湖南省名校教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省名校教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（滿分：150分時(shí)量：120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，，則.故選：B．2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A.27 B.24 C.21 D.18【答案】C【解析】在等比數(shù)列中，其公比，所以，所以，故選：C．3.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，設(shè)，∵，∴，，，∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D．4.已知向量，，若，則的值為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴.故選：C.5.已知是偶函數(shù)，則（）A.2 B.1 C.0 D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，由是偶函?shù)，得，而不恒等于0，則恒成立，即恒成立，所以.故選：A6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A.6 B.5 C.3 D.2【答案】B【解析】由題可知，，時(shí)，．因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，所以，的最大值為5．故選：B7.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】連接，由題意知，，，∴，∴點(diǎn)為橢圓的上（下）頂點(diǎn)，∴直線的斜率的絕對(duì)值．故選：A8.定義的實(shí)數(shù)根為的“堅(jiān)定點(diǎn)”，已知，且，則下列函數(shù)中，不存在“堅(jiān)定點(diǎn)”的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)選項(xiàng)A：，令，則，解得，，存在“堅(jiān)定點(diǎn)”；對(duì)選項(xiàng)B：，f'x在0,+時(shí)，，時(shí)，；在0,+∞上單調(diào)遞增，時(shí)，，時(shí)，，所以關(guān)于的方程在0,+∞上有一解，存在“堅(jiān)定點(diǎn)”；對(duì)選項(xiàng)C：，令，則，即，顯然是“堅(jiān)定點(diǎn)”；對(duì)選項(xiàng)D：，令，則，因?yàn)榍遥圆淮嬖凇皥?jiān)定點(diǎn)”．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分．9.已知，則下列結(jié)論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】由，同除以得，A選項(xiàng)正確；由基本不等式，又，所以等號(hào)不成立，所以，B選項(xiàng)正確；由在R上單調(diào)遞減，因，所以，C選項(xiàng)不正確；取，，得，，得，D選項(xiàng)不正確．故選：AB.10.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包括邊界），則下列說法正確的有（）A.存在唯一的，，使得B.存在唯一的，，使得C.若為線段的中點(diǎn)，且平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為D.若為線段的中點(diǎn)，則的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槠矫?，所以在平面?nèi)或與平面平行，故當(dāng)且僅當(dāng)與重合，且與重合時(shí)，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，過在平面內(nèi)作的平行線，與底面內(nèi)（包括邊界）沒有公共點(diǎn)，故不存在，，使得，B選項(xiàng)不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，過作與平面平行的截面，與底面的交線為中的中位線，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡，其長(zhǎng)度為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，則，D選項(xiàng)正確．故選：ACD11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，為原點(diǎn)，為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且垂直于軸，垂足為，則滿足下列條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，由橢圓定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡為橢圓，故A正確；對(duì)于B，設(shè)Px,y則，∴，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，故B正確；對(duì)于C，設(shè)Px,y則，∴，即，這樣的點(diǎn)的軌跡不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)Px,y則，∴，即，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.寫出一個(gè)半徑為，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程：_____．【答案】或（寫1個(gè)即可）【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為，且與直線相切于點(diǎn)，由直線，可得該直線斜率為，所以，解得或，所以所求圓的方程為或．故答案為：或（寫1個(gè)即可）.13.已知，，成等差數(shù)列，若直線與曲線相切，則________．【答案】【解析】由題意得，直線，故直線過定點(diǎn)，且曲線過點(diǎn)，故直線與曲線（無拐點(diǎn)）相切于點(diǎn).∵，∴直線的斜率，∴直線的方程為，∴，∴.故答案為：.14.如圖，在平行四邊形中，已知，，，現(xiàn)將沿折起，得到三棱錐，且，則三棱錐外接球的表面積為________．【答案】【解析】如圖，過作，且，過作，且，連接，，，根據(jù)題意可知，，因?yàn)?，，，所以，，所以，，，所以，是平面?nèi)的兩條相交直線，所以平面，所以三棱柱為直三棱柱．則三棱錐與直三棱柱的外接球相同．在中，，，∴．在中，，，，所以．設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，故的外接圓半徑，設(shè)三棱柱外接球半徑為，由勾股定理，則三棱錐外接球的表面積．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知，，，分別是角，，的對(duì)邊，的面積．（1）證明：；（2）若為的平分線，交于點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng)．（1）證明：因?yàn)?，化?jiǎn)得，由正弦定理，得，又，所以，整理得．又，為的內(nèi)角，所以，即．（2）解：因?yàn)闉榈钠椒志€，且，所以，所以，在等腰三角形中，．①又，∴，則，化簡(jiǎn)得，又，∴．②①代入②，得，解得或（舍去），∴，在中，由余弦定理得，∴．16.如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面．（1）作出點(diǎn)在平面的射影，并證明；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）在中，作，垂足為，點(diǎn)即為點(diǎn)在平面的射影．下面證明平面：因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，所以，在，中，，，解得，．又，，∴，∴．又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴．又，，平面，∴平面．?）連接點(diǎn)與的中點(diǎn)，則．又平面平面，平面平面，平面，∴平面．如圖，以為原點(diǎn)，過點(diǎn)且平行于的方向?yàn)檩S，直線，分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，．設(shè)平面的法向量為，易知，，則取，則，，則．設(shè)平面的法向量為，，，則取，則，，則．∴，故平面與平面的夾角的余弦值為．17.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，直線，的斜率分別為，，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過的直線交于另一點(diǎn)，且由點(diǎn)，，，組成的以為一邊的四邊形的面積為，求的方程．解：（1）由題可知，，.∵點(diǎn)橢圓上，且，，解得，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，①若點(diǎn)在軸下方，則，如圖1所示，則.因?yàn)辄c(diǎn)，，，組成的四邊形的面積為，所以，解得，代入橢圓方程得，故點(diǎn)，所以直線的方程為或.②若點(diǎn)在軸上方，則，，如圖2所示，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則，解得.易知直線的方程為，由，得或.聯(lián)立得（舍去）或（舍去）聯(lián)立得，所以直線的方程為.綜上，直線的方程為或或.18.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)解，，且，求證：．（1）解：由，求導(dǎo)可得，令f'x>0，得或，令f'x所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）解：當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以．（3）證明：當(dāng)時(shí)，，由（1）可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)的大致圖象，如圖：因?yàn)?，所以，所以．由，且切點(diǎn)，則曲線y=fx在處的切線為，同理可得曲線y=fx在處的切線為，設(shè)，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以在上恒成立，設(shè)直線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，則，則，所以．同理可得，所以，得證.19.某商場(chǎng)舉行活動(dòng)，充值積分若干后，可以用積分購買特定商品．參與此活動(dòng)的商品有1積分的簽字筆，2積分的草稿本和2積分的便利貼．要求每天必須用積分購買商品且每天只能購買一次．花2積分購買草稿本或者購買便利貼算不同的用完積分的方式．（1）假設(shè)梅菊同學(xué)充值4積分，則該同學(xué)有多少種方式用完積分（只寫出答案，不用寫過程）；（2）假設(shè)代仕同學(xué)有點(diǎn)積分，該同學(xué)用完點(diǎn)積分的方式種數(shù)記為，求表達(dá)式；（3）設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．（1）解：記用1積分購買簽字筆為，用2積分購買草稿本為，用2積分購買便利貼為，由枚舉可知，該同學(xué)用完