7

解答下列問題：（1）在表中空白處分別畫出圖形，寫出線段總條數(shù)；

（2）請猜測，線段總條數(shù)N與線段上的點(diǎn)數(shù)〃（包括線段的兩個端點(diǎn)）有什么關(guān)系？請寫出來；

⑶變式練習(xí)①：如果過每兩點(diǎn)可以畫一條直線，那么請在下面三組圖中分別畫線，并回答問題:

（1）（2）（3）

第（1）組最多可以畫一條直線；第（2）組最多可以畫一條直線；第（3）組最多可以畫一條直線.

歸納結(jié)論：如果平面上有"（"23）個點(diǎn)，且每3個點(diǎn)均不在一條直線上，那么最多可以畫出直線條.（用

含”的代數(shù)式表示）

變式練習(xí)②：某班50名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會中，若每兩人握一次手問好，則共握次手；最后，

每兩個人要互贈禮物留念，則共需件禮物.

變式練習(xí)③：從A地到B地的火車途中共?？?個站（不包括出發(fā)站和終點(diǎn)站），請問共需準(zhǔn)備一種車票.

ACDEB

ACDB

AB

24.（2023秋?浙江?七年級專題練習(xí)）解答下列各題

（1）如圖，在/AC?中，以O(shè)為頂點(diǎn)引射線，填表:

—403內(nèi)射線的條數(shù)1234

角的總個數(shù)————

（2）若-AO3內(nèi)射線的條數(shù)是。，請用關(guān)于。的式子表示出上面的結(jié)論.

（3）若2493內(nèi)有射線條數(shù)是2020,則角的總個數(shù)為多少？

25.（2023秋?浙江七年級月考）（1）觀察思考

如圖所示，線段上的點(diǎn)數(shù)與線段的總條數(shù)有如下關(guān)系：如果線段A8上有3個點(diǎn)，那么線段總條數(shù)為3；

如果線段A3上有4個點(diǎn)，那么線段總條數(shù)為6；如果線段48上有5個點(diǎn)，那么線段總條數(shù)為.

?~,^3x（3-1）

jrj3—2十1——--

~~~~u4x（4-1）

JrD46=3+2+1=---

7~ni~j

（2）模型構(gòu)建:如果線段上有機(jī)個點(diǎn)（包括線段的兩個端點(diǎn)），那么共有條線段.

⑶拓展應(yīng)用:8位同學(xué)參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每兩位同學(xué)之間都要進(jìn)行一場比賽）,

那么一共要進(jìn)行多少場比賽？

請將這個問題轉(zhuǎn)化為上述模型，并直接應(yīng)用上述模型的結(jié)論解決問題.

26.（2023?山東?七年級假期作業(yè)）探究歸納題：

（1）試驗分析：如圖1,經(jīng)過A點(diǎn)可以作1條對角線；同樣，經(jīng)過B點(diǎn)可以作條對角線；經(jīng)過C點(diǎn)

可以作條對角線；經(jīng)過。點(diǎn)可以作條對角線.通過以上分析和總結(jié)，圖1共有條對角線.

（2）拓展延伸：運(yùn)用1的分析方法，可得：圖2共有條對角線；圖3共有條對角線；

（3）探索歸納：對于〃邊形（">3）,共有條對角線.（用含〃的式子表示）

27.（2023.湖南懷化七年級期末）為了探究n條直線能把平面最多分成幾部分，我們從最簡單的情形入手:

（1）一條直線把平面分成2部分；（2）兩條直線最多可把平面分成4部分；

（3）三條直線最多可把平面分成7部分…；把上述探究的結(jié)果進(jìn)行整理，列表分析：

直線條數(shù)把平面分成部分?jǐn)?shù)寫成和形式

121+1

241+1+2

371+1+2+3

4111+1+2+3+4

（1）當(dāng)直線條數(shù)為5時，把平面最多分成部分，寫成和的形式

（2）當(dāng)直線為n條時，把平面最多分成部分.

28.（2023秋?山西太原?七年級?？茧A段練習(xí)）觀察探究及應(yīng)用.

（1）如圖，觀察圖形并填空：

一個四邊形有條對角線；一個五邊形有條對角線；一個六邊形有條對角線；

（2）分析探究：由凸〃邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可作條對角線，多邊形有"個頂點(diǎn)，若允許重復(fù)計數(shù)，

共可作條對角線；（3）結(jié)論：一個凸"邊形有條對角線；（4）應(yīng)用：一個凸十二邊形有多少

條對角線?

29.（2023春?山東?七年級統(tǒng)考期中）【思路探究】

（1）上學(xué)期我們學(xué)習(xí)了線段，如圖1,B,C,。是線段AE上異于點(diǎn)A,E的三個點(diǎn)，圖中共有多少條線段?

ABCD_E

圖1

（2）本學(xué)期我們又學(xué)習(xí)了角，如圖2,從ZAOE的頂點(diǎn)。引出3條射線OBQCQD,且OB,OC,OD在NAOE的

內(nèi)部，圖中共有多少個大于0°且小于180。的角？

（3）圖3是同學(xué)練習(xí)寫字用的米字格，圖3中含有多少個三角形?

圖3

【問題解決】（4）若從NMON的頂點(diǎn)。出發(fā)，在NMON的內(nèi)部引出99條射線，則圖中共有多少個大于0。

而小于180。的角？（5）圖4是同學(xué)練習(xí)寫字用的九宮格，圖中含有多少個長方形（包括正方

圖4

30.（2023?安徽合肥?校考一模）如圖，五邊形ABCDE內(nèi)部有若干個點(diǎn)，用這些點(diǎn)以及五邊形ABCDE的頂點(diǎn)

A,B,C,D,E的頂點(diǎn)把原五邊形分割成一些三角形（互相不重疊）：

內(nèi)部有1個點(diǎn)內(nèi)部有2個點(diǎn)內(nèi)部有3個點(diǎn)

（1）填寫下表：

五邊形ABCDE內(nèi)點(diǎn)的個數(shù)1234n

分割成的三角形的個數(shù)579

（2）原五邊形能否被分割成2019個三角形？若能，求此時五邊形ABCZ史內(nèi)部有多少個點(diǎn)？若不能，請說

明理由.

31.（2023秋?吉林長春?七年級校考階段練習(xí)）【教材重現(xiàn)】如圖是數(shù)學(xué)教材第135頁的部分截圖.

在多邊形中，三角形是最基本的圖形.如圖4.4.5所示，每一個多邊形都可以分割成若干個三角形.

數(shù)一數(shù)每個多邊形中三角形的個數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

在多邊形中，連接不相鄰的兩個頂點(diǎn)，所得到的線段稱為多邊形的對角線.

【問題思考】結(jié)合如圖思考，從多邊形的一個頂點(diǎn)出發(fā)，可以得到的對角線的數(shù)量，并填寫表:

多邊形邊數(shù)四五六..十二..n

從一個頂點(diǎn)出發(fā)，得到對角線的數(shù)量

1條--..一..-

【問題探究邊形有〃個頂點(diǎn)，每個頂點(diǎn)分別連接對角線后，每條對角線重復(fù)連接了一次，由此可推導(dǎo)出，

〃邊形共有對角線（用含有〃的代數(shù)式表示）.

【問題拓展】（1）已知平面上4個點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段.

（2）已知平面上共有15個點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段.

（3）已知平面上共有尤個點(diǎn)，任意三點(diǎn)不在同一直線上，一共可以連接條線段（用含有x的代數(shù)式

表示，不必化簡）.

專題05.線段、角、對角線的計數(shù)模型

本專題主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察、實驗和猜想、歸納能力，掌握從特殊向一般猜想的方法，及構(gòu)建數(shù)學(xué)模

型解決實際問題等。線段的條數(shù)、直線的交點(diǎn)數(shù)、角的個數(shù)、對角線條數(shù)等計數(shù)規(guī)律，可以自己推導(dǎo)后進(jìn)

行記憶。本專題就線段（角度）的計數(shù)、平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計數(shù)、多邊形的對角線條數(shù)和

三角形個數(shù)的計數(shù)模型進(jìn)行研究，以方便大家掌握。

模型1.線段與角度的計數(shù)模型

1）線段的計數(shù)模型

結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（條）（注意：按一個方向數(shù)，不回頭）；

結(jié)論拓展：若有〃個點(diǎn)，則線段數(shù)量為：（w-1）+（”-2）+...+4+3+2+1="（”1）（條）

2

例L（2023秋?浙江?七年級階段練習(xí)）如圖，射線AD上有8,C,D,則圖中有（）

????

ABCD

A.1條射線、3條線段B.4條射線、3條線段C.4條射線、6條線段D.7條射線、8條線段

【答案】C

【分析】根據(jù)射線和線段的定義分別計算出條數(shù)即可得解.

【詳解】解:分別以A、B、C、D為端點(diǎn)向右的射線共有4條，

線段有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6條，所以，有4條射線、6條線段.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段的定義，熟記概念并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵，射線要根據(jù)端點(diǎn)的不

同確定.

例2.（2023秋?浙江七年級月考）如圖所示，由泰山始發(fā)終點(diǎn)至青島的某一次列車，運(yùn)行途中?？康能囌疽?/p>

次是：泰山一一濟(jì)南一一淄博一一濰坊一一青島，那么要為這次列車制作的單程火車票（）種.

IIII?>

泰山濟(jì)南淄博濰坊青島

A.5B.10C.15D.20

【答案】B

【分析】設(shè)泰山一濟(jì)南一淄博一濰坊一青島五站分別用A,B,C,D,E表示,數(shù)出利用上述五點(diǎn)為端點(diǎn)

的線段條數(shù)即可.

【詳解】解：設(shè)泰山一濟(jì)南一淄博一濰坊一青島五站分別用4B,C,D,E表示,則共有線段：AB.AC.

AD,AE.BC、BD、BE、CD、CE、DE,共10條，

國要為這次列車制作的單程火車票10種.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了直線、線段、射線，要注意單程票，切記理解成往返車票而出錯.

例3.(2023春?山東淄博?七年級統(tǒng)考期中)如圖，是一段高鐵行駛路線圖，圖中字母表示的5個點(diǎn)表示

5個車站，在這段路線上往返行車，需印制多少種車票？()

IIIII

ABCDE

A.10B.11C.18D.20

【答案】D

［分析］根據(jù)有多少條線段單程就需要印制多少種車票進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：12圖中線段有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10條，

團(tuán)單程要10種車票，往返就是20種，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)線段條數(shù)，熟知兩點(diǎn)構(gòu)成一條線段是解題的關(guān)鍵.

例4.(2023秋?四川甘孜?七年級統(tǒng)考階段練習(xí))①如圖(1),直線I上有2個點(diǎn)，則圖中有2條可用圖中

字母表示的射線：、有條線段：；②如圖直線上有個點(diǎn)，則圖中有幾條可用

A1A2A2Ai,1AIA2(2),I3

圖中字母表示的射線，有幾條線段，并分別用圖中字母表示出來；③如圖(3),直線I上有n個點(diǎn)，則圖

中有多少條可用圖中字母表示的射線，有多少條線段，分別用含n的代數(shù)式表示出來；

④應(yīng)用(3)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級共有8個班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行循環(huán)賽(即每兩隊

之間賽一場)，預(yù)計全部賽完共需多少場比賽？

—I----1/III/II_______11

AA

4241z2j4iz…4n

(1)(2)(3)

【答案】②射線有4條，線段有3條；③射線的條數(shù)是(2n-2)條，線段的條數(shù)是^條；④28場.

【分析】②寫出所有的射線和線段后再計算個數(shù)；

③根據(jù)規(guī)律，射線是每個點(diǎn)為端點(diǎn)的射線有兩條，但是兩邊的兩個點(diǎn)只有一條；線段是從所有點(diǎn)中任取兩

個；④根據(jù)題意8個隊每兩個隊之間塞一場，和已知點(diǎn)數(shù)確定線段數(shù)同理，所以代入求值即可.

【詳解】解：②根據(jù)射線的定義可得：射線有，A1A2、A2A3、A2A1、A3A1,共4條；由線段的定義可得線段

有：射線有，AiAz>A2A3、A2A1、A3A1,共3條；

③根據(jù)規(guī)律，射線是每個點(diǎn)用兩次，但第一個和最后一個只用一次，所以射線的條數(shù)是2n-2,線段是從這

些點(diǎn)中任取兩個點(diǎn)就是一條線段，所以線段的條數(shù)是或F；

④回某校七年級共有8個班進(jìn)行足球比賽，

國全部賽完共需比賽場次為：黨衛(wèi)=4x(8-1)=28(場)，團(tuán)全部賽完共需比賽場次為28.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段和射線的計數(shù)問題，在一條直線上有n個點(diǎn)，計線段數(shù)或者射線數(shù)時，要先寫

出以A點(diǎn)為端點(diǎn)的線段數(shù)或射線數(shù)，再寫出以B為端點(diǎn)的線段數(shù)或射線數(shù)，…求出所有的線段數(shù)和射線數(shù),

然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，來計出n個點(diǎn)時射線數(shù)和線段數(shù)，最后代入來解決應(yīng)用問題.

例5.(2023秋?山西七年級月考)主題式學(xué)習(xí)：數(shù)形規(guī)律探究學(xué)習(xí)

⑴發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想說理.

2(1+2)

1+2=3=-^——

2

3(1+3)

1+2+3=6=-^——L

2

4(1+4)

1+2+3+4=10=-^——L

2

5(1+5)

1+2+3+4+5=15=-^——L

2

以此類推，我們發(fā)現(xiàn)1+2+3+4+……+〃的和與第一個數(shù)、最后一個數(shù)及數(shù)的個數(shù)有關(guān).

如果，我們設(shè)S=l+2+3+4+……+〃

貝°2s=1+2+3+4++n+1+(〃—3)+(〃—2)+(〃—1)+〃

我們可以看出此等式的右邊是若干個(1+九)的和，

EI2S=.貝心+2+3+4+……+n=.

(2)運(yùn)用規(guī)律，計算表達(dá).①求3+4+5+6+7+8+9……+100=.

②某校為慶祝2023年元旦，活躍學(xué)生文化生活，舉行歌詠比賽.七年級(9)班獲得第一名，該班學(xué)生列

隊以"單擊掌”形式(每兩個學(xué)生擊掌一次)祝賀獲獎；活動結(jié)束后該班同學(xué)又互贈“元旦祝福語如果該班

有無名同學(xué)，則共擊掌次，共贈送祝福語條.

⑶遷移規(guī)律，解決問題.①如圖，"北京一一廣州"航線上有A、B、C、D、E、F、G、H8個城市，如果每

兩個城市都要互通航班，那么這條航線上一共需要開通架航班.

北京，?廣州

ABCDEFGH

③2022年足球世界杯在卡塔爾舉行(如圖是足球世界杯獎杯"大力神杯”和卡塔爾世界杯會徽、吉祥物),

共有32支國家足球隊參賽.比賽分小組賽、1/8決賽、1/4決賽、半決賽、三四名決賽、決賽六個階段進(jìn)行.32

支球隊平均分成8個進(jìn)行小組循環(huán)賽(小組內(nèi)每兩支球隊舉行一場比賽);每小組前兩名球隊進(jìn)入1/8決賽，

然后實行淘汰賽，勝者進(jìn)入1/4決賽.....請你計算2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場比賽？

【答案】⑴"(1+〃)，"")(2)①5047；②x(xT)⑶①90；②135；③64

【分析】(1)根據(jù)題目中的規(guī)律即可求解；(2)①根據(jù)(1)中的規(guī)律即可求解；②根據(jù)規(guī)律即可求解；(3)

①10個城市每兩個城市都要互通航班，據(jù)此即可求解；②分別計算橫向和豎向的線段條數(shù)，即可求解；

③利用分類的方法可求得2022年足球世界杯共進(jìn)行多少場比賽.

【詳解】(1)解：2s=〃(1+〃).則1+2+3+4+……+〃=線小.故答案為：”(1+〃)，理察；

10023+100

(2)解：q3+4+5+6+7+8+9……+100=(-)()=5047.

②如果該班有尤名同學(xué)，則共擊掌史＞次，共贈送祝福語x(x-l)條.

故答案為：①5047；②100；③/丁),%(x-l)；

(3)解：①如圖，"北京一一廣州”航線上有A、B、C、D、E、F、G、88個城市，如果每兩個城市都要互

通航班，10個城市一共需要開通10(10-1)=90架航班;

②橫線上的線段有二二=75條，豎線上的線段有汨、=60條，

則橫線和豎線上的線段共有75+60=135條；

4x3

③32支比賽分為8個小組，每個小組4支球隊，共有半x8=48場比賽,

16強(qiáng)分成8組對陣，共有8場比賽，8強(qiáng)分成4組對陣，共有4場比賽，4強(qiáng)分成2組對陣，共有2場比賽,

決賽有2場比賽，故共有48+8+4+2+2=64場比賽.故答案為：①90；②135；③64.

【點(diǎn)睛】本題考查了探索規(guī)律，線段的計數(shù)，線段的計數(shù)時應(yīng)注重分類討論的方法計數(shù)，做到不遺漏，不

重復(fù)，利用規(guī)律解決問題.

2）角度的計數(shù)模型

結(jié)論：線段數(shù)量：4+3+2+1=10（個）（注意：按一個方向數(shù)，不回頭）；

結(jié)論拓展：若有w條射線，則角度數(shù)量為：（〃-1）+（n-2）+...+4+3+2+l="（〃T）（個）

2

例L（2023春?浙江?七年級課堂例題）圖中角的個數(shù)是（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】D

【分析】根據(jù)角的定義可進(jìn)行求解.

【詳解】解：圖中屬于角的有：NAOB,ZAOC,ZAOD,NBOC,NBOD,NCOD；共6個；故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角的定義，熟練掌握角的定義是解題的關(guān)鍵.

例2.(2023?四川內(nèi)江?七年級月考)在銳角0AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得3個銳角；畫2條不同射線，可

得6個銳角；畫3條不同射線，可得10個銳角；…照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角個.

【答案】66

【分析】分別找出各圖形中銳角的個數(shù)，找出規(guī)律解題.

【詳解】解：團(tuán)在銳角0AOB內(nèi)部，畫1條射線，可得1+2=3個銳角;

在銳角0AO8內(nèi)部，畫2條射線，可得1+2+3=6個銳角；

在銳角她。2內(nèi)部，畫3條射線，可得1+2+3+4=10個銳角；…

團(tuán)從一個角的內(nèi)部引出w條射線所得到的銳角的個數(shù)是1+2+3+...+(w+1)=gx(n+1)x(n+2),

回畫10條不同射線，可得銳角1x(10+1)x(10+2)=66.故答案為：66.

例3.(2023秋?浙江?七年級專題練習(xí))觀察思考：

(1)在0AO8內(nèi)部畫1條射線OC,則圖中有3個不同的角；

(2)在0AOB內(nèi)部畫2條射線OC、OD,則圖中有幾個不同的角？

(3)3條射線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，表示出“條射線能有幾個不同的角？

【答案】(2)6；(3)10,有5+1)("+2)個不同的角

2

【分析】(2)根據(jù)圖1直接數(shù)出即可；(3)在圖1的基礎(chǔ)上看增加的角的個數(shù)即得畫3條射線時角的個數(shù);

依此規(guī)律可得在她。8內(nèi)部畫〃條射線時角的個數(shù).

【詳解】解：(2)在內(nèi)部畫2條射線OC、OD,如圖1,

則圖中有！3A0C、EA。。、EAOB,13co。、EC0B>SD0B,共1+2+3=6個不同的角；

（3）在財08內(nèi)部畫3條射線0C、OD,OE,如圖2,

在圖1的基礎(chǔ)上增加了她。￡、EICOE、EIOOE■和EIB0E,共有6+4=10個不同的角；

若在EAO8內(nèi)部畫w條射線，則有1+2+3++（〃+1）=（"+1），+2）個不同的角.

【點(diǎn)睛】本題考查了射線、線段和角的基本知識以及規(guī)律探求問題，注重類比、找到解題的規(guī)律和方法是

解答的關(guān)鍵.

例4.（2023秋?湖北孝感?七年級統(tǒng)考期末）如圖1,從點(diǎn)。分別引兩條射線，則得到一個角/AO3.（圖中

的角均指不大于平角的角）

⑴探究：①如圖2,從點(diǎn)。分別引三條射線，則圖中得到個角；

②如圖3,從點(diǎn)。分別引四條射線，則圖中得到個角；

③依此類推，從點(diǎn)。分別引〃條射線，則得到個角（用含〃的式子表示）；

（2）應(yīng)用：利用③中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題：某校七年級共有16個班進(jìn)行足球比賽，準(zhǔn)備進(jìn)行單循環(huán)賽（即

每兩隊之間賽一場），則全部賽完共需多少場比賽？

【答案】⑴①3；②6；③"（丁）⑵120

【分析】（1）①②根據(jù)角的概念求出即可；③根據(jù)①②分析得出的規(guī)律求解即可；

（2）將11=將代入"T）求解即可.

2

【詳解】⑴①由題意可得，從點(diǎn)。分別引三條射線，圖中的角有NAO氏NAOC/BOC,

1+2=3,回圖中得到3個角；

②由題意可得，從點(diǎn)。分別引四條射線，圖中的角有NAOC,NAa>,NAOB,NCOD,NCO3,ZDO3,

1+2+3=6,回圖中得到6個角；

③由①②可得，當(dāng)從點(diǎn)。分別引〃條射線，1+2+3+...+1=當(dāng)』，團(tuán)得到當(dāng)D個角;

（2）根據(jù)題意可得，當(dāng)〃=16時，%二。=電史=120.團(tuán)全部賽完共需120場比賽.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了角的定義及其應(yīng)用，掌握角的定義以及歸納規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

3）平面內(nèi)直線相交所得交點(diǎn)與平面的計數(shù)模型

直線的條數(shù)最多交點(diǎn)個數(shù)平面最多分成部分?jǐn)?shù)

102

214

337

?????????

n〃（〃一1）〃（幾+1）

22

例1.（2023春?浙江七年級期中）已知2條直線最多有2義（2-1）=1個交點(diǎn),3條直線最多有之9二。=3個

22

交點(diǎn)，4條直線最多有4x（4T）=6個交點(diǎn),…由此猜想，8條直線最多有個交點(diǎn)（）

2

A.16B.28C.32D.40

【答案】B

【分析】利用給出的交點(diǎn)個數(shù)，推導(dǎo)出規(guī)律，再將8代入計算即可.

【詳解】解：回2條直線最多有2X（2T）=I個交點(diǎn),

2

3條直線最多有“（3T）=3個交點(diǎn),4條直線最多有4x（4T）=6個交點(diǎn),….

22

回幾條直線最多有迎二^個交點(diǎn)，回〃=8時，也二11=藝?二0=28（個），

222

回8條直線最多有28個交點(diǎn).故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查直線的交點(diǎn)個數(shù)，也就是數(shù)字規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是找到數(shù)字規(guī)律，把特殊值代入求值.

例2.（2023春?浙江嘉興?七年級?？茧A段練習(xí)）