2025高考數學一輪復習-對點練57 兩直線的位置關系【含答案】

對點練57兩直線的位置關系【A級基礎鞏固】1.兩條直線l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交點坐標是()A.(2，3) B.(－2，3)C.(3，－2) D.(－3，2)2.(2024·石家莊質檢)若直線l1：x－2y＋1＝0與直線l2：x＋ay－1＝0平行，則l1與l2間的距離為()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)3.直線x－2y＋1＝0關于直線x＝1對稱的直線方程是()A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝04.若直線a，b的斜率分別為方程x2－4x－1＝0的兩個根，則a與b的位置關系為()A.互相平行 B.互相重合C.互相垂直 D.無法確定5.(2024·南通調研)若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一點，則點(m，n)到原點的距離的最小值為()A.eq\r(5) B.eq\r(6)C.2eq\r(3) D.2eq\r(5)6.(2024·煙臺質檢)唐代詩人李欣的詩《古從軍行》的開頭兩句是“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為A(1，1)，若將軍從山腳下的點B(4，4)處出發(fā)，河岸線所在直線l的方程為x－y＋1＝0，則“將軍飲馬”的最短總路程是()A.3eq\r(6) B.eq\r(34)C.eq\r(5) D.2eq\r(5)7.(多選)已知平面上一點M(5，0)，若直線上存在點P使|PM|＝4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是()A.y＝x＋1 B.y＝2C.y＝eq\f(4,3)x D.y＝2x＋18.(多選)(2024·青島調研)已知直線l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，則()A.直線l2過定點(－3，－1) B.當m＝1時，l1⊥l2C.當m＝2時，l1∥l2 D.當l1∥l2時，兩直線l1，l2之間的距離為19.已知兩直線l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，則l1⊥l2，則m＝________.10.已知點P1(2，3)，P2(－4，5)和A(－1，2)，則過點A且與點P1，P2距離相等的直線方程為_____________.11.設△ABC的一個頂點是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分線方程分別為x＝0，y＝x，則直線BC的方程為________.12.已知兩直線l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直線l3：ax＋2y－6＝0與l1，l2不能構成三角形，則實數a＝________.【B級能力提升】13.已知點(1，－1)關于直線l1：y＝x的對稱點為A，若直線l2經過點A，則當點B(2，－1)到直線l2的距離最大時，直線l2的方程為()A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝014.(2024·南昌調考)若△ABC的頂點A(5，1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，則直線BC的方程為()A.3x＋4y－6＝0 B.x＋3y－4＝0C.6x－5y－9＝0 D.2x－3y－6＝015.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，點P是邊AB上異于A，B的一點.光線從點P出發(fā)，經BC，CA反射后又回到點P(如圖所示).若光線QR經過△ABC的重心，則AP的長度為______________.已知點A(4，－1)，B(8，2)和直線l：x－y－1＝0，動點P(x，y)在直線l上，則|PA|＋|PB|的最小值為_______對點練57兩直線的位置關系答案1．A[聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,3x＋2y－12＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以兩條直線的交點坐標為(2，3)．]2．B[易知直線l1的斜率為eq\f(1,2)，則直線l2的斜率為－eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，即a＝－2，故直線l2：x－2y－1＝0，所以l1和l2間的距離為eq\f(|－1－1|,\r(12＋（－2）2))＝eq\f(2\r(5),5).]3．D[設所求直線上任一點(x，y)，則它關于x＝1對稱點為(2－x，y)在直線x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化簡得x＋2y－3＝0.]4．C[由根與系數的關系得ka·kb＝－1，則a與b互相垂直．]5．A[聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))解得x＝1，y＝2.把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，所以m＝－5－2n.所以點(m，n)到原點的距離d＝eq\r(m2＋n2)＝eq\r(（5＋2n）2＋n2)＝eq\r(5（n＋2）2＋5)≥eq\r(5)，當n＝－2，m＝－1時取等號．所以點(m，n)到原點的距離的最小值為eq\r(5).]6．D[如圖，設B(4，4)關于直線x－y＋1＝0對稱的點為C(a，b)．則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a＋4,2)－\f(b＋4,2)＋1＝0，,\f(b－4,a－4)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5，))即C(3，5)．依題意可得“將軍飲馬”的最短總路程為|AC|，|AC|＝eq\r(（1－3）2＋（1－5）2)＝2eq\r(5).]7．BC[由題意知，當點M到直線的距離不超過4時，符合要求．對于A，點M(5，0)到直線y＝x＋1的距離為eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2)>4，故不符合；對于B，點M(5，0)到直線y＝2的距離為2－0＝2<4，故符合；對于C，點M(5，0)到直線y＝eq\f(4,3)x的距離為eq\f(\f(4,3)×5,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(2)))＝4，故符合；對于D，點M(5，0)到直線y＝2x＋1的距離為eq\f(2×5＋1,\r(1＋22))＝eq\f(11\r(5),5)>4，故不符合．]8．ACD[對于A，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)變形為m(x－y＋2)＋2x－y＋5＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x－y＋5＝0，))則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1，))因此直線l2過定點(－3，－1)，故A正確；對于B，當m＝1時，l1：4x－3y＋4＝0，l2：3x－2y＋7＝0，因為4×3＋(－3)×(－2)≠0，所以兩直線不垂直，故B錯誤；對于C，當m＝2時，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，因為eq\f(4,4)＝eq\f(－3,－3)≠eq\f(9,4)，所以兩直線平行，故C正確；對于D，當l1∥l2時，則滿足eq\f(m＋2,4)＝eq\f(－（m＋1）,－3)≠eq\f(2m＋5,4)，得m＝2，此時，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，則兩直線間的距離為eq\f(|4－9|,\r(42＋（－3）2))＝1，故D正確．]9．－2或3[l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，則m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2.]10．x＋3y－5＝0或x＝－1[當直線與點P1，P2的連線所在的直線平行時，由直線P1P2的斜率k＝eq\f(3－5,2＋4)＝－eq\f(1,3)，得所求直線的方程為y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.當直線過線段P1P2的中點時，因為線段P1P2的中點坐標為(－1，4)，所以直線方程為x＝－1.綜上，所求直線方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.]11．2x－y－5＝0[∵∠B，∠C的角平分線方程分別是x＝0，y＝x，∴直線AB與直線BC關于x＝0對稱，直線AC與直線BC關于y＝x對稱．A(－3，1)關于x＝0的對稱點A′(3，1)在直線BC上，A(－3，1)關于y＝x的對稱點A″(1，－3)也在直線BC上．由兩點式，所求直線BC的方程為2x－y－5＝0.]12．－1或eq\f(8,3)或－2[由題意可得，①當l3∥l1時，不能構成三角形，此時a×(－2)＝1×2，解得a＝－1；②當l3∥l2時，不能構成三角形，此時a×3＝4×2，解得a＝eq\f(8,3)；③當l3過l1與l2的交點時，不能構成三角形，此時聯(lián)立l1與l2，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,4x＋3y＋5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，))所以l1與l2的交點為(－2，1)，將(－2，1)代入l3，得a×(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2，綜上，當a＝－1或eq\f(8,3)或－2時，不能構成三角形．]13．B[設A(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b＋1,a－1)＝－1，,\f(b－1,2)＝\f(a＋1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))所以A(－1，1)．設點B(2，－1)到直線l2的距離為d，當d＝|AB|時取得最大值，此時直線l2垂直于直線AB，所以直線l2的斜率k＝－eq\f(1,kAB)＝－eq\f(1,\f(－1－1,2＋1))＝eq\f(3,2)，所以直線l2的方程為y－1＝eq\f(3,2)(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.]14．C[BH所在直線方程為x－2y－5＝0，設AC的方程為2x＋y＋t＝0，且過A(5，1)，代入解得t＝－11，所以直線AC的方程為2x＋y－11＝0.聯(lián)立AC與CM的方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))解得C(4，3)．設B(2m＋5，m)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m＋10,2)，\f(m＋1,2)))，即2m＋10－eq\f(m＋1,2)－5＝0，解得m＝－3，則B(－1，－3)，所以直線BC的方程為eq\f(y＋3,3＋3)＝eq\f(x＋1,4＋1)，即6x－5y－9＝0.]15.eq\f(4,3)[以A為原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0，0)，則直線BC的方程為x＋y－4＝0.設P(t，0)(0＜t＜4)，可得點P關于直線BC的對稱點P1的坐標為(4，4－t)，點P關于y軸的對稱點P2的坐標為(－t，0)，根據反射定律可知直線P1P2就是光線RQ所在的直線，由P1，P2兩點的坐標可得直線P1P2的方程為y＝eq\f(4－t,4＋t)·(x＋t)．設△ABC的重心為G，易知Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3))).因為重心Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))在光線RQ上，所以eq\f(4,3)＝eq\f(4－t,4＋t)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋t))，得t＝eq\f(4,3)(t＝0舍去)，即|AP|＝eq\f(4,3).]16.eq\r(65)[設點A1與A關于直線l對稱，P0為A1B與直線l的交點，∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋