中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：一元一次不等式（組）及其應(yīng)用（講義）（原卷版）

第08講一元一次不等式（組）及其應(yīng)用

目錄

題

一、考情分析題型06根據(jù)含參數(shù)不等式解集的

二、知識(shí)建構(gòu)情況求參數(shù)的取值范圍

題型與一元一次不等式有關(guān)的

考點(diǎn)一不等式及不等式的基本性質(zhì)07

新定義問題

題型01不等式的概念及意義

題型02列不等式題型08含絕對值的一元一次不等

式

題型03取值是否滿足不等式

題型不等式與方程組綜合求參

題型04利用不等式的性質(zhì)判斷式09

子正負(fù)數(shù)的取值范圍

考點(diǎn)三一元一次不等式組

題型05根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸位置判斷式

子正負(fù)題型01一元一次不等式組定義

題型解不等式組

題型06利用不等式的性質(zhì)比較大02

小題型03求不等式組整數(shù)解

題型由不等式組整數(shù)解求字母

題型07利用不等式的性質(zhì)證明（不）04

等式取值范圍

題型由不等式組的解集求參數(shù)

題型08利用不等式的性質(zhì)確定參05

數(shù)的取值范圍題型06與不等式組有關(guān)的新定義

題型09不等式性質(zhì)的應(yīng)用問題

考點(diǎn)二一元一次不等式題型07根據(jù)程序圖解不等式組

題型01判斷一元一次不等式題型08不等式組與方程的綜合

題型02根據(jù)一元一次不等式求參考點(diǎn)四不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用

數(shù)值題型01利用一元一次不等式解決

實(shí)際問題

題型03求一元一次不等式解集

題型利用一元一次不等式組解

題型04利用數(shù)軸表示一元一次不02

等式解集決實(shí)際問題

題型05一元一次不等式整數(shù)解問

考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測

不等式及不等式的>結(jié)合具體問題，了解不等式的意義，探中考數(shù)學(xué)中，一元一次不等式（組）

基本性質(zhì)索不等式的基本性質(zhì)的解法及應(yīng)用題時(shí)有考察.其中不等式

性質(zhì)、解一元一次不等式（組），通常是以

>能解數(shù)字系數(shù)的一元一次不等式，并能

一元一次不等式選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.

在數(shù)軸上表示出解集

而不等式（組）相關(guān)的應(yīng)用題常會(huì)和其它

>會(huì)用數(shù)軸確定兩個(gè)一元一次不等式組成考點(diǎn)（如二元一次方程組、二次函數(shù)等）

一元一次不等式組

的不等式組的解集.結(jié)合考察，常以解答題形式出現(xiàn)，此時(shí)難

度上升，需要小心應(yīng)對.對于兀次不

等式（組）中含參數(shù)問題，難度偏大，但

不等式（組）的實(shí)>能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一

是考察幾率并不大，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)

際應(yīng)用元一次不等式，解決簡單的問題.

在復(fù)習(xí)過程中扎實(shí)掌握.

不等式的定義：用不等

號(hào)表示不等關(guān)系的式

子，叫做不等式.

關(guān)不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.

不

概

念

等不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)題型01不等式的概念及意義

題型列不等式

式不等式的解集.02

題型03取值是否滿足不等式

及

不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示.題型04利用不等式的性質(zhì)判斷式子正負(fù)

不

題型05根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸位置判斷式子正負(fù)

等解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.

題型06利用不等式的性質(zhì)比較大小

式

基若a>b,貝［Ja±c>b±c題型07利用不等式的性質(zhì)證明（不）等式

本

的★題型08利用不等式的性質(zhì)確定參數(shù)的取值范圍

性若則士

基a<b,ac<b±c題型09不等式性質(zhì)的應(yīng)用

質(zhì)

本若AbQO,則公>兒（或"）

性

質(zhì)

若心M0,則〃兒（或沁）（易錯(cuò)）

不等式的左右兩邊都是整式判

斷

特征只含有一個(gè)未知數(shù)方題型01判斷一元一次不等式

一

法題型02根據(jù)一元一次不等式求參數(shù)值

元

元未知數(shù)的最高次數(shù)是

1題型03求一元一次不等式解集

一

一題型04利用數(shù)軸表示一元一次不等式解集

次去分母不等式性質(zhì)2、3題型05一元一次不等式整數(shù)解問題

次

不

去括號(hào)分配律去括號(hào)法則題型06根據(jù)含參數(shù)不等式解集的情況求參數(shù)的

等

不取值范圍

式步驟移項(xiàng)不等式性質(zhì)1

等題型07與一元一次不等式有關(guān)的新定義問題

題型08含絕對值的一元一次不等式

式合并同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)法則

題型09不等式與方程組綜合求參數(shù)的取值范圍

{系數(shù)化為1不等式性質(zhì)2、3

組

}

概念：一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式合在一起,

及組成一元一次不等式組.

其

一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部

題型01一元一次不等式組定義

應(yīng)

分，叫做由它們所組成的不等式組的解集.題型02解不等式組

元

用題型03求不等式組整數(shù)解

一數(shù)軸法取公共部分

題型04由不等式組整數(shù)解求字母取值范圍

次

不等式組解集的確定有兩種方法大大取大題型05由不等式組的解集求參數(shù)

不

小小取小題型06與不等式組有關(guān)的新定義問題

等口訣法題型07根據(jù)程序圖解不等式組

式大小、小大中間找題型08不等式組與方程的綜合

組

大大、小小取不了

解一元一次不等式組的一般步驟

題型01利用一元一次不等式解決實(shí)

?元一次不等式（組）的應(yīng)用題的關(guān)鍵語句際問題

不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用<用一元一次不等式（組）解決實(shí)際問題的贏

題型02利用一元一次不等式組解決

實(shí)際問題

考點(diǎn)一不等式及不等式的基本性質(zhì)

—夯基-必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

一、不等式的相關(guān)概念

不等式的定義：用不等號(hào)“>"、“》"、“<”、"W”或“力”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.

不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.

不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集.

不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用數(shù)軸表示.

不等式■示a>ax<ax^axCn

融“*示~~—?A

解不等式的概念：求不等式的解集的過程，叫做解不等式.

二、不等式的性質(zhì)

基本性質(zhì)1若a>b,則a±c>b±c

若a<b,貝!Ja±c<b±c

基本性質(zhì)2若a〉b,c>0,則ac>bc（或

基本性質(zhì)3若a>b,c<0,則ac<bc（或士<-）

cc

易混易錯(cuò)

1.方程與不等式的區(qū)別：方程表示的是相等關(guān)系，不等式表示的是不等關(guān)系.

2.常見的不等號(hào)有：>,2,<,W五種.

3.用數(shù)軸表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等號(hào)畫實(shí)心圓點(diǎn)，無等號(hào)畫空心圓點(diǎn).

4.不等式的解與不等式的解集的區(qū)別與聯(lián)系：

1）不等式的解是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的某個(gè)值.

2）不等式的解集是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的所有的值.

3）不等式的所有解組成了這個(gè)不等式的解集，不等式的解集中包括這個(gè)不等式的每一個(gè)解.

5.在列不等式時(shí)，要注意抓住問題中的一些關(guān)鍵詞語，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.

同時(shí)要根據(jù)關(guān)鍵詞準(zhǔn)確地選用不等號(hào).另外，對一些實(shí)際問題的分析還要注意結(jié)合實(shí)際.

6.運(yùn)用不等式的性質(zhì)的注意事項(xiàng)：

1）不等式兩邊都要參與運(yùn)算，并且是作同一種運(yùn)算.

2）不等式兩邊加或減，乘或除以的數(shù)一定是同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)式子.

3）等式兩邊不能同時(shí)除以0,即0不能作除數(shù)或分母.

4）運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行不等式變形時(shí),要特別注意性質(zhì)2和性質(zhì)3的區(qū)別,在乘（或除以）同一個(gè)

數(shù)時(shí),必須先弄清楚這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù),如果是負(fù)數(shù),不等號(hào)要改變方向.

提升-必考題型歸納

題型01不等式的概念及意義

【例1】以下表達(dá)式：①4x+3y<0；②a>3；③/+xy-,?a2+b2=c2-,@x45.其中不等式有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【變式1-11（2023湖里區(qū)模擬）某養(yǎng)生鈣奶飲料中的包裝瓶上標(biāo)注“每100克內(nèi)含鈣>150毫克”，它的

含義是指（）

A.每100克內(nèi)含鈣150毫克

B.每100克內(nèi)含鈣不低于150毫克

C.每100克內(nèi)含鈣高于150毫克

D.每100克內(nèi)含鈣不超過150毫克

題型02列不等式

【例2】（2020?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測）下面列出的不等式中，正確的是（）

A.“小不是負(fù)數(shù)”表示為巾>0B.“小不大于5"表示為m<5

C.“n與4的差是正數(shù)”表示為n—4>0D.“幾不等于4”表示為n>4

【變式2-1］（2023?甘肅隴南?統(tǒng)考二模）烏鞘嶺是隴中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超過3500

米.若用x（米）表示烏鞘嶺主峰的海拔高度，貝反滿足的關(guān)系為（）

A.%<3500B.%<3500C.%>3500D.%>3500

【變式2-2］（2023南寧市模擬）。是非負(fù)數(shù)的表達(dá)式是（）

A.a>0B.\a\>0C.a<0D.a>0

題型03取值是否滿足不等式

【例3】（2023?河北保定?統(tǒng)考二模）在一VI—2,1,-3四個(gè)數(shù)中，滿足不等式x<—2的有（）

A.-2B.-3C.-V2D.1

【變式3-1］（2021.四川南充.統(tǒng)考中考真題）滿足》43的最大整數(shù)》是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式3-2］（2023?廣東東莞?東莞市厚街海月學(xué)校?？寄M預(yù)測）當(dāng)x=4時(shí)，不等式成立的是（）

1

A.%+1V4B.—x>2C.2%+1<5D.3x-2>9

2

題型04利用不等式的性質(zhì)判斷式子正負(fù)

【例4】（2023?湖南長沙?長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校?？寄M預(yù)測）如果％<-3,那么下列不

等式成立的是（）

A.x2>-3%B.x2>—3%C.x2<—3xD.x2<—3x

【變式4-1］（2023?湖南常德?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知Q>b,則下列不等式變形不正確的是（）

A.a-2>d-2B.—2d>—2bC.a+2>b+2D.—>—

22

【變式4-2］（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考二模）已知見hgd是實(shí)數(shù)，且a-b>c-d,下列說法一定正確的是

（）

A.若b=d,則a>cB.若a=c,貝帕>d

C.若b>d,則a>cD.若a>c,則b>d

【變式4-3］（2023?浙江杭州?杭州市豐潭中學(xué)?？既＃┰O(shè)％,y,c為實(shí)數(shù)，則（）

A.若久>y,貝！J%+3c>y—2cB.若久>y,則％c>yc

c.若x>y,則久c2>yc2D.若宏>卷則%〉y

題型05根據(jù)點(diǎn)在數(shù)軸位置判斷式子正負(fù)

【例5】（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考一模）實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，則下列式子中正確的是

（）

cb0a

A.-a—c>—b—cB.ac>beC.|a—b\—ct—bD.a<—b<—c

【變式5-1］（2023?上海徐匯?統(tǒng)考二模）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)A、B

對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b,下列結(jié)論一定成立的是（）

AB

-----111>>

a-0-----------b

A.a+b<0B.b—a<0C.—2a>—2bD.|a|>\b\

【變式5-2］（2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)2分別在原點(diǎn)的左側(cè)和右側(cè)，點(diǎn)4、

8對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a、b,下列結(jié)論一定成立的是（）

AB

-----------*-----------14-------A

a0b

A.a+b<0B.b—a<0C.2a>2bD.a+2<b+2

【變式5-3］（2023?福建福州?福建省福州延安中學(xué)?？既＃┤鐖D所示，數(shù)軸上有O、A、B、C四點(diǎn)位

置與各點(diǎn)所表示的數(shù)，若數(shù)軸上有一點(diǎn)。點(diǎn)所表示的數(shù)為d,|d-5|=\d-c\,則。點(diǎn)的位置（）

ACB

-5c05

A.在A的左邊B.在A、C之間C.在C、。之間D.在0、3之間

【變式5-4］（2023?河北石家莊?石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測）w，”在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，

下列各式正確的是（）

-------1------------1--------------------?

mn0

A.x<x—n<x—mB.x—n<x<x—m

C.x—m<x—n<xD.x<x—m<x—n

題型06利用不等式的性質(zhì)比較大小

【例6】（2022?浙江麗水?統(tǒng)考一模）數(shù)m,m+1,-2（zn>0）的大小順序是（）

A.—m—2<m<m+lB.—m—2<m+l<m

C.m<m+1<—m—2D.m<—m—2<m+1

【變式6-1］（2022?浙江杭州?統(tǒng)考一模）已知M=%2—2X+4,N=/一鈕+4,請比較M和N的大小.

以下是小明的解答：

?：M=（x-I）2+3>3,N=（久一2A20,

：.M>N.

小明的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請寫出正確的解答.

40.（2021.江蘇南京.南師附中樹人學(xué)校?？家荒＃╅喿x：

（1）若a〈b,則2a-3V26-3,簡述理由：

小明的解法：

2a<2b,（不等式性質(zhì)2：）,

：.2a-3<2b-3,（不等式性質(zhì)1）.

小亮的解法：令y=2x-3,

k—2>0,

隨x的增大而增大.

:.2a-3<2b-3.

小敏的解法：

,：a<b,觀察函數(shù)y=2x-3的圖象可知，圖象上點(diǎn)（a,2a-3）在點(diǎn)（b,2b-3）的左邊，而圖象由左

往右呈上升趨勢，

2a-3V2b-3.

⑵若f<。,請用兩種不同的方法比較，與一牌大小?

（3）若比較（a+2）2+1與（6+2）2+1的大小，簡述理由.

(4)若且加2,以-2,直接寫出一篇與一煞的大小關(guān)系.

方法技巧

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，可知比較兩個(gè)數(shù)或式子的大小可以通過求它們的差來判斷.如果兩個(gè)數(shù)或

式子分另U為m和n,若m-n>0,貝！Jm>n；若m-n=0,貝！Jm=n；若m-n<0,則m<n.

題型07利用不等式的性質(zhì)證明（不）等式

【例7】（2022?江蘇南京?南師附中樹人學(xué)校?？级＃└鶕?jù)不等式的性質(zhì)：若無-y>0,貝b>y；若久-y<0,

則為Vy.利用上述方法證明：若幾V0,則巴^>巴：.

17nn-1

【變式7-1]（2019上?江西贛州?九年級?？计谥校W(xué)以致用：問題1：怎樣用長為12cm的鐵絲圍成一個(gè)

面積最大的矩形？

小學(xué)時(shí)我們就知道結(jié)論：圍成正方形時(shí)面積最大，即圍成邊長為3cm的正方形時(shí)面積最大為9nn2.請用你

所學(xué)的二次函數(shù)的知識(shí)解釋原因.

思考驗(yàn)證：問題2：怎樣用鐵絲圍一個(gè)面積為9加2且周長最小的矩形？

小明猜測：圍成正方形時(shí)周長最小.

為了說明其中的道理，小明翻閱書籍，找到下面的材料：

結(jié)論：在a+b>2VHF（a、b均為正實(shí)數(shù)）中，若ab為定值p,則a+6》2赤，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，a+b有

最小值2行.

a+b>2<ab（a,b均為正實(shí)數(shù)）的證明過程：

對于任思正實(shí)數(shù)a、b,（yfcL—VF）2》0,二a—27ab+b》0,

a+b>2Vah?當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.

解決問題：

⑴若x>Q,則％+(當(dāng)且僅當(dāng);c=時(shí)取"=”)；

(2)運(yùn)用上述結(jié)論證明小明對問題2的猜測；

(3)當(dāng)%>—1時(shí)，求y=的最小值.

【變式7-2](2022?山東日照.日照市新營中學(xué)?？级?2002年國際數(shù)學(xué)大會(huì)的會(huì)徽設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)是公園

3世紀(jì)中四數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理繪制的弦圖(如圖1),該圖蘊(yùn)含著豐富的不等關(guān)系，例如，正方

形的面積大于4個(gè)直角三角形的面積之和...

22

設(shè)直角三角形的邊長為a,b,則S正方形>4SRTA,(a+fa)>4(^ab^,即a2+b2>2ab；

當(dāng)a=b時(shí)，中間小正方形收縮為一個(gè)點(diǎn)，此時(shí)正方形的面積每于4個(gè)直角三角形的面積之和，即a?+b2=

4=2ab,

綜上所述，a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.

使用上述結(jié)論，“a?+匕222a6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立”解決下列問題：

(1)證明：“若a,6為正實(shí)數(shù)，則a+bN2而.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立”.

(2)a,6均為實(shí)數(shù)，若ab為定值4,貝b+b有最小值________；若a+b為定值6,則ab有最大值

(3)請結(jié)合函數(shù)圖象(圖2)研究y=x+]中函數(shù)值y的取值范圍.

(4)如圖3,已知尸是反比例函數(shù)y=^(x>0)圖象上任意一動(dòng)點(diǎn)，0(0,0),4(-1,a),其中。是常數(shù)，a>0,

試求SAP%的最小面積(用a表示).

【變式7-3X2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考一模)將a克糖放入水中，得到b克糖水，此時(shí)糖水的濃度為>a>0).

(1)再往杯中加入機(jī)(6>0)克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水變甜了，用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為;

⑵請證明(1)中的數(shù)學(xué)關(guān)系式；

(3)在A4BC中，三條邊的長度分別為a,b,c,證明：<2.

題型08利用不等式的性質(zhì)確定參數(shù)的取值范圍

【例8】(2023?重慶?重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校校考二模)若a=3麻-2,則。的取值范圍是()

A.2<a<3B.3<a<4C.4<a<5D.5<a<6

【變式8-1］（2023路南區(qū)二模）若x<y,且（a—3）x>（a-3）y,貝l］a的取值范圍是（）

A.a>3B.a<3C.a>3D.a<3

【變式8-2］（2023?江蘇無錫?江蘇省天一中學(xué)?？既＃┮阎P(guān)于x的不等式（a+2）x<1的解集為%>京,

則。的取值范圍為.

【變式8-3］（2023?浙江杭州?統(tǒng)考二模）已知實(shí)數(shù)x,y,a滿足尤+3y+a=4,x-y-3a=0.若一1<

a<1,t=x+y,那么t的取值范圍是.

題型09不等式性質(zhì)的應(yīng)用

【例9】（2023?河北保定??？家荒＃┮阎獙?shí)數(shù)a,b,c滿足a+2b=3c,則下列結(jié)論不正確的是（）

A.a-b=3（c—b）B.=c—b

C.若a>b,則a>c>6D.若a>c,貝W-a>

【變式9-1］（2023武威縣模擬）若x+y=3,yNO,則2x+3y的最小值為（）

A.0B.3C.6D.9

【變式9-2］（2023德陽市一模）實(shí)數(shù)a、b、c滿足a>b且ac<bc,它們在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置可以

是（）

考點(diǎn)二一元一次不等式

f夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

一元一次不等式的概念:不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,像這

樣的不等式叫一元一次不等式.

一元一次不等式的一般形式：ax+b<0或a冗+6>0（aW0）.

步驟具體做法依據(jù)注意事項(xiàng)

去分在不等式兩邊都乘以各分母的不等式性1）不要漏乘不含分母的項(xiàng)；

母最小公倍數(shù)質(zhì)2、32）當(dāng)分母中含有小數(shù)時(shí)，先將小數(shù)化成整數(shù)，

再去分母.

3）如果分子是多項(xiàng)式，去分母后要加括號(hào).

去括先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后分配律1）去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前的數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一

號(hào)去大括號(hào)去括號(hào)法項(xiàng)；

則2）括號(hào)前面是負(fù)數(shù)時(shí)，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)各

項(xiàng)都要變號(hào)；

3）括號(hào)前面是正數(shù)時(shí)，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)各

項(xiàng)都不變號(hào).

移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到不等式不等式性1）移項(xiàng)時(shí)不要漏項(xiàng)；

左邊，其它項(xiàng)都移到不等式右邊質(zhì)12）將不等式中的項(xiàng)從一邊移到另一邊要變號(hào).

而在不等式同一邊改變項(xiàng)的位置時(shí)不變號(hào).

合并把不等式變?yōu)閍%<b或a、>合并同類1）不要漏項(xiàng)；

同類6（aW0）的形式項(xiàng)法則2）系數(shù)的符號(hào)處理要得當(dāng).

項(xiàng)

系數(shù)將不等式兩邊都除以未知數(shù)系不等式性1）不等式兩邊都除以未知數(shù)系數(shù)；

化為1數(shù)a,得到不等式的解質(zhì)2、32）當(dāng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向發(fā)生改變.

易混易錯(cuò)

1.一元一次不等式滿足的條件：①不等式的左右兩邊都是整式；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最

高次數(shù)是1.

2.進(jìn)行“去分母”和“系數(shù)化為1”時(shí)，要根據(jù)不等號(hào)兩邊同乘以（或除以）的數(shù)的正負(fù)，決定是否

改變不等號(hào)的方向，若不能確定該數(shù)的正負(fù)，則要分正、負(fù)兩種情況討論.

3.在解一元一次不等式時(shí),上述的五個(gè)步驟不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的順序,要根

據(jù)不等式的形式靈活安排求解步驟.

提升-必考題型歸納

題型01判斷一元一次不等式

【例1】（2021?全國?九年級假期作業(yè)）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：一3<0,a+b,x=3,x2+2xy+y2,%W5,

%+2>y+3中，是一元一次不等式的有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式1-1］（2021.陜西.九年級專題練習(xí)）下列各式中，是一元一次不等式的有（）個(gè).

①a—3<2；②一久一5>3；@x-y<0；?x2+3x<1；⑤”》瞪

A.1B.2C.3D.0

題型02根據(jù)一元一次不等式求參數(shù)值

［例2］已知|（m+4）xM-3+6>0是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為（）

A.4B.±4C.3D.±3

【變式2-1］若（m-1）式網(wǎng)—3>0是關(guān)于x的一元一次不等式，則小的值為（）

A.0B.1C.-1D.±1

【變式2-2］若（k-l）xlfel+3>0是關(guān)于x的一元一次不等式，貝旅的值為.

題型03求一元一次不等式解集

【例3】（2023?湖南長沙?校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列變形中正確的是（）

A.由-2%<1；得久<--B.由2%+1>3%—1,得x>—2

C.由2%+l>x—1,得%>2D.由％+2<2%—2,得%>4

【變式3-1］（2022.安徽.統(tǒng)考中考真題）不等式言>1的解集為.

【變式3-2］（2022.安徽宣城.統(tǒng)考一模）解不等式：2%-3<^i.

題型04利用數(shù)軸表示一元一次不等式解集

【例4】（2022?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）不等式3x+l<2x的解在數(shù)軸上表示正確的是（）

-2-10-2-1

-2-10-2-1

【變式4-1］（2023下?重慶渝中?九年級重慶巴蜀中學(xué)校考開學(xué)考試）不等式x-1>2x的解集在數(shù)軸上表

示正確的是（）

A―!??,B-11~?Ci?D----1------1-----1a

-101-1015-101-101

【變式4-2］（2021.浙江金華?統(tǒng)考中考真題）一個(gè)不等式的解在數(shù)軸上表示如圖，則這個(gè)不等式可以是

（）

____________|_______II______?

-2-10123

A.%+2>0B.%—2<0C.2%>4D.2—%<0

【變式4-3］（2022.湖北宜昌.統(tǒng)考中考真題）解不等式六2詈+1，并在數(shù)軸上表示解集.

-4-3-2-101234

題型05—元一次不等式整數(shù)解問題

【例5】（2022.河北.統(tǒng)考中考真題）整式3?—的值為P.

017

（1）當(dāng)加=2時(shí)，求P的值；

⑵若尸的取值范圍如圖所示，求機(jī)的負(fù)整數(shù)值.

【變式5-1］（2022下.廣東江門.八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）求一元一次不等式1-等的負(fù)整數(shù)解.

【變式5-2］（2023?陜西咸陽??？级＃┙獠坏仁剑篰-^>-1,并寫出該不等式的最小整數(shù)解.

［變式5-3］（2022.廣東深圳?深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？寄M預(yù)測）先化簡，再求值：（--1）-應(yīng)盧

k2-x）X2-4

其中X是不等式2x-1<6的正整數(shù)解.

方法技巧

與一元一次不等式的特殊解有關(guān)的解題方法：

類型一求一元一次不等式特殊解的方法

解決此類問題的關(guān)鍵：正確求出不等式的解集，再根據(jù)題目要求求出其特殊解.可以借助數(shù)軸進(jìn)行數(shù)形

結(jié)合，得到需要的值，進(jìn)而非常容易的解決問題.

類型二已知一元一次不等式解集（整數(shù)解）求字母的取值.

解決此類問題的關(guān)鍵：先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)作常數(shù)看待解不等式，再根據(jù)題目中的限制條件

得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案.

題型06根據(jù)含參數(shù)不等式解集的情況求參數(shù)的取值范圍

［例6］（2023?福建漳州?統(tǒng)考一模）關(guān)于x的不等式久-b>0恰有兩個(gè)負(fù)整數(shù)解，則b的取值范圍是（）

A.—3<b<-2B.—3<b<—2C.-3WbW—2D.-3WbV—2

【變式6-1］（2021?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于％的不等式x+m<1只有3個(gè)正整數(shù)解，則6的取值

范圍是.

【變式6-2］（2023?黑龍江大慶?統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的一元一次不等式x-2<n+3有且只有5個(gè)正整數(shù)

解，則〃的取值范圍是—.

【變式6-3］（2023?江蘇南通?統(tǒng)考一模）若關(guān)于％的不等式x+t22x-3恰有3個(gè)正整數(shù)解，貝亞的取值范

圍是.

【變式6-4）（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考二模）已知％=3是關(guān)于x的不等式3x-吩<點(diǎn)的解，求a的取值范圍.

題型07與一元一次不等式有關(guān)的新定義問題

［例7］（2022下?廣西?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a,b都有a=a（a-b）+l,

如：2十5=2（2—5）+1=—5,那么不等式4?x>2的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式7-1］（2023?河北滄州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）對于〃、b定義a團(tuán)人=義，已知分式方程％目（-1）=缶的

解滿足不等式（2-a）］-3>0,則。的取值范圍是（）

A.a<1B.a>1C.a<3D.a>3

【變式7-2］（2023.廣東廣州?統(tǒng)考二模）定義運(yùn)算七團(tuán)b”為:當(dāng)aNb時(shí),a^b=a+b；當(dāng)aVb時(shí)，>砂=

a-b.例如：1目（-2）=1+（-2）=-1,（-2）01=-2-1=-3.若（3m—1）目（m+1）>8則根的取

值范圍為（）

A.m>2B.m>5C.2<m<5D.m<2或m>5

【變式7-3］（2023海港區(qū)一模）定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)a,b（a，0）都有a*b=2-a+b,等式右邊是

a

通常的加、減、除運(yùn)算，比如2*1=3-2+1=-a

（1）求4*5的值：

（2）若2*（x+2）不大于4,求x的取值范圍，并在如圖所示的數(shù)軸上表示出來.

.1>io~~i~5~i4,

【變式7-4］（2023?河北滄州??？寄M預(yù)測）定義一種新的運(yùn)算※，對于任意實(shí)數(shù)a和b,規(guī)定a助=ab2+

ab+a,例如：2團(tuán)5=2x5?+2x5+2=62.

⑴求5團(tuán)（一2）的值.

（2）若（TH—a）目2>14,求7H的取值范圍.

題型08含絕對值的一元一次不等式

【例8】（2020.四川自貢.統(tǒng)考中考真題）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”；

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法.例如，代數(shù)式-21的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)與2所對

應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因?yàn)閮?yōu)+1|=所以忱+1］的幾何意義就是數(shù)軸上%所對應(yīng)的點(diǎn)與所對

應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

（1）.發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式|x+l|+|x-2|的最小值是多少？

（2）.探究問題：如圖，點(diǎn)4B,P分別表示的是一1,2,久,AB=3.

APB

IIIL1.1_lII>

-4-3-2-10x1234

V|x+l|+|x-2|的幾何意義是線段P4與的長度之和

當(dāng)點(diǎn)P在線段4B上時(shí)，P2+PB=3;當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)P在點(diǎn)4的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)PA+PB>3

A|x+l|+反-2|的最小值是3.

⑶.解決問題：

①.|x-4|+|x+2|的最小值是一；

②.利用上述思想方法解不等式：|%+3|+|%-1|>4

［____________?_________?___________?______________?______________?___________?___________?____________］>

-4-3-2-101234

③.當(dāng)a為何值時(shí)，代數(shù)式|x+a|+|x-3|的最小值是2.

【變式8-1］（1）【閱讀理解】“|a|”的幾何意義是：數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以“|a|N2"

可理解為：數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于2,貝I］：

①“⑷<2”可理解為一；

②請列舉兩個(gè)符號(hào)不同的整數(shù)，使不等式“|a|>2”成立，列舉的a的值為_和一.

我們定義：形如“|x|Wm,\x\>m,|x|<m,|x|>zn”（zn為非負(fù)數(shù)）的不等式叫做絕對值不等式，能使

一個(gè)絕對值不等式成立的所有未知數(shù)的值稱為絕對值不等式的解集.

（2）【理解應(yīng)用】根據(jù)絕對值的幾何意義可以解一些絕對值不等式.

11-1----1----111IA----

-3-2-101234-3-2-101234

由上圖可以得出：絕對值不等式印>1的解集是尤<-1或%>1,

絕對值不等式陽<3的解集是—3<xW3.貝ij：

①不等式|幻>4的解集是

②不等式<2的解集是

（3）【拓展應(yīng)用】解不等式|%+1|+|%-3|>4,并畫圖說明.

【變式8-2］數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：

4B在數(shù)軸上分別表示