2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)文檔 學(xué)生用書 第5章

第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

?最新考綱?

1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義，理解向量的幾

何表示.

2.掌握向量加、減法運(yùn)算.理解其幾何意義.

3.掌握向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義,理解兩個(gè)向量共線的含義，了解向量線性運(yùn)算的

性質(zhì)及其幾何意義.

?考向預(yù)測?

考情分析：平面向量的相關(guān)概念，平面向量的線性運(yùn)算，共線向量定理及其應(yīng)用仍是高

考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題與填空題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過向量的線性運(yùn)算考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及直觀想象的核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)嬴得良好開端

一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)

I.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有______________又有一______的量：向量

向量平面向量是自由向量

的大小叫做向量的—_(或________)

零向量長度為一________的向量；其方向是任意的記作_________

單位向量長度等于________的向量

非零向量。的單位向量為土

平行向量方向一_________或_____一的非零向量

0與任一向量_________或共線

共線向量___________的向量又叫做共線向量

和箋向告___________________

W寺l°J里僅皮一------------------

相反向量長度一.且方向一_的向量0的相反向量為0

2.向量的表示方法

(1)字母表示法：如。，贏等.

(2)幾何表示法：用一條表示向量.

3.向量的線性運(yùn)算

向量

定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

運(yùn)算

(1)交換律：

卻、a+b=_______.

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(2)結(jié)合律:

______________法則

(a+A)+c=

^7

____________法則

求。與b的相反向量一b

減法的和的運(yùn)算叫做。與力a—A=a+（一力）

的差____________法則

⑴|訓(xùn)=_______.如。）=

（2）當(dāng)Q>0時(shí),癡與a?

求實(shí)數(shù)2與向豉。的積的方向________：當(dāng)2a+〃）a=

數(shù)乘

的運(yùn)算V0時(shí)，〃與a的方向

________；當(dāng)i=0時(shí)，久（。+方）=

/.a=________

4.共線向量定理

向量與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使

二、必明2個(gè)常用結(jié)論

1.三點(diǎn)共線的等價(jià)轉(zhuǎn)化

。戶=（1一。

4,P,B三點(diǎn)共線oA>=^AB（AW0）=次+rOB（o

為平面內(nèi)異于A,P,8的任一點(diǎn)，WR）oOP=XOA+y祠（0為平面內(nèi)異于A,

P,8的任一點(diǎn)，x€R,y￡R,*+），=1）.

2.向量的中線公式

—.kQA+OB

若尸為線段A3的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)一點(diǎn)，則0P=2）.

三、必練4類基礎(chǔ)題

（一）判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”）.

（1）向量就是有向線段.（）

（2）零向量沒有方向.（）

（3）若向量。與向量力平行，則。與。的方向相同或相反.（）

（4）兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同.（）

⑸若向量標(biāo)叮向量E是共線向量，則點(diǎn)A,8,C,。必在同一條直線上.（）

（二）教材改編

2.

［必修4?P86例4改編］如圖，QABCD的對(duì)角線交于M,若贏=a,AU=b,用a.

b表示而為（）

A.z+lbB.

C.—2a~2bD.—%+2b

3.［必修4^87練習(xí)T2改編］化簡：

（1）（+BO+OM=；

（2）NQ+^*+M?-W=.

（三）易錯(cuò)易混

4.（對(duì)向量相等隱分條件認(rèn)出不清）若四邊形A8C。滿足AB.7BCIELI福二

IDC|,則四邊形ABCD的形狀是.

5.（西向量的方向關(guān)系不清）已知|。|=2,網(wǎng)=5,則|。+切的取值范圍是.

（四）走進(jìn)高考

6.［2020?海南卷］若。為AABC的邊A8的中點(diǎn)，則刊=（）

A.2CD-CAB.2CA-CD

C.2E+以D.2出十而

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一平面向量的基本概念［基礎(chǔ)性］

1.設(shè)。是非零向量，幺是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）

A.。與一〃的方向相反

B.|一訓(xùn)云⑷

C.。與萬。的方向相同

D.|一卻=加

2.給出下列命題：

①零向量是唯一沒有方向的向量：②零向量的長度等于0：③若。，力都為非零向量，

則使|B,+S=0成立的條件是a與b反向共線.

其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

3.給出下列命題：

①若。與b共線，力與c共線，則。與c也共線：

②若A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，則AB=DC,則四邊形ABC。為平行四邊

形；

③。的充要條件是|。|=|例且a//b-.

④己知九〃為實(shí)數(shù)，若癡=〃6則。與〃共線.其中真命題的序號(hào)是.

反思感悟向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)

(1)平行向量就是共線向量，二者是等價(jià)的：非零向量的平行具有傳遞性；相等向量一

定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有傳遞性.

(2)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以

比較大小.

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象

的平移混為一談.

??

(4)非零向量。與工的關(guān)系：口是與。同方向的單位向量.

考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算［綜合性］

角度1平面向量的加、成運(yùn)算的幾何意義

［例1］設(shè)非零向量。，力滿足|。+方|=心一外貝女)

A.aLbB.\a\=\b\

C.a//bD.\a\>\b\

聽課筆記：

角度2向量的線性運(yùn)算

［例2］(1)［2022?重慶診斷］如圖，AB是圓。的一條直徑，C,。為半圓弧的兩個(gè)三等分

點(diǎn)，則團(tuán)=()

A.AC—ABB.2AC—2AU

C.AD-ACD.2AI-2AC

(2)［2022?北京海淀區(qū)模擬|如圖，在等腰梯形ABC。中，DC=BC=CD=DA,

。及LAC于點(diǎn)E,則或等于()

9+海

A.B.

海一/W+;菽

C.24D.24

聽課筆記：

角度3利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)

_、L阮

[例3](1)[2022?廣東韶關(guān)一模]在△ABC中，點(diǎn)用為4c上的點(diǎn)，且AM=1

若就+〃BC,則廣〃的值是()

A.1B.C.D.

AB=2五，點(diǎn)E是線段

(2)[2022?河南八市聯(lián)考改編]在等腰梯形ABCD中,

前的中點(diǎn)，若AE=AAB+/ZAE,則見+〃=

聽課筆記；

反思感悟平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略

(1)向量加法或減法的幾何意義.向量加法和減法均適合三角形法則.

(2)求已知向量的和或差.共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；

求首尾相連向量的和用三角彩法則.

(3)求參數(shù)問題可以通過研究向量間的關(guān)系，通過向量的運(yùn)算將向量表才出來，與含參

數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行比較，求出參數(shù)的值.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.[2022?河北衡水中學(xué)月考]設(shè)。為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且祝=3則

)

標(biāo)一河+3

A.

正拂一次

B.

AE=河+3

C.

D.AB=

2.在△48C中，。為線段4B上一點(diǎn)且8O=3A。，若a=4福+"CT,

則,=()

11

A.3B.3C..D.4

考點(diǎn)三共線定理及其應(yīng)用［應(yīng)用性］

［例4］設(shè)兩個(gè)非零向量a和力不共線.

(1)若Al=°+b,BC=2a+8),CD=3(a—6).求證：A,B,。三點(diǎn)共線:

(2)試確定實(shí)數(shù)上使履+〃和a+M共線.

聽課筆記：

一題多變

1.(變條件，變問題)若將例4(1)中“配=20+88”改為“

當(dāng)用為何值時(shí)，A，B,。三點(diǎn)共線？

2.(變條件)若將例4(2)中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？

反思感悟共線向量定理的應(yīng)用

(1)證明向量共線：對(duì)于向量a,h,若存在實(shí)數(shù)2,使。=仍(8工0),則。與力共線.

(2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)九使得AB=xAC,則A,B,。三點(diǎn)共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

［提醒］證明三點(diǎn)共線時(shí)，要說明共度的兩向量有公共點(diǎn).

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.在四邊形八8CZ）中，M=a+2b,K=-4a-b,CD=-5。-3b,則

四邊形ABC。的形狀是()

A.矩形B.平行四邊形

C.梯形D.以上都不對(duì)

2.［2022.天水市中學(xué)高三月考J已知兩個(gè)非零向量口，〃互相垂直，若向量5=4〃+5。,

〃=%+弱共線，則實(shí)數(shù)2的值為()

A.5B.3C.'D.2

3.［2021?浙江高三期末］設(shè)ei，e2是不共線的向量，若贏=0+融2，E=ei+

CD=3ei-2e2,A,B,。三點(diǎn)共線，則入的值為

微專題21新定義下平面向量的交匯運(yùn)算交匯創(chuàng)新

［例］定義兩個(gè)平面向量的?種運(yùn)算不力=|a|W|sin(a,b)則關(guān)于平面向量上述運(yùn)算

的以下結(jié)論中，

①)mb=b￡a；

②^(a?Z>)=(/.a)?Z>：

③若a=2"則a-'b=0；

④若力且％>0,則(Q+8)?c=(a6c)+(Z?").正確的序號(hào)是.

解析：①恒成立；②加功)=2⑷WsinQ,b)t(2a)<M=M?網(wǎng)sin(a,b),當(dāng)2<0

時(shí)，紀(jì))=(2a)M不成立；③^二動(dòng)，則sin(a,b)=0,故足仍=0恒成立：④。=%，

且40,則a+力=(1+2)6,(a+))?c=|(l+2)|網(wǎng),|c|sin(b,c),(a?c)+(^?c)=|Zft|-|c|sin(ht

c)+-Hc|sin(b,c)=|1+A||Z>|-|c|sin(b,c),故3+b)?c=S?c)+(b?c)恒成立.

答案：①③④

名師點(diǎn)評(píng)本例是新定義下平面向量的運(yùn)算，解答本題關(guān)鍵是把此定義運(yùn)算轉(zhuǎn)化為我們

所學(xué)的平面向量數(shù)量積運(yùn)算，命題便可判斷.

［變式訓(xùn)練］

定義平面向量的一種運(yùn)算aOb=|a+力|X|G—"Xsin(a,b),其中〈a,b)是,a與b

的夾角,給出下列命題：

①若(a,b}=90A,則a(bb=u2-\-b2x

②若|。|=|b|,則(a+〃)。(a—。)=4A仍：

③若聞=網(wǎng),則加)bW21al2：

其中真命題的序號(hào)是.

第五章平面向量

第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

積累必備知識(shí)

I.大小方向模長度零01個(gè)單位長度相同相反方向相同或相反平

行相等相同相等相反

2.⑵有向線段

3.三角形平行四邊形b+aa+(8+c)三角形因⑷相同相反0>.pa).a

4.h=).a

zs、

1.答案：⑴x(2)X(3)X(4)V(5)X

—4-BBi(AD-AB---

2.解析：Ml==)=2(b—a)=—1+2b.

答案：D

3.解析：(I)原式=AB+B0+0M+M3=AB.

(2)原式=i?+麗=D.

答案：⑴AB(2)0

4.解析：當(dāng)|而|=|前|時(shí)，四邊形ABCQ是平行匹邊形；當(dāng)|而BC|

時(shí)，四邊形A8CO是等腰梯形.

答案：等腰梯形或平行四邊形

5.解析：當(dāng)。與6方向用同時(shí)，|。+回=7：當(dāng)。與方方向相反時(shí)，|0+"=3；當(dāng)a與

力不共線時(shí)，3<|a+〃|<7.所以|a+〃|的取值范圍為[3,7].

答案：[3,7]

6.解析：為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，.I而=1),；.百=

2CD—0.故選A.

答案：A

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

1.解析：當(dāng)AVO時(shí)，。與一癡的方向相同，所以選項(xiàng)A揩誤；當(dāng)HIVI時(shí)，選項(xiàng)B不

成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?是非零實(shí)數(shù)，所以Nao,因此。與爐。的方向相同，所以

選項(xiàng)C正確；又因?yàn)閨一加|是一個(gè)實(shí)數(shù)，是一個(gè)向量，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

答案：C

2.解析：①錯(cuò)誤，零向量是有方向的，其方向是任意的；②正確，由零向量的定義可

知，零向量的長度為0；③正確，因?yàn)槿张c國都是單位向量，所以只有當(dāng)日與

陽是相反向量，即。與。反向共線時(shí)才成立.

答案：B

3.解析：①錯(cuò)誤，若6=0,則。與c不一定共線.②正確，因?yàn)锳B=DC,

所以I期=|四且AB//DC；又A,B,C,。是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形

ABCD為平行四邊形.③錯(cuò)誤，當(dāng)。〃力且方向相反時(shí)，即使|。|=|例，也不能得到。=力，所

以⑷=|加且。〃力不是。=6的充要條件，而是必要不充分條件.④錯(cuò)誤，當(dāng)2="=0時(shí)，a

與力可以為任意向量，滿足獨(dú)=〃仇但。與沙不一定共線.故填②.

答案：②

考點(diǎn)二

例1解析：方法一利用向量加法的平行四邊形法則.在山188中，設(shè)AE=a,

箴=瓦

由|a+b|=|af知，|幽=|叫

從而四邊形A3CO為矩形，即AB_L4。，故a_L。

方法二???|a+b|=M—6|,

|a+/>|2=|a-/>|2.

^a1-\-b1-\-2ab=a1-\-b2—lab.

??a,b=0.a.Lb.

答案：A

例2解析：（1）連接C。，YC,。是半圓瓠的兩個(gè)三等分點(diǎn),

???。。〃/18且48=28

AB-2贏.故選D.

AB=20)=2(AD-A()=2

(2)VCD=DA,DE±AC,

點(diǎn)E為4c的中點(diǎn)，

:充十而

2)+產(chǎn)

DC-iAC

答案：⑴D(2)A

加閃所以

例3解析：⑴由AM=2,得

——就十湎BA+1^C-RA|BA+|BC

BA+AN=333,又因?yàn)?/p>

記+〃所以/=3

BC,〃=",故2—〃=’.故選C.

⑵取AB的中點(diǎn)F,連接CF,則由題意可得CE〃AD,且CE=AD因?yàn)镸=

ABBi贏+河:同一同AB+1(AB-^

+=AB2)=

,〃=,則4+〃=

答案：(1)C⑵

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

——一AC+^BCAC+^AC-rAB

3

1.解析：由題意得AB=AC+CD=

^AB+?A(

33，故選A項(xiàng).

答案：A

麗=而號(hào)記

2.解析：方法一依題意得：m+

E+妒心的河：：

)—，r/\kAX—?〃一,雙彳=3,

故選B.

方法二以CD為對(duì)角線作平行四邊形CFDE,根據(jù)BD=3AD,可知CD=

層出加河…h(huán)J,故

?=3,故選B.

答案：B

考點(diǎn)三

解析：⑴證明：因?yàn)檩?。+仇

例4BC=2a+8b,CD=3（a—。），所以

52=BC+CD=2°+88+3（。一白）=5（。+8）=5AE,所以AB,B力共

線.又凝與前行公關(guān)點(diǎn)從所以4,B,。三點(diǎn)共線.

（2）因?yàn)槁氖脚c。+幼夫線，所以存在實(shí)數(shù)2,使履+6=2（“+@），即（2一力”=（獨(dú)一

[k—A=O.

lAk-l=O.

1）4又用b是兩個(gè)不共線的非零向量，所以所以&2—1=0,即*=±1.故

當(dāng)k=±l時(shí)，兩向量共線.

一題多變

1.解析：BD=BC+CD=（a+〃而）+3（。一力）=4a+（/〃一3）6,若4,B,。三點(diǎn)

{4=工

共線，則存在實(shí)數(shù)九使52=A標(biāo)，即4a+（小-3）力=〃。+匹所以"」…

解得〃?=7.故當(dāng)〃?=7時(shí)，A,B,。三點(diǎn)共線.

2.解析：因?yàn)槁?/＞與。+協(xié)反向共線，所以存在實(shí)數(shù)2,使履+力=2（。+協(xié)）（IVO）,

1=1.

所以所以&=±].又因?yàn)?VO,&=晨所以&=-1.故當(dāng)女=一1時(shí)，兩向量反

向共線.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：由已知得,AD=AB+BC+CD=a+2b—4?！?—5。—3。=—8?！?8

=2（—4〃一6）=2BC,故AE//前.又因?yàn)闃?biāo)與國不平行，所以四邊形

A8CO是梯形.故選C.

答案：C

2.解析：因?yàn)槊鳌肥欠橇阆蛄?，且互相垂直，所?"=必+5）#0,

因?yàn)椤╥,〃共線，所以當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)〃，使〃="雁，即2?+勸=〃(40+5)),

=0

=0

所以(2—4"〃=(5"—2地，又因?yàn)閍,力不共線，所以=>4=

答案：C

3.解析：因?yàn)閑i,e2是不共線的向量，所以的，。2可以作為平面內(nèi)一組基底，因?yàn)锳B

=ei+%e2,CB=ei+e?,CD=3ei—2e2,所以DH=CB—CD=(ei+c2)—(3ei

-2e2)=-2ei+3e2,因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線，所以標(biāo)〃麗，所以-22=1X3,解

得7=一

答案：一2

微專題Q新定義下平面向量的交匯運(yùn)算

變式訓(xùn)練

解析：①中，因?yàn)椤?。，b>=90°,則。。方=|a+"X|a一例=02+小，所以①成立；

②中，因?yàn)棰?網(wǎng)，所以(3+協(xié)，3—力)>=90°,所以(a+b)03—協(xié)=|2a|X12bl=4⑷步

所以②不成立；③中,因?yàn)棰?|力所以a('>=M+b|X|a—"Xsin<a,b>成一

3W2=2|a|\所以③成立.

答案：??

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

?最新考綱?

1.了解平面向量的基本定理及其意義.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向皇的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.

4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

?考向預(yù)測?

考情分析：平面向量基本定理及其應(yīng)用，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量共線的坐標(biāo)表示及

其應(yīng)用仍是高考考查的熱點(diǎn)，題型仍將是選擇題與填空題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過平面向量基本定理的應(yīng)用考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)嬴得良好開端

一、必記4個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.平面向量的基本定理

如果以,的是同一平面內(nèi)II勺兩個(gè)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量。,

有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)九，A2,使。=.

2.平面向量的坐標(biāo)表示

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與的兩個(gè)單位向量i,j作為基底，對(duì)任一個(gè)向量m

有唯對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得：a=xi+W，叫做向量。的直角坐標(biāo)，記作。=(x,y),

顯然j=>j=,0=.

3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)。=(汨，yi),b=(X2<2)，則a+b=?a-h=,).a=.

(2)設(shè)A(xi，yi),B(xi，yi),則AB=,|他=.

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)。=(*i，8)，b={xi，j2)?其中。工0,則?！馫WR)=.

二、必明2個(gè)常用結(jié)論

1.向量共線的充要條件的兩種形式

(V)a//b^b=Aa(a^O,ACR)；

(2)a//?=0(其中a=Cr?,yi),5=(x2，J2)).

2.已知△ABC的頂點(diǎn)A：xi，)，i),8(七，》)，。(月，第)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為

?t也i也i

三、必練4類基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“「或"X”).

(1)在△45C中，*嬴a可以作為基底.()

(2)在△AB。中，設(shè)網(wǎng)=小BC=8，則向量a與白的夾角為NA8C.()

(3)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后，其坐標(biāo)不變.()

(4)若4,力不共線,且九。+川力=癡+〃2旦則為=22,且川=42.()

y?

⑸若。=(片，yi)>b=(X2<)力則。〃力的充要條件可以表示成4)

(二)教材改編

2.［必修4-P刈習(xí)題Ts改匐已知向量。=(4,2),b=(x,3).日.a〃4則x的侑杲()

A.-6B.6

C.9D.12

3.［必修4PI(M練習(xí)T6改編］設(shè)尸是線段P/2上的一點(diǎn),若丹(1,3),尸2(4,0)且尸是

線段P.P2的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)Pl)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

A.(2,2)B.(3,-I)

C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1)

(三)易錯(cuò)易混

4.(忽視其線的兩種情況)已知點(diǎn)4(一1,3),BQ,-1),則與向量嬴共線的單位

向量是.

5.(向量其乞的坐標(biāo)公式拿捏不豐)已知點(diǎn)8(4,2)和向量Q=(2"),若。〃AB,

則實(shí)數(shù)久=：若。=〃AB,則〃=.

(四)走進(jìn)高考

6.［全國卷I］在△ABC中，A。為3C邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則就=()

：同一涵海一涵

A.*4B.*4

C.??D.??

提升關(guān)鍵能力一考點(diǎn)突破掌握類題通法

考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用［基礎(chǔ)性］

［例1］

(1)［2022?天水市高三月考］如圖所示，在△A8C中，3=3國，贏=2標(biāo),

若M=a,AC=A，則0=()

(2)［2022?甘肅蘭州高三月考］如圖，在△A3C中,,P是線段3。上一

tAB+jAC

點(diǎn)，若M=m6,則實(shí)數(shù)/〃的值為()

1a

A.3B.3C.2D.

聽課筆記：

反思感悟平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路

(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向

量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.

(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件

和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［2022?福州市質(zhì)量檢測］在AABC中，E為4B邊的中點(diǎn)，。為AC邊上的點(diǎn)，HD,

T?+兩三

CE交于點(diǎn)R若Ai=丁丁，則叫的值為()

A.2B.3

C.4D.5

2.已知在△ABC中，點(diǎn)。滿足OA+OB+OC=o,點(diǎn)尸是OC上異于端點(diǎn)的任意

而，則〃?+〃的取值范圍是

一點(diǎn)，且OP=mQA+”

考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)黨［基礎(chǔ)性］

標(biāo)=(1,一1),C(0,1),若0)=2AB,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

1.已知

A.(―2?3)B.(2,-3)

C.(-2,1)D.(2,-1)

2.已知。=(5,-2),力=(—4,—3),若a—2/>+3c=0,則c的坐標(biāo)為()

㈠，Y)

C.舁3D.

3.已知平行四邊形48。)中，AB=(3,7),AB=(—2,3),時(shí)角線AC與8。

交于點(diǎn)0,則面的坐標(biāo)為()

A.(一”)B.G，5)

C.G，T)D(V，-5)

反思感悟求解向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路

(1)向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)

了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，通過建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)

化為數(shù)量運(yùn)算.

(2)巧借方程思想求坐標(biāo)；向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，

若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過程中要注意方程思想的運(yùn)用.

(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)：利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和

被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù).

考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示［綜合性］

角度1利用向量共線求句量或點(diǎn)的坐標(biāo)

［例2］已知梯形A8CO中，其中A8〃CO,且OC=2AB,三個(gè)頂點(diǎn)A(l,2),8(2,1),

C(4,2),則。點(diǎn)坐標(biāo)為.

聽課筆記：

反思感悟利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo),一般地.在求與一個(gè)已知向量。共線的

向量時(shí)，可設(shè)所求向量為&J(2￡R),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于2的方程，求出入的值后代

入及，即可得到所求向量.

角度2利用向量共線求參數(shù)

［例3］(1)［2022?海南昌茂高三月考］已知向量。=(x+2,3),—),且?！╞,則x

的值是()

A.B.0

C.2D.I

(2)已知向量<?=(A⑵,01=(4.5),0C=(—鼠10),且A、8、。三

點(diǎn)共線，則攵=

聽課筆記：

反思感悟平面向量共線的坐標(biāo)表示問題的解題策略

(1)利用兩向量共線求參奴.如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“若a

=(X|,VI),b=(X2,J2),則。〃力的充要條件是XlY2=X2M”解題比較方便.

(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標(biāo).一般地，在求與一個(gè)已知向量。共線的向量時(shí)，

可設(shè)所求向量為癡a^R),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于％的方程，求出入的值后代入癡即

可得到所求的向量.

(3)三點(diǎn)共線問題.A,B,C三點(diǎn)共線等價(jià)于標(biāo)與菽共線.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［2022?云南昆明市一中月考］在△ABC中，已知AB=(2,8),菽=(-3,2),

若SS=MC,則詞的坐標(biāo)為

-b)

2.［2022?廣東廣州高三月考］已知向量m=(2,—3),〃=，若，〃〃〃,

則〃的值為

微專題22巧借坐標(biāo)系——提升運(yùn)和能力思想方法

［例］如圖，在邊K為4的正方形A6CD中，動(dòng)圓Q的半徑為1,圓心。在線段6c(含

端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)向量A>=/〃AB+〃AEQ〃，"為實(shí)

數(shù))，則/〃+〃的取值范圍是()

”"串B

A.D.

C.D.

解析：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則A1=(4,0),AE=(O,4),AB

VnAB=(4m,4”)，設(shè)Q(4,r),00,4],則P在圓(*-4)2+。，一加=1上，設(shè)尸(4+

4+cos6=4m.

,t+sinB=4n.R佃十;

\",當(dāng)，=0,

cos0,r+sin6),則4〃1+4〃=4+r+V2sin

空蟲-坦

'時(shí),〃?+〃取得最小值1—?，當(dāng)t=4,0="時(shí)/〃+〃取得最大值2+

T2+串

所以〃?+〃的取值范圍是

答案：A

名師點(diǎn)評(píng)巧建系妙解題，常見的建系方法

(1)利用圖形中現(xiàn)成的垂直關(guān)系

若圖形中有明顯互相垂直且相交于一點(diǎn)的兩條直線(如矩形、直角梯形等)，可以利用這

兩條直線建立坐標(biāo)系；

(2)利用圖形中的對(duì)稱關(guān)系

圖形中雖沒有明顯互相垂直交于一點(diǎn)的兩條直線，但有一定對(duì)稱關(guān)系(如等腰三角形，

等腰梯形等)，可利用自身對(duì)稱性建系.建立平面直角坐標(biāo)系的基本原則是盡可能地使頂點(diǎn)

在坐標(biāo)軸上，或在同一象限.

【變式訓(xùn)練I

給定兩個(gè)長度為1的平面向量福利而，它們的夾角為*.如圖所示，點(diǎn)。

在以。為圓心的豌上運(yùn)動(dòng).若0C=x福+),麗，其中x,yWR,問x+y

是否存在最大值？若不存在，說明理由：若存在，則求出最大直.

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

積累必備知識(shí)

1.不共線AICI+AICI

2.x軸、J，軸正方向相同(x,j)(1,0)(0,1)(0,0)

3.(X]4-X2,川+力)(X1—Xi,Ji—J2)Uri，孫1)(X2—Xi,y2~j'i)

j5一松+仇一

4.X1J2-x^yi=0

、

1.答案：⑴J(2)X(3)7(4)7(5)X

2.解析：因?yàn)閍〃乩所以4X3—2x=0,所以x=6.

答案：B

PiP1尸2.尸1尸2

3.解析：由已知得，1=3=(3,-3).設(shè)P(x,)，)，則(x

-1,y-3)=(l,-1),所以*=2,y=2,點(diǎn)尸(2,2).

答案：A

4.解析：嬴=(3,-4),|期=J3、+1―41=5,所以與AB共線的

單位向量是7(43

答案:e，a(4》

5.解析：由題意得標(biāo)=(3,1),因?yàn)椤！ˋB,所以"一2=0,解得2=

由AB,得(2,川=(3小〃)，所以(卜=入，故〃=

22

答案：*

6.解析：

作出示意圖如圖所示.

—4—>—^AD+-CT

ED+DB=22

^x1^B+ACkAB-AC

21)+z)

|AB-JAC

故選A.

答案：A

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

例【解析：⑴因?yàn)榘?3國*標(biāo)=2AI

—kcA+CT\\國\i（AB-AC

所以CE=2）=-7+23=-7+）

⑵設(shè)B?=;BD,

迎所以氤=

因?yàn)锳D=

則At=AB+B?=AB+幺BO=1AB+/（BA+AD）=（i—

AC,

AB+^AC

又因?yàn)锳F=/〃$,所以

答案：⑴B(2)A

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：方法一如圖,設(shè)AC=iAD,所以A>=

,A,I4Ad2+工竺

7?，因?yàn)镕,B,。三點(diǎn)共線，所以77=1,解得，=4,故M=4.故

選C.

方法二設(shè)證=4而.AD="AC,則正=2(AD—AE)=—

2菽+川戢，所以AF=AB+B!=（I—2）AB+辦AC.

1-入制2〃

解得片；故:=4.

正=海十國

又7,，所以

答案：C

2.解析：依題意，設(shè)0^=2OC（0<2<i）,由QA+OB+OC=o,知OC

QA+OB）,

所以0P=-；Ofi-A0員由平面向量基本定理可知，/〃+〃=—2］，所以

+”任(一2,0).

答案：(一2,0)

考點(diǎn)二

S=(.,y-I),2AB=(2,-2),根據(jù)

1.解析：設(shè)D(x,y),則Y0)=2

得(x,y-1)=(2,-2),

答案：D

2.解析：設(shè)，=。，y).因?yàn)椤?2力+3c=0,所以(5,-2)-2(-4,—3)+3(x,》)=(0,

'13

fl3+3x=O.—守

l4+3y=0>y=—

0),即(5+8+3x,-2+6+3y)=(0,0)所以解得、3所以。

(W,

答案：D

—?一__IAC

3.解析：因?yàn)锳C=同+疑=(一2,3)+(3,7)=(1,10),所以0C=2

G目所以瓦㈠一)故選D項(xiàng).

答案：D

考點(diǎn)三

例2解析：?.?在梯形ABCQ中，OC=2A8

AB//CD,：.DC=2AB,

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(x,y),

則DC=(4—X,2~y),M