二模模擬卷01-新題型（解析版）

試卷第=page2020頁，共=sectionpages2121頁二模模擬卷01-新題型數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接根據(jù)交集的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：B.2．設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則A． B． C． D．【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（

）A．－2 B．－1 C．0 D．2【答案】A【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由且，由，因?yàn)樵摵瘮?shù)是偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此有，即，定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以該函?shù)是偶函數(shù)，符合題意，故選：A4．已知橢圓的焦距是2，則離心率e的值是（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】對(duì)焦點(diǎn)所在位置進(jìn)行分類討論，利用、進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦距是2，所以，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上，，所以，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上，，所以，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.5．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】由展開式的公式得到項(xiàng)的系數(shù)為.系數(shù)為故答案為C．6．六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無味、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個(gè)面都是正三角形的八面體），如圖所示.若此正八面體的棱長為2，若它的內(nèi)切球的表面積為，外接球表面積為，則的值為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合條件可得外接球的半徑，利用等積法可得內(nèi)切球半徑，進(jìn)而即得.【詳解】如圖正八面體，連接和交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以，，又和為平面?nèi)相交直線，所以平面，所以為正八面體的中心，設(shè)正八面體的外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，因?yàn)檎嗣骟w的棱長為，所以，，，則，，，設(shè)內(nèi)切球與平面切于點(diǎn)，所以平面，所以即為正八面體內(nèi)切球半徑，因?yàn)?，，所以，即，所?故選：A.7．設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用隱零點(diǎn)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和最值可得答案，或者利用同構(gòu)結(jié)合單調(diào)性可得答案.【詳解】實(shí)數(shù)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，即為，設(shè)，，，令，可得，由指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的圖象，可得和有且只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減．即有在處取得極小值，且為最小值．即有，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，即；由兩邊取對(duì)數(shù)可得，所以，即，因?yàn)椋?，所以，解得，所以的最小值為．故選：A．另解：因?yàn)?，不等式恒成立，即為，?dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立；當(dāng)時(shí)，上式可化為，令，由可得在遞增，所以，即有，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，遞減．時(shí)，遞增，可得時(shí)，取得最大值．則，的最小值為．故選：A．8．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將變形為，然后從對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及單調(diào)性考慮，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，得到，進(jìn)而得到，，，結(jié)合，，得到，，求出.【詳解】要比較，，中的大小，等價(jià)于比較，，中的大小，∵，由定義域可知，故，∵在定義域上單調(diào)遞減，，，∵，∴，∵，∴，故，則，，，由定義域可知：，又∵，∴，則，，故，∵，，∴，，.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)數(shù)比較大小的方法有：（1）對(duì)于真數(shù)相同的對(duì)數(shù)，可利用倒數(shù)法加以解決，有時(shí)也可把對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)式進(jìn)行比較；（2）當(dāng)?shù)讛?shù)與真數(shù)都不相同時(shí)，一般可選取適當(dāng)?shù)摹懊浇椤保ㄍǔＲ浴?”或“1”為媒介），分別與要比較的數(shù)比較大小，從而間接地得出要比較的數(shù)的大小關(guān)系；（3）作差（商）比較法是比較兩個(gè)數(shù)值大小的常用方法，即對(duì)兩值作差（商），看其值與0或1的關(guān)系，從而確定所比兩值的大小關(guān)系．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．在數(shù)列中，（為非零常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”，稱為“公方差”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（

）A．是等方差數(shù)列B．若正項(xiàng)等方差數(shù)列的首項(xiàng)，且是等比數(shù)列，則C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D．存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列【答案】BC【分析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義依次分析四個(gè)選項(xiàng)可得答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，，，所以不是等方差?shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則當(dāng)時(shí)，，若為常數(shù)，則必有，此時(shí)，則數(shù)列不可能是等方差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，假設(shè)存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列，則當(dāng)時(shí)，且，若，則，則，不合題意，若，則，得，又，所以為常數(shù)，必有，與假設(shè)矛盾，故存在數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等方差數(shù)列.故D錯(cuò)誤；故選：BC10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在準(zhǔn)線上的射影為，則（

）A．若，則B．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為4C．D．若直線過點(diǎn)且與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足條件的直線有2條【答案】AC【分析】根據(jù)拋物線的弦長、定義、直線和拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】拋物線方程為，所以，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程.A選項(xiàng)，若，則，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，點(diǎn)在拋物線內(nèi)，根據(jù)拋物線的定義可知的最小值是到準(zhǔn)線的距離，即最小值是，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡得，所以，則，所以，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，直線和直線都過，且與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)過的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由消去并化簡得，由，解得，所以直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)，所以滿足條件的直線有條，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解直線和拋物線位置關(guān)系有關(guān)問題，可設(shè)出直線的方程，然后將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，化簡后寫出根與系數(shù)關(guān)系、判別式等等，再結(jié)合拋物線的定義來對(duì)問題進(jìn)行求解.11．下列說法正確的是（

）A．用0，1，2，3，4能組成48個(gè)不同的3位數(shù).B．將10個(gè)團(tuán)員指標(biāo)分到3個(gè)班，每班要求至少得2個(gè)，有15種分配方法.C．小明去書店看了4本不同的書，想借回去至少1本，有16種方法.D．甲、乙、丙、丁各寫了一份賀卡，四人互送賀卡，每人各拿一張賀卡且每人不能拿到自己寫的賀卡，有9種不同的方法.【答案】BD【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出三位數(shù)的個(gè)數(shù)判斷A，根據(jù)隔板法和分步乘法計(jì)數(shù)原理求出分配方法數(shù)，判斷B，利用間接法求出滿足要求的方法數(shù)判斷C，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理求出滿足條件的方法數(shù)，判斷D.【詳解】對(duì)于A，第一步先排百位數(shù)，有4種排法，第二步排十位數(shù)有5種排法，第三步排個(gè)位數(shù)有5種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有個(gè)不同的三位數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，第一步，每個(gè)班先各分一個(gè)團(tuán)員指標(biāo)，有一種方法，第二步，再將余下7個(gè)團(tuán)員指標(biāo)排成一排，7個(gè)指標(biāo)之間有6個(gè)空，用2塊隔板插入其中的兩個(gè)空，每種插空方法就是一種將7個(gè)指標(biāo)分給3個(gè)班，每班至少一個(gè)指標(biāo)的分配方法，故第二步有種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得滿足條件的分配方法有15種，B正確；對(duì)于C，因?yàn)榻杌刂辽?本的反面為1本都不借，又小明所有的借書方法數(shù)為種，所以借回至少1本的方法數(shù)為種，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，第一步甲先拿賀卡，有3種方法，第二步安排甲拿到的賀卡的主人拿，有3種方法，第三步余下兩人拿賀卡，由于其中一人不能拿自己的賀卡，故只有一種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共種方法，D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知三棱錐，其中平面，則三棱錐外接球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)題意設(shè)底面的外心為G，O為球心，所以平面ABC，，根據(jù)正弦定理求得外接圓的半徑，結(jié)合球的性質(zhì)、球的表面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】根據(jù)題意設(shè)底面的外心為G，O為球心，所以平面ABC，

因?yàn)槠矫鍭BC，所以，設(shè)是PA中點(diǎn)，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，所以，因此，因此四邊形ODAG是平行四邊形，故，∵，∴，又外接圓的半徑，由正弦定理得，所以該外接球的半徑滿足，所以外接球的表面積為.故答案為：．13．如圖，正方體的棱長為6，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，與的交點(diǎn)為，點(diǎn)在棱上，且，動(dòng)點(diǎn)（不同于點(diǎn)）在四邊形內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且，則直線與所成角的余弦值為.【答案】【分析】方法一：通過平移，在三角形中求解；方法二：通過建立空間直角坐標(biāo)系來求解線線角.【詳解】解法一：易知.因?yàn)槠矫?，所以，所以平面，又平面，所以，在棱上取一點(diǎn)，且，連接，則，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段（不包括）.取棱的中點(diǎn)，連接，易知?jiǎng)t即異面直線與所成的角.連接，因?yàn)?，，，所?解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，設(shè)，則，，.由題意知，得，所以，則，又不與點(diǎn)重合，所以，所以，所以直線與所成角的余弦值為.故答案為：.14．對(duì)，記，則對(duì)于任意，函數(shù)的最小值是.【答案】1【分析】根據(jù)新定義，作出函數(shù)的圖象即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知：作出函數(shù)的圖象：∴函數(shù)的最小值是，故答案為【點(diǎn)睛】本題以新定義為載體，考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明在、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求證：在上是增函數(shù)；(2)若在區(qū)間上存在最小值，求的取值范圍；(3)若僅在兩點(diǎn)處的切線的斜率為1，請直接寫出的取值范圍．（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)證明增減性即可；（2）對(duì)分類討論，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可求解的取值范圍；（3）僅在兩點(diǎn)處的切線的斜率為1，即有兩個(gè)不同解，轉(zhuǎn)化為與或與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)求解即可.【詳解】（1）當(dāng)，即時(shí)，，令解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又連續(xù)，所以在上是增函數(shù).（2），當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上不存在最小值：②當(dāng)時(shí)，令解得，此時(shí)，0極小值所以存在最小值，且，綜上a的取值范圍是．（3）僅在兩點(diǎn)處的切線的斜率為1，即有兩個(gè)不同解，解法一：方程有兩個(gè)不同的解，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，則，所以圖象大致如下，由圖象可知與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為.解法二：方程有兩個(gè)不同的解，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系上畫和的圖象如圖，由圖象可得當(dāng)時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即的取值范圍為.16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，底面，.(1)證明：平面平面；(2)點(diǎn)M在平面內(nèi)，直線平面，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)線面垂直判定定理證明面，再根據(jù)面面垂直判定定理證明平面平面；(2)先求四棱錐的高，再根據(jù)錐體體積公式求解即可.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)O，∵底面平面，∴，又∵，，平面，∴面，∵平面，∴平面平面；（2）連接，過A作交于點(diǎn)N，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以重合，因?yàn)?，所以，又，?所以，所以，∴點(diǎn)M到底面的距離為，又∴.17．（15分）某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)10元；重量超過的包裹，除收費(fèi)10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計(jì)算）需再收5元.該公司對(duì)近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表：（1）某人打算將三件禮物隨機(jī)分成兩個(gè)包裹寄出，求該人支付的快遞費(fèi)不超過30元的概率；（2）該公司從收取的每件快遞的費(fèi)用中抽取5元作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費(fèi)用.前臺(tái)工作人員每人每天攬件不超過150件，工資100元，目前前臺(tái)有工作人員3人，那么，公司將前臺(tái)工作人員裁員1人對(duì)提高公司利潤是否更有利？【答案】(1)(2)公司將前臺(tái)工作人員裁員1人對(duì)提高公司利潤不利【詳解】試題分析：(1)根據(jù)表格結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式求出結(jié)果；(2)分別算出裁員1人前后的利潤情況，從而作出判斷.試題解析：（1）由題意，寄出方式有以下三種可能：所有3種可能中，有1種可能快遞費(fèi)未超過30元，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，所示概率為；（2）將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)情況如下：故公司平均每日利潤的期望值為（元）；若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下：故公司平均每日利潤的期望值為（元）故公司將前臺(tái)工作人員裁員1人對(duì)提高公司利潤不利.18．（17分）雙曲線C：，點(diǎn)是C上位于第一象限的一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱．延長至E使得，且直線和C的另一個(gè)交點(diǎn)F位于第二象限中．(1)求的取值范圍；(2)證明：不可能是的三等分線.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求得點(diǎn)，求出直線BE的方程，將該直線的方程與雙曲線C的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，由可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于的不等式，結(jié)合可求得的取值范圍；（2）計(jì)算得出，可得出，計(jì)算出，可得出，由此可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）由題設(shè)得，、，設(shè)點(diǎn)，由題意可得，即，即，得，則，直線BE的斜率為，所