2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)17向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算含解析新人教B版必修4

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(十七)向量共線的條件與軸上向量坐標(biāo)運(yùn)算(建議用時(shí)：60分鐘)[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是－4，－1，則AB與|eq\o(AB,\s\up8(→))|分別是()A．－3,3 B．3,3C．3，－3 D．－6,6B[AB＝－1－(－4)＝3，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝3.]2．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝7a－2b，則肯定共線的三點(diǎn)是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，DA[eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2eq\o(AB,\s\up8(→))，所以A，B，D三點(diǎn)共線．]3．設(shè)a，b為不共線向量，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝－4a－b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝－5a－2b，則下列關(guān)系式中正確的是()A.eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→)) B.eq\o(AD,\s\up8(→))＝2eq\o(BC,\s\up8(→))C.eq\o(AD,\s\up8(→))＝－eq\o(BC,\s\up8(→)) D.eq\o(AD,\s\up8(→))＝－2eq\o(BC,\s\up8(→))B[eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq\o(BC,\s\up8(→)).]4．設(shè)a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋kb，eq\o(AC,\s\up8(→))＝ma＋b(k，m∈R)，則當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，有()A．k＝m B．km－1＝0C．km＋1＝0 D．k＋m＝0B[∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝neq\o(AC,\s\up8(→))，∴a＋kb＝mna＋nb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mn＝1，,k＝n，))∴mk－1＝0.]5．已知向量e1，e2不共線，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a與b共線，則k等于()A．±1 B．1C．－1 D．0A[∵a與b共線，∴a＝λb.即ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,kλ＝1，))解得k＝±1.]二、填空題6．已知A，B，C三點(diǎn)在數(shù)軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為3，AB＝5，AC＝2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________．0[設(shè)A，C的坐標(biāo)分別為xA，xC，則AB＝3－xA＝5，∴xA＝－2，又AC＝xC－xA＝xC－(－2)＝2，∴xC＝0.]7．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________.eq\f(1,2)[∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝2t，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(1,2)，,t＝\f(1,2).))]8．若eq\o(AB,\s\up8(→))＝3a，eq\o(CD,\s\up8(→))＝－5a，且|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|，則四邊形ABCD的形態(tài)是________．等腰梯形[∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝3a，eq\o(CD,\s\up8(→))＝－5a，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝－eq\f(3,5)eq\o(CD,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|≠|(zhì)eq\o(CD,\s\up8(→))|，∴四邊形ABCD為梯形．又∵|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝|eq\o(BC,\s\up8(→))|，∴四邊形ABCD為等腰梯形．]三、解答題9．已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為x1，x2，依據(jù)下列題中的已知條件，求點(diǎn)A的坐標(biāo)x1.(1)x2＝－5，BA＝－3；(2)x2＝－1，|AB|＝2.[解](1)BA＝x1－(－5)＝－3，所以x1＝－8.(2)|AB|＝|－1－x1|＝2，所以x1＝1或x1＝－3.10．已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共線，向量c＝2e1－9e2，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ使向量d＝λa＋μb與c共線？[解]假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)λ，μ使得d＝λa＋μb與c共線，∴d＝λa＋μb＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2.要使d與c共線，則有實(shí)數(shù)k，使得d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))所以λ＝－2μ.故存在這樣的λ，μ，使d與c共線．[等級(jí)過關(guān)練]1．設(shè)e1，e2是不共線向量，若向量a＝3e1＋5e2與向量b＝me1－3e2共線，則m的值等于()A．－eq\f(9,5) B．－eq\f(5,3)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(5,9)A[∵a∥b，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，即me1－3e2＝λ(3e1＋5e2)，∵e1，e2是不共線向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3λ，,－3＝5λ，))解得m＝－eq\f(9,5).]2．已知向量a，b，c中隨意兩個(gè)都不共線，但a＋b與c共線，且b＋c與a共線，則向量a＋b＋c＝()A．a(chǎn) B．bC．c D．0D[∵a＋b與c共線，b＋c與a共線，∴a＋b＝λc，b＋c＝μa，兩式相減得a－c＝λc－μa，移項(xiàng)得(1＋λ)c＝(1＋μ)a.∵向量a，c不共線，∴只有1＋λ＝0,1＋μ＝0.即λ＝－1，μ＝－1.也就是a＋b＝－c，即a＋b＋c＝0.]3．在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且eq\o(BC,\s\up8(→))＝3eq\o(DC,\s\up8(→))，點(diǎn)O在線段DC上(與點(diǎn)C，D不重合)，若eq\o(AO,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up8(→))，則x的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))[∵eq\o(AO,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋(1－x)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AO,\s\up8(→))＝x(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→)))＋eq\o(AC,\s\up8(→))，即eq\o(AO,\s\up8(→))－eq\o(AC,\s\up8(→))＝xeq\o(CB,\s\up8(→))，∴eq\o(CO,\s\up8(→))＝xeq\o(CB,\s\up8(→))，∴x＝eq\f(|\o(CO,\s\up8(→))|,|\o(CB,\s\up8(→))|).又eq\o(BC,\s\up8(→))＝3eq\o(DC,\s\up8(→))，∴0<x<eq\f(|\o(DC,\s\up8(→))|,|\o(BC,\s\up8(→))|)＝eq\f(1,3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).]4．設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，記eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝tb(t∈R)，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，那么當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)，實(shí)數(shù)t的值為________．eq\f(1,2)[∵eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝tb－a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a.∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(AC,\s\up8(→))，即tb－a＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－\f(2,3)a)).由于a，b不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＝\f(1,3)λ，,－1＝－\f(2,3)λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,2)，,t＝\f(1,2).))故當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，A，B，C三點(diǎn)共線．]5．如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，且eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝b.(1)用a，b表示向量eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(AF,\s\up8(→))，eq\o(BE,\s\up8(→))；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．[解](1)延長AD到G(圖略)，使eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up8(→))，連接BG，CG，因?yàn)镈是BC和AG的中點(diǎn)，所以四邊形ABGC是平行四邊形．則eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝a＋b，所以eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)b，所以eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\o(AE,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)．(2)證明：因?yàn)閑q\o(BE,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(b