山東省聊城市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省聊城市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡的相應(yīng)位置上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，只將答題卡交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1.直線在x軸上的截距為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】令，解得，顯然截距是.故選：B2.已知函數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】D【解析】由題意，，故.故選：D3.已知數(shù)列滿足，若，則（）．A.4 B.3 C. D.2【答案】B【解析】由可得，所以，則是公比為的等比數(shù)列，所以，所以.故選：B.4.已知直線，，若，則它們的傾斜角為（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】因?yàn)?，所以且，所?兩直線的斜率為，所以傾斜角為.故選：C.5.在三棱錐中，，，分別為，，的中點(diǎn)，若，則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】連結(jié)和，并交于點(diǎn)，點(diǎn)是和的中點(diǎn)，所以，以及，所以，即，所以，則.故選：D6.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線上一點(diǎn)反射后，反射光線必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線,一束平行于x軸的光線,從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)C上一點(diǎn)A反射后﹐再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線出，則線段AB的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以令中，則，即，所以直線的方程為：，即，將直線的方程代入中，得，所以，所以.故選：C.7.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，且圓C在A，B兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)M，若為正三角形，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】因?yàn)闉檎切危揖c圓相切，故，，由四邊形內(nèi)角和為可得.又圓，圓心為，半徑為.故到直線的距離為.故，解得或（舍）.故選：C8.已知數(shù)列滿足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對(duì)于A：由于是常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是，即，錯(cuò)誤；對(duì)于B：，正確；對(duì)于C：，正確；對(duì)于D：，正確；故選：BCD10.若平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)Px,y滿足，則（）A.時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓B.時(shí)，點(diǎn)的軌跡為圓C.時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓D.時(shí)，點(diǎn)的軌跡為雙曲線【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，由，得到，其表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為，由圓的定義知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，由，得到，整理得到，即，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，由，得到，其表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和為，又兩定點(diǎn)，間的距離為，所以點(diǎn)的軌跡為線段上的點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，由，得到，其表示動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之差的絕對(duì)值為，又，由雙曲線的定義知，點(diǎn)的軌跡為雙曲線，故選：ABD.11.如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為，的中點(diǎn)，則（）A.平面B.平面C.平面平面D.直線與ED所成角的余弦值為【答案】AC【解析】因?yàn)槿庵鶠橹崩庵?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，設(shè)平面，，即，令，則，所以，設(shè)平面，，即，令，則，所以，對(duì)于A，，，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)椋圆淮怪逼矫?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以平面平面，故C正確；對(duì)于D，，則，故直線與ED所成角的余弦值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為A，離心率為e，直線軸，且與C的左、右兩支分別交于P，Q兩點(diǎn)，О為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A.若，則C的虛軸長(zhǎng)為B.若，則C.若存在l使，則D.若存在l使，則【答案】BCD【解析】由題意可得，，對(duì)于A，若，則，則，，所以C的虛軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由A可知，雙曲線，記雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，則易知四邊形為等腰梯形，所以，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)锳為雙曲線的右頂點(diǎn)，則Aa,0設(shè)，因直線軸，所以，因?yàn)?，所以，，即，因?yàn)樵贑:x2a2所以，即，所以，，所以，故C正確；對(duì)于D，記與軸的交點(diǎn)為，因?yàn)橹本€軸，所以，若存在l使，則是等腰直角三角形，所以，所以，易知雙曲線漸近線的斜率大于，所以，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在空間直角坐標(biāo)系中,若點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.【答案】【解析】由題意知，在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，又，所以，解得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.故答案為：.14.寫(xiě)出經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為的直線的方程__________.【答案】或【解析】由題意可知圓心，半徑，顯然橫軸與圓相切，不妨設(shè)，由點(diǎn)到直線的距離公式可知C到l的距離為或，所以的方程為：或.故答案為：或.15.已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A的直線與C交于另一點(diǎn)B，則的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)，則，，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以的最大值為.故答案為：.16.若直線與曲線相切，也與曲線相切，則的斜率為_(kāi)_________．【答案】【解析】設(shè)直線切曲線于點(diǎn)，切曲線于點(diǎn)，由得，則直線的方程為，即；由可得，則直線的方程為，即，所以，，消去可得，即，可得，因此，直線的斜率為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知等比數(shù)列中，，，，成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，又，所以，解得或（舍），所以an的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）得，，所以bn為等差數(shù)列，所以．所以bn前n項(xiàng)和．18.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，M為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）以D為原點(diǎn)，以DA，DC，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，．因?yàn)?，所以，即．?）時(shí)，，由（1）知，，．設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，得，令，則，，所以為平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19.已知x軸平分的一個(gè)內(nèi)角，，，的外接圓為圓M．（1）求面積；（2）證明圓與圓M相交，并求圓N與圓M的公共弦所在直線的方程．解：（1）由題意知x軸平分，所以，設(shè)，則，解得，所以，所以，所以為直角三角形，因?yàn)?，，所以．即的面積為3．（2）由（1）知，所以M為AB的中點(diǎn)，半徑長(zhǎng)為，所以圓M的方程為，半徑．將圓N的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得，所以圓心，半徑．所以．又，，所以，故圓N與圓M相交．因?yàn)椋瑘AM的方程可化為，兩方程作差，得．所以圓N與圓M公共弦所在直線的方程為．20.已知數(shù)列與等差數(shù)列滿足，，數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和．解：（1）由題意知，時(shí)，，因?yàn)榉仙鲜剑?，又，，所以，解得．因?yàn)閎n是等差數(shù)列，所以公差，，所以bn的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，，所以．所以，①，②①－②得，所以，所以an的前n項(xiàng)和．21.圖1是由，直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF組成的一個(gè)平面圖形，其中，，，將直角梯形ACDE和等腰梯形BCGF分別沿AC，CB折起使得CD，CG重合，連接EF，如圖2.（1）求圖2中的點(diǎn)B到平面ACDE的距離；（2）證明圖2中的A，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，并求平面ABFE與平面ACDE夾角的余弦值.解：（1）由題意可知，圖2中，，又，平面BCDF，平面BCDF，所以平面BCDF，在平面BCDF內(nèi)，過(guò)D作于點(diǎn)H，則，又，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，以C為原點(diǎn)，以CA，CB所在直線分別為x軸，y軸，以過(guò)點(diǎn)C且與DH平行的直線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，，，，，設(shè)平面ACDE的法向量為，則，得，令，則，，所以為平面ACDE的一個(gè)法向量，所以點(diǎn)B到平面ACDE的距離為，即點(diǎn)B到平面ACDE的距離為.（2）因?yàn)?，所以圖2中的A，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，由（1）知，，，所以，設(shè)平面ABFE的法向量為，則，得，令，則，，所以為平面ABFE的一個(gè)法向量，又是平面ACDE的一個(gè)法向量，所以，即平面ABFE與平面ACDE夾角的余弦值為.22.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，F(xiàn)，其中在拋物線的準(zhǔn)線l上，過(guò)F的動(dòng)直線m