河南省駐馬店市青桐鳴2024-2025學年高二上學期12月聯(lián)考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省駐馬店市青桐鳴2024-2025學年高二上學期12月聯(lián)考數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】因為直線，其中為常數，故直線的傾斜角為.故選：A.2.在空間直角坐標系中，點與點關于（）對稱A.平面 B.軸 C.平面 D.平面【答案】C【解析】易得點與點關于平面對稱．故選：C．3.在四面體中，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在中，，在中，，故.故選：A.4.已知，直線的方向向量與直線的方向向量共線，則這兩條直線之間的距離為（）A.4 B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，所以，解得，故兩直線方程分別為，，故這兩條平行線之間的距離為.故選：B.5.已知雙曲線的對稱中心為坐標原點的一個焦點為，若點分別在的兩條漸近線上，且滿足四邊形為正方形，則的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由題意知四邊形為正方形，由于點分別在的兩條漸近線上，可知的兩條漸近線互相垂直，故漸近線方程為，所以該雙曲線的實半軸長和虛半軸長相等，即,故雙曲線的離心率為．故選：B．6.圓與圓的公共弦長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】兩圓方程作差可得兩圓交點所在的直線方程為，又因為圓心到直線的距離，故兩圓公共弦長為．故選：C．7.某中學高二年級入學進行了一場為期一周的軍訓，在軍訓過程中，教官根據班級表現(xiàn)從各個維度進行評分，最終評出“先進集體”“作風優(yōu)良班級”“紀律優(yōu)良班級”“素質優(yōu)良班級”四個獎項．已知總共有三個班級獲獎，其中有兩個班級均獲得了“先進集體”，剩余三個獎項每個獎項均只有一個班級獲得，則所有的頒獎方式有（）A.57種 B.60種 C.114種 D.120種【答案】A【解析】設獲獎的三個班級分別為，，，首先分配“先進集體”獎，有（種）可能；繼續(xù)分配“作風優(yōu)良班級”“紀律優(yōu)良班級”“素質優(yōu)良班級”這三個獎項，每個獎項分別有，，三種可能，于是有（種）可能，相乘一共有（種）可能，其中一個班級一個獎項都不獲得，也就是分配“作風優(yōu)良班級”“紀律優(yōu)良班級”“素質優(yōu)良班級”這三個獎項時均分配到兩個獲得“先進集體”獎的班級，共有（種）可能；兩者相減得所有的頒獎方式有（種）．故選：A．8.對于次二項式，取，可以得到．類比此方法，可以求得（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得，令，得，令，得，兩式作差，可得，故．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，這三條直線有唯一公共點，則實數的可能取值有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由題意可得這三條直線交于同一點，聯(lián)立，解得直線和直線的交點坐標為，把交點坐標代入直線的方程可得，解得或，故選：AC．10.記，其二項展開式為，，則下列說法正確的是（）A.若的二項展開式中存在常數項，則一定是7的倍數B.若的二項展開式中存在常數項，則一定是6的倍數C.若是奇數，則的二項展開式中第項為系數最大的項D.若是偶數，則的二項展開式中第項為二項式系數最大的項【答案】AD【解析】若存在常數項，設第項為常數項，即為常數項，所以是常數，即，即，又因為為正整數，故一定是7的倍數，故A正確，B錯誤；對于C，設，則，二項展開式的第項為，其系數為，不能確定正負，故C錯誤；對于D，設，則，二項展開式的第項為，其二項式系數是最大的，故D正確．故選：AD．11.如圖，在多面體中，是以角為直角的等腰直角三角形，，是等邊三角形，平面平面，是空間中的一點，滿足，則下列說法正確的是（）A.B.在上的投影向量為C.直線上的點到直線的最短距離為2D.平面與平面所成角的余弦值為【答案】BD【解析】取的中點為，連接，．因為是等邊三角形，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面，因為是以角為直角的等腰直角三角形，所以，故以點為坐標原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，因為，所以，故，故A錯誤．，，故在上的投影向量為，故B正確．因為，若直線上的點到直線的最短距離為2，則是直線與直線的公垂線．連接，則，則為等腰三角形，，不可能垂直，故不是直線與直線的公垂線，故C錯誤．設平面的法向量為，則，即不妨令，則，，則，易知平面的一個法向量為，故平面與平面所成角余弦值為，故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間向量，，則______．【答案】【解析】由題意可得，故．故答案為：.13.______．（用數字作答）【答案】【解析】，故答案為：.14.已知橢圓的左、右焦點分別為，，圓與在第一象限內交于點，直線與的另一個交點為，若，則直線的斜率為______．【答案】【解析】由已知，可知圓是以為直徑的圓，則，即，設，則，由橢圓的定義可得，，故，而，故，故，解得，則，故直線的斜率為，故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓經過，，三點.（1）求的標準方程，并說明的圓心坐標與半徑；（2）過點作圓的切線，且直線的斜率存在，求的一般式方程.解：（1）由題意可設圓的一般方程為，代入三點坐標可得，解得，所以圓的一般方程為，則圓的標準方程為，易得圓心為，半徑.（2）因為過點的切線的斜率存在，所以設切線的方程為，即，則圓心到切線的距離，解得，故的一般式方程為.16.在以為坐標原點的平面直角坐標系中,點在拋物線上，過點的直線交于兩點．（1）求的準線方程；（2）求直線，的斜率之積．解：（1）把點代入拋物線方程，可得，解得或（舍去），故拋物線的方程為，其準線方程為．（2）設，，直線的方程為，聯(lián)立，可得，則，故，故直線的斜率之積為．17.如圖,在四棱錐中,平面平面,，，點是線段的中點．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取的中點，連接．因，所以．因為平面平面，平面平面，平面，故平面．以為坐標原點，的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1,0,0，，，，，故，，故，故異面直線與所成角的余弦值為．（2）由（1）得，，設平面的法向量為，則即易知，令，則，即．設直線與平面所成的角為，易得，則，故直線與平面所成角的正弦值為．18.現(xiàn)有體積均相同但質量均不同的紅球個、白球個、黑球個，將這個小球放入恰好能容納個小球的圓柱形卡槽內．（1）若同種顏色的球必須相鄰，試問共有多少種不同的放法？（2）若個白球互不相鄰，且質量最大的白球不能放在卡槽的兩端，試問共有多少種不同的放法？（3）若個紅球之間有且僅有白球和黑球各個，試問共有多少種不同的放法？解：（1）個紅球全排列有種方法，個白球全排列有種方法，個黑球全排列有種方法，同種顏色的球捆綁在一起進行全排列有種方法，所以共有種不同的放法；（2）先排紅球和黑球，共有種方法，且質量最大的白球不在卡槽的兩端，則有種方法，最后排剩余的個白球有種方法，所以共有種不同的放法；（3）兩個紅球的放法有種，接著任選個白球、個黑球放入兩個紅球中間，有種方法，再將這個小球捆綁在一起與剩余的個小球進行全排列有種，所以共有種不同的放法.19.已知過點的直線與橢圓交于兩點．當直線垂