中心對稱圖形-平行四邊形 章節(jié)復(fù)習(xí)卷（20個(gè)知識點(diǎn)+50題練習(xí)）（解析版）

第9章中心對稱圖形一一平行四邊形章節(jié)復(fù)習(xí)卷

（20個(gè)知識點(diǎn)+50題練習(xí)）

知識點(diǎn)

知識點(diǎn)1.三角形中位線定理

（1）三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

（2）幾何語言：

如圖，：點(diǎn)。、￡分別是N8、NC的中點(diǎn)

C.DE//BC,DE^—BC.

知識點(diǎn)2.平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

（2）平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

（3）平行線間的距離處處相等.

（4）平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個(gè)底上的高的積.

②同底（等底）同高（等高）的平行四邊形面積相等.

知識點(diǎn)3.平行四邊形的判定

（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.符號語言：..【臺〃。。，?.四邊行

N5CD是平行四邊形.

（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.符號語言：???/BuDC,?.四邊行

N5CD是平行四邊形.

（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

符號語言：48=DC.,.四邊行/BCD是平行四邊形.

（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

符號語言：NABC=ZADC,/DAB=ZDCB：.四邊行ABCD是平行四邊形.

（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.符號語言：???04=OC,08=00.?.四邊行

/BCD是平行四邊形.產(chǎn)C

知識點(diǎn)4.平行四邊形的判定與性質(zhì)

平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用

平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平行、

線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考慮將要

證的直線、線段、角、分別置于一個(gè)四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙希ㄟ^證明四邊形是平行

四邊形達(dá)到上述目的.

運(yùn)用定義，也可以判定某個(gè)圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的定

義，有時(shí)用定義判定比用其他判定定理還簡單.

凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運(yùn)用平行四

邊形的性質(zhì)和判定去解決問題.

知識點(diǎn)5.菱形的性質(zhì)

（1）菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.

（2）菱形的面積計(jì)算

①利用平行四邊形的面積公式.

②菱形面積=聶.（。、6是兩條對角線的長度）

知識點(diǎn)6.菱形的判定

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

幾何語言：,.?/3=2C=CD=D/；.四邊形/BCD是菱形；

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形(或“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形").

幾何語言：四邊形/BCD是平行四邊形平行四邊形48co是菱形

知識點(diǎn)7.菱形的判定與性質(zhì)

(1)依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱為中點(diǎn)四邊形.不管原四邊形的形狀怎樣改

變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形.

(2)菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形(對角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為矩形，對角線

相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形定為菱形.)―(3)菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首

先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就

增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法.

(4)正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不

只是正方形.

知識點(diǎn)8.矩形的性質(zhì)

(1)矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

(2)矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個(gè)角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點(diǎn)連

線所在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點(diǎn).

(3)由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

知識點(diǎn)9.矩形的判定

(1)矩形的判定：

①矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；

②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；

③對角線相等的平行四邊形是矩形（或“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）

（2）①證明一個(gè)四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個(gè)四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個(gè)四邊

形的對角線相等.

②題設(shè)中出現(xiàn)多個(gè)直角或垂直時(shí)，常采用“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形.

知識點(diǎn)10.矩形的判定與性質(zhì)

（1）關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識其特殊性：一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四

邊形，進(jìn)一步研究其特有的性質(zhì)是軸對稱圖形、內(nèi)角都是直角、對角線相等.同時(shí)平行四

邊形的性質(zhì)矩形也都具有.

在處理許多幾何問題中，若能靈活運(yùn)用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡捷地解決與角、線段等有

關(guān)的問題.

（2）下面的結(jié)論對于證題也是有用的：①△OAB、△O8C都是等腰三角形（2）ZOAB=Z

OBA,NOCB=NOBC；③點(diǎn)O到三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等.

知識點(diǎn)11.正方形的性質(zhì)

（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.

（2）正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，同時(shí)，正方形又是軸對稱圖

形，有四條對稱軸.

知識點(diǎn)12.正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角.

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定.

知識點(diǎn)13.正方形的判定與性質(zhì)

正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定.

知識點(diǎn)14.反證法

(1)對于一個(gè)命題，當(dāng)使用直接證法比較困難時(shí)，可以采用間接證法，反證法就是一個(gè)間

接證法.反證法主要適合的證明類型有：①命題的結(jié)論是否定型的.②命題的結(jié)論是無限

型的.③命題的結(jié)論是“至多”或“至少”型的.

(2)反證法的一般步驟是：

①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

②從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確.

知識點(diǎn)15.生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象

(1)旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋

轉(zhuǎn).點(diǎn)。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角，如果圖形上的點(diǎn)尸經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P,

那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做對應(yīng)點(diǎn).

(2)注意：

①旋轉(zhuǎn)是圍繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度的圖形變換，因而旋轉(zhuǎn)一定有旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，且旋

轉(zhuǎn)前后圖形能夠重合，這時(shí)判斷旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵.

②旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)而不是線，旋轉(zhuǎn)必須指出旋轉(zhuǎn)方向.

③旋轉(zhuǎn)的范圍是平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，否則有可能旋轉(zhuǎn)成立體圖形，因而要注意此點(diǎn).

知識點(diǎn)16.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

—①對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角

等于旋轉(zhuǎn)角.—③旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.—(2)旋轉(zhuǎn)三要素①旋轉(zhuǎn)中心②

旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度.注意：三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會不一

樣.

知識點(diǎn)17.旋轉(zhuǎn)對稱圖形

(1)旋轉(zhuǎn)對稱圖形

如果某一個(gè)圖形圍繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度(小于360。)后能與原圖形重合，那么這

個(gè)圖形就叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形.

(2)常見的旋轉(zhuǎn)對稱圖形有：線段，正多邊形，平行四邊形，圓等.

知識點(diǎn)18.中心對稱

(1)中心對稱的定義

把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖

形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對稱或中心對稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心，這兩個(gè)圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心

的對稱點(diǎn)..

(2)中心對稱的性質(zhì)

①關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合；

②關(guān)于中心對稱的兩個(gè)圖形，對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.

知識點(diǎn)19.中心對稱圖形

(1)定義

把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)

圖形就叫做中心對稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對稱中心.

注意：中心對稱圖形和中心對稱不同，中心對稱是兩個(gè)圖形之間的關(guān)系，而中心對稱圖形是

指一個(gè)圖形自身的特點(diǎn)，這點(diǎn)應(yīng)注意區(qū)分，它們性質(zhì)相同，應(yīng)用方法相同.

(2)常見的中心對稱圖形

平行四邊形、圓形、正方形、長方形等等.

知識點(diǎn)20.作圖-旋轉(zhuǎn)變換

(1)旋轉(zhuǎn)圖形的作法：

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等

的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

(2)旋轉(zhuǎn)作圖有自己獨(dú)特的特點(diǎn)，決定圖形位置的因素較多，旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)

中心，任意不同，位置就不同，但得到的圖形全等.

練習(xí)卷

三角形中位線定理（共2小題）

1.（2024春?儀征市期中）如圖，己知點(diǎn)E、尸分別為3C、AB、的中點(diǎn)，若四

邊形DEFC的面積為9,則A48C的面積為24.

【分析】由三角形中位線定理推出跖//BC,EF=-BD,由線段中點(diǎn)定義得到

2

EF=；CD,而EF//BC,推出，得到3ssM=9,求出ADE尸的面積=3,

由三角形面積公式推出S^BC=8SADEk=8x3=24.

【解答】解：；￡、/分別為/8、4。的中點(diǎn)，

:.EF是AABD的中位線，

:.EF//BC,EF=-BD,

2

?。是2c中點(diǎn)，

BC=CD,

:.EF=-CD,

2

■.■EF//BC,

-SgEF=5StJXF，

四邊形DEFC的面積為9,

3sM）EF=9,

NDEF的面積=3,

?.?尸是中點(diǎn)，

-S/\AED~2sAp",

同理：S^BD=2S^ED'S^BC=2sMBD'

??S*BC=8SWEF=8x3=24.

故答案為：24.

【點(diǎn)評】本題考查三角形中位線定理，三角形的面積，關(guān)鍵是由三角形面積公式推出

^MBC=尸,

2.Q023春?灌云縣月考)如圖，在A42C中，點(diǎn)。，￡分別是/C,48的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是C8

延長線上一點(diǎn)，且CF=3AF,連接。2,EF.若a4c3=90。，AC=12,DE=4.

(1)求證：DE=BF；

(2)求四邊形?！晔?的周長.

CBF

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理得到DE//8C,DE=-BC,根據(jù)題意得到

2

BF=-BC,等量代換證明結(jié)論；

2

(2)根據(jù)勾股定理求出。2,證明四邊形。2FE為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的周長公

式計(jì)算即可.

【解答】(1)證明：?.?點(diǎn)。，￡分別是/C,的中點(diǎn)，

.?.QE為A45C的中位線，

:.DE//BC,DE=-BC,

2

???CF=3BF,

:.BF=-BC,

2

DE=BF；

(2)解：?.?點(diǎn)。是4C的中點(diǎn)，AC=12,

CD=6,

DE=4,

BC=8,

由勾股定理得：DB=sJCD2+BC2=762+82=10,

?;DE=BF,DE/IBC,

.?.四邊形DBFE為平行四邊形，

.?.四邊形。的周長=2x（4+10）=28.

【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟記三角形中位線等

于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

二.平行四邊形的性質(zhì)（共3小題）

3.（2024春?徐州期中）平行四邊形的一邊長為6,另一邊長為12,則對角線的長可能是（

）

A.6B.5C.22D.10

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論.

【解答】解：???平行四邊形的一邊長為6,另一邊長為12,

12-6〈對角線的長<12+6,

即6〈對角線的長<18,

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形的三邊關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?祁江區(qū)月考）在平行四邊形48co中，對角線/C,8。相交于O,若

AC=10,BD=6,貝1|48的長的取值范圍是_2<N3<8_.

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出04、OB,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得到

OA-OB<AB<OA+OB,代入求出即可.

【解答】解：?四邊形48。是平行四邊形，AC=10,BD=6,

OA=OC=5,OD=OB=3,

在\OAB中，OA-OB<AB<OA+OB,

5—3VA,B<5+3,

即2<<8.

故答案為：2<48<8.

DC

【點(diǎn)評】本題考查對平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，求

出。4、OB后得出。/-02<+03是解此題的關(guān)鍵.

5.（2023春?江都區(qū)月考）閱讀下列材料:如圖1,在四邊形/BCD中，若=

BC=CD,則把這樣的四邊形稱為箏形.

CD上，S.AE=AF,

NAEC=NAFC.求證：四邊形4EC尸是箏形.

(2)如圖3,在箏形48cZ)中，48=40=15,BC=DC=i3,AC=14.求箏形48cZ)

的面積.

（分析］（1）先判斷出NAEB=NAFD,再得到AAEB=AAFD（AAS）,然后判斷出平行四邊

形是菱形即可；

（2）先判斷出KABC=AADC.得到SMBC=.利用勾股定理得到

BH2=AB2-AH2=152-AH2,BH2=CB2-C/72=132-(14-AH)2即可.

【解答】(1)證明：?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

NB=ND,

???ZAEC=ZAFC,ZAEC+NAEB=ZAFC+ZAFD=180°,

ZAEB=NAFD,

■：AE=AF,

\AEB=AAFD(AAS),

AB=AD,BE=DF,

平行四邊形/BCD是菱形,

.-.BC=DC,

二.四邊形/ECF是箏形.

(2)解：如圖：

AB=AD,BC=DC,AC=AC,

KABC=AADC(SSS),

過點(diǎn)2作垂足為X,

在RtAABH中，

BH2=AB2-AH2=152-AH2,

在RtACBH中,

BH2=CB2-CH2=132-(14-AH)"

AH=9,

BH=y/AB2-AH2=12,

S..?r=-xl4xl2=84.

???箏形ABCD的面積=2S》BC=168.

A

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，解本

題的關(guān)鍵是理解箏形的定義.

三.平行四邊形的判定（共3小題）

6.（2024春?秦淮區(qū)期中）一個(gè)四邊形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)依次如下，能判定該四邊形是平行

四邊形的是（）

A.92°,88°,88°B.102°,88°,102°

C.92°,88°,92°D.92°,78°,92°

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理判定即可.

【解答】解：當(dāng)N/+N3=180。，NC+NB=180。時(shí)，

:.ADIIBC,ABIICD,

4BCD是平行四邊形，

.?.四個(gè)選項(xiàng)中只有2選項(xiàng)滿足題意，

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了平行四邊形的判定，熟知平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

7.(2024春?江陰市月考)已知。、/、8的坐標(biāo)分別是(0,0),(3,0),(-1,2),在平面內(nèi)

找一點(diǎn)使得以點(diǎn)。、4、B、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)"的坐標(biāo)為

(2,2)M(-4,2)M(4,-2)_.

【分析】分三種情況，根據(jù)題意畫出圖形，由平行四邊形的判定與性質(zhì)以及平移的性質(zhì)來確

定點(diǎn)M的坐標(biāo)即可.

【解答】解：分三種情況：

①當(dāng)四邊形。為平行四邊形時(shí)，如圖1所示：

則即////O,BM=AO,

:。、4、8的坐標(biāo)分別是(0,0),(3,0),(-1,2),

把點(diǎn)。向左平移3-(-1)=4(個(gè))單位，再向上平移2個(gè)單位得放的坐標(biāo),

M(—4,2)；

②當(dāng)四邊形。血磔為平行四邊形時(shí)，如圖2所示:

則AW///O,BM=AO,

.O、A,8的坐標(biāo)分別是(0,0),(3,0),(-1,2),

把點(diǎn)B向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得〃的坐標(biāo),

.?.”(2,2)；

③當(dāng)四邊形。24W為平行四邊形時(shí)，如圖3所示：

則4B//MO,AB=MO,

：O,4、8的坐標(biāo)分別是(0,0),(3,0),(-1,2),

.?.把點(diǎn)/向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得M的坐標(biāo)，

M(4,-2)；

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-4,2)或(2,2)或(4,-2)；

故答案為：(2,2)或(-4,2)或(4,-2).

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識，正確

畫出圖形，利用分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

8.(2023春?江陰市期中)如圖，點(diǎn)/、B、C、。在同一條直線上，點(diǎn)、E、尸分別在直

線的兩側(cè)，且尸，NA=ND,AB=DC.

(1)求證：\ACE=NDBF；

(2)求證：四邊形BFCE是平行四邊形.

E

F

【分析】（1）證出/C=8Z>,由S/S證明ZUCEMADB尸即可；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得出CE=3尸，AACE=ZDBF,得出CE//BF,即可得出結(jié)

論.

【解答】（1）證明：：工夕二。。，

AB+BC=CD+BC,SPAC=BD,

AC=BD

在A4CE和AD8F中，\zA=ZD,

AE=DF

AACE=ADBF（SAS））.

（2）證明：;AACE三ADBF,

CE=BF,AACE=/DBF,

CE//BF,

四邊形BFCE是平行四邊形.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)熟練掌握平

行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵.

四.平行四邊形的判定與性質(zhì)（共3小題）

9.（2023春?鼓樓區(qū)期中）如圖，在平行四邊形48CD中，點(diǎn)￡,尸分別在邊NO,8c上,

添加選項(xiàng)中的條件后不能判定四邊形3EDE是平行四邊形的是（）

A.BE//DFB.BE=DFC.BF=DED.AE=CF

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，依據(jù)平行四邊形的判定方法，分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即

可.

【解答】解：N、?.?四邊形/8CL1是平行四邊形,

.-.AD!IBC,

???BE!IDF,

二.四邊形BEDE是平行四邊形，故選項(xiàng)/不符合題意；

8、?.?四邊形是平行四邊形，

二.AD//BC,

由3￡=。尸，不能判定四邊形3EDE是平行四邊形，故選項(xiàng)8符合題意；

C、?.?四邊形48CD是平行四邊形，

AD!IBC,

VBF=DE,

四邊形8EDE是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；

?四邊形是平行四邊形，

AD//BC,AD=BC,

■：AE=CF,

DE=BF,

，四邊形BEDE是平行四邊形，故選項(xiàng)。不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理熟記平行四邊形的判定方法是解決

問題的關(guān)鍵.

10.（2023春?江寧區(qū)校級月考）如圖，口4BCD中,￡下為對角線8。上的兩點(diǎn)，若添加一

個(gè)條件使四邊形4EW為平行四邊形，則可以是：_BE=DF

【分析】可補(bǔ)充條件=D尸，之后通過求解全等三角形得出四邊形的兩組對邊分別相等,

即可得出其為平行四邊形.此題答案不唯一.

［解答］解：可以是BE=DF.

理由：在平行四邊形/2CA中，則可得ZD//8C,且=

ZADB=ZCBD,

AADF=\CBE,

CE=AF,

同理可得/E=CF,

四邊形AECF是平行四邊形.

補(bǔ)充其他條件只要使四邊形/ECF是平行四邊形都可，答案并不唯一.

【點(diǎn)評】本題主要還是考查平行四邊形的判定，對此類問題，應(yīng)熟練掌握.

11.（2024春?蘇州期中）如圖，點(diǎn)￡為平行四邊形48co的邊ND上的一點(diǎn)，連接E8并延

長，使BF=BE,連接EC并延長，使CG=CE,連接尸G.〃為尸G的中點(diǎn)，連接。X,

AF.

（1）求證：四邊形/EHD為平行四邊形;

（2）連接47,交8c于點(diǎn)O,若OB=OE,FG=8,求。77的長度.

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得=,AD/IBC,再證3c是AEFG的中位線,

得BCI/FG,3C=’尸G,證出4D//FH,4D//F77,然后由平行四邊形的判定即可得出

2

結(jié)論；

（2）連接88、EH、CH,由三角形的中位線定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即

可.

【解答】(1)證明：?.?四邊形是平行四邊形,

AD=BC,AD/IBC,NBAE=ZBCD,

???BF=BE,CG=CE,

:.BC是御6的中位線，

BC//FG,BC=-FG,

2

?r”為尸G的中點(diǎn)，F(xiàn)H=-FG,

2

BC!IFH,BC=FH,

AD//FH,AD=FH,

二.四邊形AFHD是平行四邊形；

(2)解：連接8”,EH,CH,

???CE=CG,FH=HG,

CH=-EF,CH//EF,

2

VEB=BF=-EF,

2

BE=CH,

四邊形EBHC是平行四邊形,

OB=OC,OE=OH,

■：OB=OE,

OE=OH=OB=OC=-BC,

2

BC=-FG=BC=-x8=4,

22

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)等知識,

熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

五.菱形的性質(zhì)（共3小題）

12.（2024春?賈汪區(qū)期中）如圖，在菱形/BCE（中，BD=3,AC=2,則該菱形48CD的

面積是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)菱形的面積等于兩條對角線長乘積的一半，列式計(jì)算即可.

【解答】解：?.?四邊形是菱形，BD=3,AC=2,

該菱形/BCD的面積=3C-5O」X3X2=3,

22

故選：A.

【點(diǎn)評】此題考查了菱形的性質(zhì)，熟記“菱形的面積等于兩條對角線長乘積的一半”是解題

的關(guān)鍵.

13.(2024春?啟東市期中)已知菱形有一個(gè)銳角為60。，一條對角線長為4c機(jī)，則它的面積

為或座m2.

——3-

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由菱形有一個(gè)銳角為60。，可得A48。是等邊三角形，然

后分別從較短對角線長為4c加與較長對角線長為4cm,去分析求解即可求得答案.

【解答】解：ZBAD=60°,

?.?四邊形/2CA是菱形，

:.AB=AD,ACVBD,

AAB。是等邊三角形，

①BD=4cm,則OB=2cm>

AB=BD=4cm；

OA=4AB1-OB2=A/42-22=2拒(cm),

AC=20/=4m(cm),

2

'''S菱形ABCD=；AC-BD=8也(cm)：

②AC=4cm.

?.?四邊形NBC。是菱形，

/.AO=2cm,/BAO=30°,

AB=40+cos30。=~~~(cm),

4J3

BD=AB='■-(cm),

1oh

S菱形"CD=2AC'BD=亍(°加)；

綜上可得：其面積為或座

3

故答案為：或述.

3

A

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)并靈活運(yùn)

用.菱形的性質(zhì)：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的

兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對

稱軸，分別是兩條對角線所在直線.

14.如圖，在菱形ABCD中，對角線NC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)D作對角線AD的垂線交BA

的延長線于點(diǎn)￡.

(1)求證：四邊形NCDE是平行四邊形；

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定證明即可；

(2)利用平行四邊形的性質(zhì)及菱形的面積解答即可.

【解答】(I)證明：?.?四邊形是菱形，

AB//CD,AC1BD,

ZAOD=90°,

???BDIDE,

ZEDB=90°,

AAOD+AEDB=\m°,

:.AC//ED,

■：AB11CD,

二.四邊形ACDE是平行四邊形；

(2)解：?.?四邊形ZCDE是平行四邊形,

:.AC=DE=8,

BD=6,

，菱形A8CD的面積=L6X8=24.

2

【點(diǎn)評】此題考查菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)和判定問題，關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的判

定解答即可.

六.菱形的判定（共2小題）

15.（2023春?揚(yáng)州校級期中）嘉嘉自編一題“如圖，在四邊形42CA中，對角線NC,BD

交于點(diǎn)。，ACYBD,OB=OD.求證四邊形/5CD是菱形.”并將自己的證明過程與同

學(xué)淇淇交流.

證明：■：AC^BD,OB=OD,

.?.NC垂直平分AD,

AB=AD,CB=CD,

四邊形/BCA是菱形.

淇淇看完后認(rèn)為這個(gè)題目需要補(bǔ)充一個(gè)條件才能證明.下列正確的是（）

A.題目嚴(yán)謹(jǐn)，不用添加條件B.題目不嚴(yán)謹(jǐn)，可補(bǔ)充：OA=OB

C.題目不嚴(yán)謹(jǐn)，可補(bǔ)充：AD//BCD.題目不嚴(yán)謹(jǐn)，可補(bǔ)充：ABYBC

【分析】根據(jù)“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”進(jìn)行分析推理.

【解答】解：贊成嘉嘉的說法，補(bǔ)充條件：ADHBC,證明如下：

ACLBD,OB=OD,

.?.NC垂直平分2。，

AB=AD,CB=CD,

ZABD=ZADB,

AD//BC,

NADB=ZDBC,

ZABO=NCBO,

4OB=ZCOB=90°,BO=BO,

NABO=\CBO(ASA),

.-.AB=BC,

AB=AD=CD=BC,

二.四邊形N5CD是菱形.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練

掌握菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

16.（2023春?沐陽縣期末）如圖，在口48cZ）中，對角線/C所在直線上有兩點(diǎn)E、F,滿

足.AE=4C=CF,連接BE、BF、DE、DF.

（1）求證：四邊形BED尸是平行四邊形；

（2）若NEDC=90。，則當(dāng)/?？?30。時(shí),四邊形BED廠是菱形.

【分析】（1）連接8。，交所于點(diǎn)O,由平行四邊形的性質(zhì)得出。2=0。，OA=OC,證

出?！?。尸，由平行四邊形的判定可得出結(jié)論；

（2）證明44OC是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出4D=則四邊形N3CD是菱

形，由菱形的性質(zhì)證出03=。。，OE1BD,得出?！?班，由菱形的判定可得出結(jié)論.

【解答】（1）證明：連接AD,交跖于點(diǎn)。，

圖1

?.?四邊形是平行四邊形,

/.OB=OD,OA=OC,

又＜AE=CF,

AE+OA=CF+OC,

即OE=OF,

，四邊形5瓦用是平行四邊形；

（2）解：當(dāng)/?！?=30。時(shí)，四邊形尸是菱形.

?.-ZEDC=90°,EA=AC,

:.DA=AC,

???/DEA=30°,

ZDCE=60°,

/.AADC是等邊三角形，

z.AD=CD,

?/四邊形/BCD是平行四邊形，

四邊形4BCD是菱形，

/.OB=OD,OELBD,

ED=EB,

由（1）可知，四邊形8即尸是平行四邊形，

二.四邊形BED尸是菱形.

故答案為：30°.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性

質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

七.菱形的判定與性質(zhì)（共2小題）

17.（2023春?邳州市期中）如圖，由兩個(gè)長為8,寬為4的全等矩形疊合（不完全重合）而

得到四邊形NBC。，則四邊形N8CA面積的最大值是（）

A.15B.16C.19D.20

【分析】首先根據(jù)圖1,證明四邊形N8CD是菱形；然后判斷出菱形的一條對角線為矩形的

對角線時(shí)，四邊形/BCD的面積最大，如圖2,設(shè)N5=8C=x,則AE=8-x,利用勾股定

理求出x的值，即可求出四邊形N8CD面積的最大值是多少.

【解答】解：如圖I,作/E_L8c于￡,/尸_LCD于尸，

AD/IBC,ABIICD,

四邊形ABCD是平行四邊形,

?.?兩個(gè)矩形的寬都是4,

AE=AF=4,

S四邊網(wǎng)Be。=4E-BC=AF-CD,

BC=CD,

，平行四邊形/8C。是菱形.

如圖2,當(dāng)菱形的一條對角線為矩形的對角線時(shí)，四邊形N8CD的面積最大,

圖2

設(shè)AB=BC=x,貝!|3￡=8-x,

???BC2=BE2+CE2,

x2=(8-X)2+42,

解得x=5,

四邊形ABCD面積的最大值是:

5x4=20,

故選：D.

【點(diǎn)評】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，要

熟練掌握.

18.2024春?姑蘇區(qū)校級期中)如圖，AA8C中，,過/點(diǎn)作8c的平行線與//8C

的平分線交于點(diǎn)D,連接C7X

(1)求證：四邊形是菱形；

(2)連接/C與2。交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。EL3C交2C的延長線于E點(diǎn)，連接E。，若

EO=275,DC=5,求CE的長.

【分析】(1)由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得乙48。=N/D8,可得/8=4D=8C,

由菱形的判定可證四邊形ABCD是菱形；

(2)根據(jù)直角三角形斜邊中線可得3。=4逐，證明ASCOSASOE,利用相似比求出線段

CE即可.

【解答】(1)證明：?.?5。平分NNBC,

/ABD=ZDBC,

AD//BC,

AADB=ADBC,

NABD=ZADB

AB=AD,S.AB=BC,

AD=BC,nAD//BC,

四邊形/BCD是平行四邊形，且=

四邊形Z2CA是菱形；

(2)解：???BO=DO,DELBC,

:.OE=-BD=2y[5,

2

:.BD=4y/5,

ZBOC=ABED=90°,NCBO=NDBE,

NBCO^ABDE,

BCBOnn5275

----二----，即-f=—

BDBE4755+CE

解得：CE=3.

【點(diǎn)評】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等

知識，熟練運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

A.矩形的性質(zhì)（共2小題）

19.（2023春?鹽城月考）如圖，矩形/BCD的對角線/C,8。相交于點(diǎn)O,CE/IBD,

DE/IAC,若/。=12,則四邊形CODE的周長為（）

A.12B.18C.24D.30

【分析】由矩形的性質(zhì)可求。。=。。=6,通過證明四邊形。EC。是平行四邊形，可得

DO=CE=6,DE=CO=6,即可求解.

【解答】解：?.■四邊形/BCD是矩形，

：.AO=CO=BO=DO=-AC=6,

2

CE//BD,DEI/AC,

二.四邊形DECO是平行四邊形，

DO=CE=6,DE=CO=6,

四邊形CODE的周長=DO+CE+DE+CO=2.4,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握矩形的對角線相等是解題

的關(guān)鍵.

20.（2024春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖矩形48co的對角線NC和8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。的

直線分別交4D和8c于點(diǎn)E,F,AB=5,BC=8,則圖中陰影部分的面積為20.

AED

BFC

【分析】首先結(jié)合矩形的性質(zhì)證明A4OE二ACO9，得AAOE、ACO尸的面積相等，從而將

陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為的面積.

【解答】解：?.?四邊形/5CZ）是矩形，

/.OA=OC,/AEO=/CFO,

在\AOE和\COF中，

NAEO=/CFO

<ZAOE=ZCOF,

OA=OC

\AOE=\COF{AAS）,

一=S^cOF'

…S陰影=S^OE+S2OF+S^COD-S、cOF+\BOF+^COD~SMCD；

■.-S^CD=^BC-CD=20,

故'陰影=20.

故答案為：20.

【點(diǎn)評】此題主要考查了矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形全等,

從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為矩形面積的一半，是解決問題的關(guān)鍵.

九.矩形的判定（共2小題）

21.（2024春?蘇州期中）在二48c〃中，對角線NC、AD相交于點(diǎn)。，添加下列一個(gè)條件,

能使口/BCD成為矩形的是（）

A.AB=BCB.ZABC=ZADCC.AC=BDD.ACVBD

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：/、由/5=5C能判定口/BCD為菱形，故此選項(xiàng)不符合題意；

B、由NM?C=N/DC不能判定四邊形為矩形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、由NC=AD能判定口48co為菱形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、由/C_LAD,能判定口4BCO為菱形，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)評】此題主要考查了矩形的判定、菱形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的

判定和菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

22.（2024春?豐縣期中）如圖，在平行四邊形/BCD中，延長A4到點(diǎn)E,使4E=4B,

連接EC、ED、AC,請你添加一個(gè)條件AD=CE（答案不唯一）,使四邊形ZCDE

是矩形.

【分析】先證明四邊形NCDE為平行四邊形，再由矩形的判定即可得出結(jié)論.

【解答】解：添加4D=C￡,理由如下：

?.?四邊形/3CA是平行四邊形，

AB//CD,S.AB=CD

VAE=AB,

AE=CD,

四邊形NCDE為平行四邊形，

又：AD=CE,

平行四邊形ACDE是矩形.

故答案為：AD=CE（答案不唯一）.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定

是解題的關(guān)鍵.

一十.矩形的判定與性質(zhì)（共2小題）

23.（2023春?宜興市月考）如圖，點(diǎn)尸是RtAABC中斜邊/C（不與/,C重合）上一動(dòng)

點(diǎn)，分別作尸河，48于點(diǎn)作PNL2C于點(diǎn)N,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，若AB=3,

AC=5.當(dāng)點(diǎn)尸在/C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則80的最小值是（）

A

【分析】證四邊形BMW是矩形，得BP=MN,由點(diǎn)。是MN的中點(diǎn)，得BO’MN,

2

當(dāng)時(shí)，8P最小,然后由面積法求出8尸的最小值，即可解決問題.

【解答】解：連接OP,如圖所示：

???AABC=90°,尸“_1/8于點(diǎn)M，PN工BC于點(diǎn)、N,

BC=4,四邊形EWPN是矩形，

.-.BP=MN,8尸與ACV互相平分，

,點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

BO=-MN,

2

當(dāng)5P_L/C時(shí)，BP最小JBxBC=24,

AC

MN=2.4,

BO=-MN=12,

2

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理以及面積法等知識，熟

練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.(2023春?錫山區(qū)校級期中)如圖，在口48。中，NE_L5C于點(diǎn)E,延長8c至點(diǎn)尸，

使C尸=3E,連接。尸，4F與DE交于點(diǎn)O.

(1)求證：四邊形/EEC?為矩形；

(2)若48=3,OE=2,BF=5,求。尸的長.

【分析】（1）先證四邊形NEED為平行四邊形，再證乙4環(huán)=90。，即可得出結(jié)論；

（2）由矩形的性質(zhì)得。尸=NE,4F=DE=4,再由勾股定理的逆定理得A5/斤為直角三

角形，ZBAF=90°,然后由面積法求出/￡的長，即可得出答案.

【解答】（1）證明：：區(qū)S二?！?，

.-.BE+CE=CF+CE,

即BC=EF,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

AD/IBC,AD=BC,

AD=BC=EF,

又；AD//EF,

，四邊形NEED為平行四邊形，

?，?AE工BC,

ZAEF=90°,

平行四邊形NEED為矩形；

(2)解：由(1)知，四邊形為矩形,

DF=AE,AF=DE=2OE=4,

???AB=3,DE=4,BF=5,

AB2+AF2=BF2,

A5/斤為直角三角形，ABAF=90°,

5MBF=^ABXAF=^BFxAE,

ABxAF=BFxAE,

即3x4=54￡1,

AE=—,

5

,-.DF=AE=—.

5

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及

三角形面積等知識，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

一十一.正方形的性質(zhì)（共2小題）

25.（2024春?秦淮區(qū)期中）如圖，在正方形N8CD內(nèi)作等邊三角形4皮＞,連接BE,CE,

則NEBC的度數(shù)為（）

A.15°B.20°C.22.5°D.30°

【分析】如圖，求出/民4E=30。；證明/8=/E；求出N/8E,即可解決問題.

【解答】解：如圖，?.?四邊形為正方形，

AB=AD,ABAD=90°；

???AADE為等邊三角形，

AE=AD,ZEAD=60°；

AB=AE,ABAE=30°,

NABE=NAEB=⑻?！?。=75o,

2

.-.Z￡SC=90°-75°=15°,

故選：A.

【點(diǎn)評】該題主要考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題應(yīng)

牢固掌握正方形、等邊三角形等幾何知識點(diǎn)，并能靈活運(yùn)用.

26.（2023春?天寧區(qū)校級期中）如圖，在邊長為2的正方形48。中，點(diǎn)E、尸分別是邊

AB,8c的中點(diǎn)，連接EC,FD,點(diǎn)、G、X分別是EC,ED的中點(diǎn)，連接G〃，則GH

的長度為—.

—2—

［分析］連接CH并延長交4。于P,連接PE,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到NA=90°,ADHBC,

/8=4D=8C=2,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到尸。=CF=1,根據(jù)勾股定理和三角形的中

位線定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接C77■并延長交于尸，連接

?.,四邊形ABCD是正方形，

ZA=90°,AD/IBC,AB=AD=BC=2,

-：E,尸分別是邊45,2c的中點(diǎn)，

AE=CF=-x2=l,

2

ADIIBC,

ADPH=ZFCH,

???ZDHP=ZFHC,

DH=FH,

NPDH=ACFH（AAS）,

PD=CF=1,

AP=AD-PD=l,

PE=y/AP2+AE2=V2,

?.?點(diǎn)G,，分別是EC,ED的中點(diǎn)，

:.GH=-EP=—.

22

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的

性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).

一十二.正方形的判定（共2小題）

27.（2023春?宿城區(qū)期中）如圖，已知四邊形N5CZ）是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的

是（）

AD

A.當(dāng)48=8。時(shí)，它是菱形B.當(dāng)/C=AD時(shí)，它是正方形

C.當(dāng)N48C=90。時(shí)，它是矩形D.當(dāng)NC_L5D時(shí)，它是菱形

【分析】根據(jù)菱形、正方形、矩形的判定方法一一判斷即可.

【解答】解：A,正確.根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

B、錯(cuò)誤.對角線相等的四邊形是矩形，不一定是正方形.

C、正確.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.

。、正確.對角線垂直的平行四邊形是菱形.

故選：B.

【點(diǎn)評】此題主要考查學(xué)生對正方形的判定、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和矩形的判定

的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題.

28.（2024春?徐州期中）如圖，在A45c中，48=NC,點(diǎn)。是邊5c的中點(diǎn)，以4B、BD

為鄰邊作平行四邊形43DE,連接CE.

（1）求證：四邊形NOCE是矩形；

（2）要使四邊形2DCE是正方形，則A/1BC需要滿足的條件是4c=90。_.

【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明44OC=90。，再根據(jù)有一組對邊平行

且相等證明四邊形/DCE是平行四邊形，所以四邊形ADCE是矩形：

（2）當(dāng)A45C滿足/B/C=90。時(shí)，四邊形/DCE是一個(gè)正方形.

【解答】（1）證明：?.?在A48c中，=點(diǎn)。為邊3c的中點(diǎn)，

.-.BD=DC,ZADC=90°,

V四邊形ABDE是平行四邊形，

AE//BD且AE=BD,

AE//DC且4E=DC,

四邊形ADCE是平行四邊形,

又AADC=90°,

，四邊形ZOCE是矩形；

（2）解：當(dāng)AA5C滿足NA4C=90。時(shí)，四邊形/OCE是一個(gè)正方形；

理由是：VABAC=90°,AB=AC,

：.A48c是等腰直角三角形，

:.ZACD=45°,

ZADC=90