河南省百師聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省百師聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自已的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間120分鐘，滿分150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線，設(shè)甲乙，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由于，則，解得或，不一定是a=2，a=2時(shí)，兩直線一定平行，故甲是乙的必要不充分條件，故選：B2.直線與以點(diǎn)為圓心的圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則圓C的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】點(diǎn)到直線的距離為，所以圓C的半徑為，則圓C的方程為.故選：A.3.甲、乙、丙、丁四人去聽(tīng)同時(shí)舉行的個(gè)講座，每人可自由選擇聽(tīng)其中一個(gè)講座，則恰好只有甲、乙兩人聽(tīng)同一個(gè)講座的情況種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先將甲、乙兩人捆綁，與丙、丁兩人形成三個(gè)元素，然后從個(gè)講座中選取個(gè)講座分配給這三個(gè)元素即可，所以，恰好只有甲、乙兩人聽(tīng)同一個(gè)講座的情況種數(shù)為.故選：D.4.下列說(shuō)法中，正確的是（）A.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則C.已知為空間中任意一點(diǎn)，、、、四點(diǎn)共面，且、、、中任意三點(diǎn)不共線，若，則D.若直線的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線與平面所成的角為【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若直線的方向向量為，平面的法向量為，則，所以，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，已知為空間中任意一點(diǎn)，、、、四點(diǎn)共面，且、、、中任意三點(diǎn)不共線，則存在、，使得，即，所以，所以，，解得，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，若直線的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線與平面所成的角為，D錯(cuò).故選：B.5.已知平面、的法向量分別為，，則平面、的夾角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)槠矫?、的法向量分別為，，則，所以，平面、的夾角的大小為.故選：C.6.已知拋物線，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，若弦的長(zhǎng)為8，則直線的方程為（）A.或B.或C.或D.或【答案】B【解析】根據(jù)題意可得拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)題意可得直線的斜率存在，（顯然當(dāng)斜率不存在時(shí)，不符合題意）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，所以，因?yàn)?，解得，則直線l的方程為或.故選：B.7.如圖，在兩行三列的網(wǎng)格中放入標(biāo)有數(shù)字、、、、、的六張卡片，每格只放一張卡片，則“只有最左邊一列兩個(gè)數(shù)字之和為”的不同的放法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】在、、、、、六個(gè)數(shù)字中，，若左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，根據(jù)題意，、不能放在一列，此時(shí)，不同的填數(shù)字的方法種數(shù)為，所以，若左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，符合條件的放法種數(shù)為種.同理，若左邊一列兩個(gè)數(shù)字為和，符合條件的放法種數(shù)為種.因此，滿足條件的放法種數(shù)為種.故選：C.8.空間直角坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為.已知平面的方程為,直線是平面與平面的交線,則直線與平面所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意得,平面的法向量為,平面的法向量為,平面的法向量為.設(shè)直線的方向向量,,令,設(shè)直線與平面所成角,,則,直線與平面所成角.故選:B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.用、、、、這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則（）A.可以組成個(gè)三位數(shù)B.在組成的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為的個(gè)數(shù)為C.在組成的三位數(shù)中，比大的個(gè)數(shù)為D.在組成的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字最小的個(gè)數(shù)為【答案】ABD【解析】用、、、、這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)對(duì)于A選項(xiàng)，可以組成個(gè)三位數(shù)，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，在組成的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為的個(gè)數(shù)為個(gè)，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，由題意可知，百位數(shù)字為或，所以，在組成的三位數(shù)中，比大的個(gè)數(shù)為個(gè)，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，在組成的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字最小，即從五個(gè)數(shù)字中任意抽個(gè)數(shù)，最小的放在百位上，所以，百位上的數(shù)字最小的個(gè)數(shù)為個(gè)，D對(duì).故選：ABD.10.雙曲線：的焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與雙曲線的左支相交于兩點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，則（）A.B.C.平行四邊形各邊所在直線斜率均不為D.【答案】BC【解析】由題意可得，，則，故A錯(cuò)誤．由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性和平行四邊形的對(duì)稱(chēng)性可知：，則，B正確．設(shè)任一邊所在直線為（斜率存在時(shí)），聯(lián)立雙曲線，聯(lián)立得，則，即，C正確．由，設(shè)：；，，，聯(lián)立得，∴，，則，設(shè)，則，∴，又單調(diào)遞減，則，∴，故，D錯(cuò)誤．故選：BC11.如圖，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列說(shuō)法正確的是（）A.三棱錐的體積為定值B.若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一條線段C.存在點(diǎn)，使得平面D.若直線與平面所成角的正切值為，那么點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半棱長(zhǎng)為半徑的圓弧【答案】ABD【解析】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A選項(xiàng)，，三棱錐體積，點(diǎn)到平面的距離為，所以三棱錐的體積為定值，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取、中點(diǎn)，連接、、、，由且，知是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，平面，同理可得平面，因?yàn)?，、平面，所以平面平面，又平面，則平面，而Q在平面上，且平面平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、，設(shè)，則，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，取，則.若平面，則，即存在，使得，則，解得，故不存在點(diǎn)使得平面，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，平面的一個(gè)法向量為，，若直線與平面所成角的正切值為，則此角的正弦值是，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），所以點(diǎn)是以為圓心，12為半徑的圓?。ㄕ叫蝺?nèi)），即圓心角為的圓弧，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在平行六面體中，，，，點(diǎn)在上，且，用、、表示，則__________.【答案】【解析】如下圖所示：由題意可知，，可得，所以，，故答案為：.13.已知橢圓，且，直線與橢圓相交于兩點(diǎn).若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則橢圓的半焦距__________.【答案】【解析】設(shè)，，因?yàn)樵跈E圓上，所以.兩式相減得，即.因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，.斜率，得，即,解得.當(dāng)時(shí)，橢圓方程為，可得，所以.故答案為：.14.已知集合，若、、且、、互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個(gè)函數(shù)在上單調(diào)遞增的有序數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù)是__________.【答案】【解析】若和在0,+∞上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，則有個(gè)；若和在0,+∞上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，則有個(gè)；若和在0,+∞上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，則有個(gè)；若、和在0,+∞上單調(diào)遞增，則有個(gè).綜上所述：共有個(gè).故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.5名工作人員在社區(qū)開(kāi)展交通安全宣講活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后，5名工作人員與社區(qū)組織者小王站成一排拍照留念.（1）要求小王與工作人員甲?乙都相鄰，有多少種不同的站法？（2）若這5名工作人員中，甲?乙?丙的身高互不相等，拍照時(shí)甲?乙?丙三人按從高到低的順序從左到右排列（不一定相鄰），有多少種不同的站法？（3）若工作人員甲不站在最左端，工作人員乙不站在最右端，有多少種不同的站法？（寫(xiě)出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）解：（1）由題意，5名工作人員與社區(qū)組織者小王站成一排拍照留念，小王與工作人員甲?乙都相鄰，∴把小王與工作人員甲、乙捆綁在一起看作一個(gè)復(fù)合元素，有種方法（甲、小王、乙，乙、小王、甲），然后總體與其余3名工作人員全排列，共有種方法，∴小王與工作人員甲?乙都相鄰，方法共有種；（2）由題意，甲?乙?丙的身高互不相等，拍照時(shí)甲?乙?丙三人按從高到低的順序從左到右排列（不一定相鄰），①在6個(gè)位置中任選3個(gè),安排甲乙丙之外的3人,有種情況,②將甲乙丙3人按從左到右的順序安排在剩余的3個(gè)位置,有1種情況,∴有種不同的站法；（3）由題意，工作人員甲不站在最左端，工作人員乙不站在最右端，∴①甲站在最右端,其余5人全排列,有種站法,②甲不站在最右端,甲有4種站法,乙有4種站法,剩下4人全排列,有種站法,∴共有種不同的站法16.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O0,0,0，，，.（1）證明：，，不共面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）由題意得，，.假設(shè)，，共面，則存在a，，使得，即，即，所以，此方程組無(wú)解，所以假設(shè)不成立，故，，不共面（2）由題意得，，.設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，，故平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則.17.如圖,在四棱柱中,四邊形是正方形，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）用向量表示；（2）求線段的長(zhǎng)及直線與所成角的余弦值.解：（1）在四棱柱中，.（2）由四邊形是正方形，，得，則，即線段的長(zhǎng)為；而，則，，因此，即直線與所成角的余弦值為，所以線段的長(zhǎng)為，直線與所成角的余弦值為.18.如圖，在四棱錐中，平面平面為棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在棱上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，如圖所示：為棱的中點(diǎn)，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面；（2），，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，由，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，，，（i）故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z則，令，則，，，平面的一個(gè)法向量為,則，令，則，，故，,，由于二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為；（ii）假設(shè)在線段上是存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離是，設(shè)，，則,0,，0,，由（2）知平面的一個(gè)法向量為,,，，點(diǎn)到平面的距離是，，．19.設(shè)分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點(diǎn)，是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，（1）求橢圓的方程.（2）如圖，是橢圓上不重合的三點(diǎn)，原點(diǎn)是的重心.（