湖北省部分重點學校智學聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分重點學校智學聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線經(jīng)過點，且它的一個方向向量為，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為直線的一個方向向量為，則直線的斜率為3，而直線過點，所以直線的方程為，即.故選：C.2.“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若方程表示的曲線為橢圓，則，解得或，則“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件，故選：B．3.已知圓的方程為，若點在圓外，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】將圓：化為標準方程得：，，即.又∵點在圓外，，解得或.綜上，的取值范圍為.故選：D.4.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴“有用腳蹴?踢的含義，“鞠”最早系外包皮革?內(nèi)飾米糠的球,因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴?踢皮球的活動,類似今日的踢足球活動已知某“鞠”的表面上有四個點,其中平面，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為平面，平面，所以，又，所以兩兩垂直，所以三棱錐的外接球即為以為長，寬，高的長方體的外接球，即該球的直徑為長方體體對角線的長，因為，所以，所以該球半徑為2，表面積為.

故選：A5.若，是虛數(shù)單位，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可得，①，由，所以①的最大值為，故選：D.6.已知是橢圓的左焦點，為橢圓上任意一點，點，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，取橢圓右焦點，則，則由橢圓定義可知，則，當且僅當、、三點共線，且在之間時取等，故的最大值為.故選：A.7.有6個相同的球，分別標有數(shù)字，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是3”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是6”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之差的絕對值是3”，則（）A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立【答案】B【解析】設(shè)甲乙丙丁對應(yīng)的的概率分別為，由題意可得，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，情況分為，所以，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之差的絕對值是3”，情況分為，所以，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤；故選：B.8.如圖所示，是雙曲線右支在第一象限內(nèi)一點，分別為其左?右焦點，為右頂點，圓是的內(nèi)切圓，設(shè)圓與分別切于點，當圓的面積為時，直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，，，所以，設(shè)，則，即，設(shè)圓C的半徑為，因為圓C的面積為，則，因為，所以，于是，因為是的角平分線，所以，所以，即直線的斜率為.故選：D.二?多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.經(jīng)過任意兩個不同的點的直線都可以表示為B.不經(jīng)過原點的直線都可以用方程表示C.直線的傾斜角越大，則其斜率越大D.直線的傾斜角的取值范圍是【答案】AD【解析】對于A：當兩個不同的點的連線不垂直于坐標軸時，直線方程為，即，當直線斜率為0或者斜率不存在時，也適合方程，所以經(jīng)過任意兩個不同的點的直線都可以用方程表示，故A正確；對于B：如直線不經(jīng)過原點，但是不能用方程表示，故B錯誤；對于C，當傾斜角為時，斜率為，小于傾斜角為時的斜率，故C錯誤；對于D：直線，即，斜率，則，所以，故D正確；故選：AD.10.如圖，在棱長為2的正方體中，點為線段的中點，且點滿足，則下列說法正確的是（）A.若平面，則最小值為1B.若平面，則C.若，則到平面的距離為D.若時，直線與平面所成角為，則【答案】BC【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，則有、A2,0,0、、、、、、、，，，則；對A：，，，則，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則有，令，則有，即，由平面，則有，即，則，當且僅當時，等號成立，即最小值為，故A錯誤；對B：，則，由平面，則有，即，解得，，故B正確；對C：若，則，則有，即到平面的距離為，故C正確；對D：，當，時，，則有，當時，，當時，，當且僅當時，等號成立，故，即，故D錯誤.故選：BC.11.已知雙曲線左，右焦點分別為，過直線交雙曲線的右支于兩點，在第一象限，在第四象限，則（）A.該雙曲線的漸近線方程為B.若，則到軸的最大距離為C.若，則周長為20D.點到兩條漸近線的距離之積為【答案】ACD【解析】由雙曲線方程可知：，且焦點在x軸上，則.對于選項A：該雙曲線的漸近線方程為，故A正確；對于選項B：若，可知點在以為直徑的圓上或圓內(nèi)，因為以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立方程，解得，當時，直線的斜率，所以到軸的最大距離為，故B錯誤；對于選項C：因，，則的周長為，故C正確；對于選項D：設(shè)Px0,y0可得點到漸近線的距離，點到漸近線的距離，所以點到兩條漸近線的距離之積為，故D正確；故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知圓及直線，當直線被圓截得的弦長最短時，直線的方程為__________.【答案】【解析】由可得，令，解得，故直線過定點，又，故點在圓內(nèi)，由圓可知圓心為，半徑為，則，則當直線與直線垂直時，直線被圓截得的弦長最短，即有，解得，即直線，整理得.故答案為：.13.已知拋物線的焦點為為圓上的動點，為上的動點，則的最小值為__________.【答案】3【解析】經(jīng)過作拋物線的準線的垂線，垂足為，如圖：由拋物線的定義可知：，圓心，半徑為，當共線且經(jīng)過圓的圓心時最小，此時取得最小值，所以最小值為：．故答案為：3．14.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右頂點分別為是在第一象限的圖象上的點，記【答案】【解析】設(shè)點，則，，且，可得，易知點、，所以，，則，，，所以，所以，則，可得.因此的離心率為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知動點到定點的距離與到定點的距離之比為.（1）求動點的軌跡的方程；（2）過點作曲線的切線，求切線的方程.解：（1）設(shè)，由題意得，即，化簡得，所以動點的軌跡的方程為.（2）由（1）知化簡為標準方程為，圓心為，半徑，當斜率不存在時，x=1，此時直線與圓相切；當斜率存在時，設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，因為直線與圓相切，所以，解得，所以直線的方程為；綜上，切線方程為x=1或.16.的內(nèi)角的對邊分別為，已知向量，滿足.（1）求；（2）若角的平分線交邊于點長為2，求的面積的最小值.解：（1）因為，所以，由正弦定理得，所以，所以，因為，故.（2）∵平分，∴，∵，∴，即，∴，由基本不等式可得：，∴，當且僅當時取“=”，∴，即的面積的最小值為.17.如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,為等邊三角形且垂直于底面.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的正弦值.解：（1）如圖所示，取中點，為等邊三角形，，又面垂直于底面，交線為，得面，又面.底面為直角梯形，，，，，，所以，，，所以，得，又，面，得面，面，所以.（2）由（1）知面，不妨設(shè)，則，以為坐標原點，過點與平行直線為軸，分別以、所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標系，得，，，，，；設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則，，可取；設(shè)平面的一個法向量為m=x則，即，可取.設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的正弦值為.18.甲、乙、丙三位重劍愛好者決定進行一場比賽，每局兩人對戰(zhàn)，沒有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，丙贏乙的概率為因為甲是最弱的，所以讓他決定第一局的兩個比賽者(甲可以選定自己比賽，也可以選定另外兩個人比賽)，每局獲勝者與此局未比賽的人進行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個比賽的冠軍，比賽結(jié)束.（1）若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，求“只進行三局甲就成為冠軍”的概率；（2）請幫助甲進行第一局的決策(甲乙、甲丙或乙丙比賽)，使得甲最終獲得冠軍的概率最大.解：（1）若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，“只進行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況：①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，其概率為；②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，其概率為，所以“只進行三局甲就成為冠軍”的概率為.（2）若第一局甲乙比，甲獲得冠軍的情況有三種：甲乙比甲勝，甲丙比甲勝；甲乙比甲勝，甲丙比丙勝，乙丙比乙勝，甲乙比甲勝；甲乙比乙勝，乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，所以甲能獲得冠軍的概率為，若第一局為甲丙比，則同上可得甲獲得冠軍的概率為，若第一局為乙丙比，那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局，則甲獲得冠軍的概率即第問的結(jié)果，因為，所以甲第一局選擇和乙比賽，最終獲得冠軍的概率最大.19.對于橢圓，與點對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點對應(yīng)的極線方程為；即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.根據(jù)上述材料回答下面問題：已知橢圓，右焦點，點在橢圓上，已知點是直線上的一個動點，點對應(yīng)的極線與橢圓交于點.（1）若，證明：極線恒過定點.（2）在（1）的條件下，若該定點為極線的中點，求出此時的極線方程（3）若，極線交橢圓于兩點，點在軸上方，點