遼寧省沈陽市2024-2025學年高一上學期1月期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市2024-2025學年高一上學期1月期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，，故.故選：D.2.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函數(shù)的意義，則，解得，所以原函數(shù)的定義域為.故選：D.3.是平面內(nèi)不共線兩向量，已知，，，若，，三點共線，則的值為（）A.3 B. C. D.2【答案】A【解析】由，，得，由，，三點共線，得，又，不共線，則，所以.故選：A.4.命題，為真命題的一個充分不必要條件是（）A B. C. D.【答案】C【解析】，則，當且僅當時取等號，由命題為真，得，因此命題為真命題的一個充分不必要條件是集合的真子集，C是，ABD都不是.故選：C.5.已知冪函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，則（）A.或2 B. C.2 D.【答案】C【解析】由冪函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，得，所以經(jīng)檢驗適合題意.故選：C.6.設，，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，即，且對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，則，即，又因為函數(shù)為增函數(shù)，則，故，故選：D.7.已知強度為的聲音對應的等級為時，有，噴氣式飛機起飛時，聲音約為；一般說話時，聲音約為.計算噴氣式飛機起飛時的聲音強度是一般說話時聲音強度的（）倍.A. B. C. D.【答案】B【解析】設噴氣式飛機起飛時的聲音強度和一般說話時聲音強度分別為、，則，，上述兩個等式作差可得，解得，因此，噴氣式飛機起飛時的聲音強度是一般說話時聲音強度的倍.故選：B.8.已知函數(shù)，若是方程的四個互不相等的解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的圖象如圖，不妨令，觀察圖象，得，且，，由，得，因此，設，函數(shù)在為增函數(shù)，，則，所以的取值范圍是.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分的分.9.以下命題正確的選項是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】對于A選項，由，可得，又因為，則，A對；對于B選項，取，，，顯然有，，但，B錯；對于C選項，因為，則，因為，但由于，故，從而有，所以，，即，C對；對于D選項，因為且，由不等式的性質(zhì)可得，D對.故選：ACD.10.設，為兩個隨機事件，以下命題正確的是（）A.若與對立，則B.若與互斥，，，則C.數(shù)據(jù)，，，，，，，，，的分位數(shù)是7.8D.若與相互獨立，，，【答案】BD【解析】對于A選項，因為與對立，，則，所以A錯誤；對于B選項，，則，因為與互斥，所以，所以B正確；對于C選項，這組數(shù)據(jù)一共有10個數(shù)，所以分位數(shù)為第8個數(shù)與第9個數(shù)的平均數(shù)，為，所以C錯誤；對于D選項，若與相互獨立，則與也相互獨立，因為，，所以，，所以，所以D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)、的定義域均為，且，.若的圖象關于直線對稱，，下列說法正確的是（）A. B.的圖象關于點對稱C. D.【答案】ABC【解析】對于A選項，因為函數(shù)y=gx的圖象關于直線對稱，則，A對；對于B選項，因為，則，又因為，聯(lián)立可得，即，所以，y=gx的圖象關于點對稱，B對；對于C選項，因為，所以，即，因為，代入得，即，因為，所以，因為，所以，所以，C對；對于D選項，由B選項可知，，因為，所以，因為，所以，，，因此，，D錯.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，”的否定是______.【答案】，【解析】命題“，”為全稱量詞命題，該命題的否定為“，”.13.不等式對恒成立，則______.【答案】【解析】由，即或，解得或，由，即，解得，因為不等式對恒成立，當或時，，則，當時，，則，由上可知，關于的方程的兩根分別為、，由韋達定理可得，，可得，，因此，.14.已知一組數(shù)據(jù)丟失了其中一個，剩下的六個數(shù)據(jù)分別是、、、、、，若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的倍，則丟失數(shù)據(jù)的所有可能值構成的集合為______.【答案】【解析】設丟失的數(shù)據(jù)為，則這七個數(shù)的平均數(shù)為，眾數(shù)為，因為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的倍，分以下幾種情況討論：若，則中位數(shù)為，此時，，解得；若，則中位數(shù)為，此時，，解得；若，則中位數(shù)為，此時，，解得.綜上可知，丟失數(shù)據(jù)所有可能取值構成的集合為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求集合；（2）已知，，是否存在實數(shù)，使是的必要不充分條件，若存在實數(shù)，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.解：（1）當時，，因為，故.（2）由可得，即，因為是的必要不充分條件，則集合是集合的真子集，所以，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.16.如圖所示，在中，為邊上一點，且，若，，三點共線，且，.（1）用，表示；（2）求的最小值.解：（1）由，得，所以.（2）由，，，，得，又、、三點共線，因此，則，當且僅當，即時取等號，所以取最小值.17.某醫(yī)療單位為了迎接醫(yī)師節(jié)，針對本單位不同年齡的員工舉辦了一次實踐技能大比拼活動，滿分100分（95分及以上為優(yōu)秀醫(yī)師），共有100人榮獲“優(yōu)秀醫(yī)師”稱號，將其按年齡分成以下五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這些人的平均年齡；（2）若從第三組，第四組，第五組三組中分層抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人，求抽取的2人年齡在不同組的概率；（3）若第四組的年齡的平均數(shù)與方差分別為54和1，第五組的年齡的平均數(shù)與方差分別為66和4，據(jù)此計算這100人中第四組與第五組所有人的年齡的方差.附：解：（1）這些人的平均年齡（歲）.（2）第三組，第四組，第五組的頻率分別為0.3，0.2，0.1，從這三組中分層抽取6人，則第三組抽3人，記為；第四組抽2人，記為；第五組抽1人，記為，樣本空間，共15個樣本點，設事件為“從6人中隨機抽取兩人，所抽取的2人年齡在不同組”，，共11個樣本點，所以抽取的2人年齡在不同組的概率.（3）設第四組、第五組年齡平均數(shù)分別為，方差分別為，則，第四組有20人，第五組有10人，設第三組和第四組所有人的年齡平均數(shù)為，方差為，則，.所以這100人中第四組與第五組所有人的年齡的方差為34.18.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）設函數(shù)，判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并給出證明；（3）設函數(shù)，求證：函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點.解：（1）函數(shù)的定義域為，由是奇函數(shù)，得，即，整理得，而不恒為0，所以.（2）由（1）知，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，任意，，由，得，因此，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）由（1）知，函數(shù)，則函數(shù)，由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則存在唯一，使得，所以函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個零點.19.定義一種新的運算“”：、，都有.（1）對于任意實數(shù)、、，試判斷與的大小關系；（2）若關于的不等式的解集中的整數(shù)恰有個，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)，，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為、，，，，所以，.（2）因為，所以，原不等式可化為，即，為滿足題意，必有，解