中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題16圓與相似三角函數(shù)的計(jì)算與證明問(wèn)題（原卷版）

16圓與相似三角函數(shù)的計(jì)算與證明問(wèn)題例1．（2023?利辛縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，以CD為直徑作⊙O，⊙O分別與AC，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線FG，交AB于點(diǎn)G．（1）求證：∠A＝∠BFG；（2）求FG的長(zhǎng)．例2．（2023?金牛區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑作⊙O，交AB邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，直線ED、BC交于點(diǎn)F．（1）求證：直線DE是圓O的切線；（2）若BC＝6，sin∠A=35，求線段例3．（2023?工業(yè)園區(qū)校級(jí)模擬）如圖，銳角△ABC中∠A的平分線交BC于點(diǎn)E，交△ABC的外接圓于點(diǎn)D、邊BC的中點(diǎn)為M．（1）求證：MD垂直BC；（2）若AC＝5，BC＝6，AB＝7．求BDAD（3）作∠ACB的平分線交AD于點(diǎn)P，若將線段MP繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°后，點(diǎn)P恰好與△ABC外接圓上的點(diǎn)P'重合，則tan∠BAC＝．例4．（2023?寧波一模）如圖1，AC為?ABCD的對(duì)角線，△ABC的外接圓⊙O交CD于點(diǎn)E，連結(jié)BE．（1）求證：∠BAC＝∠ABE．（2）如圖2，當(dāng)AB＝AC時(shí)，連結(jié)OA、OB，延長(zhǎng)AO交BE于點(diǎn)G，求證△GOB∽△GBA．（3）如圖3，在（2）的條件下，記AC、BE的交點(diǎn)為點(diǎn)F，連結(jié)AE、OF．①求證：BG2﹣GF2＝GF?EF．②當(dāng)EFFG=791．（2023?碑林區(qū)校級(jí)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑作⊙O，交AB邊于點(diǎn)D，在CD上取一點(diǎn)E，使BE=CD，連接DE作射線CE交AB邊于點(diǎn)（1）求證：∠A＝∠ACF；（2）若AC＝8，cos∠ACF=45，求BF及2．（2023?新?lián)釁^(qū)三模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，OF⊥BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)E，AE與BC交于點(diǎn)H，點(diǎn)D為OE的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠ODB＝∠AEC．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，且sin∠BAE=35，求3．（2023?達(dá)州一模）如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，P為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠PAC＝∠B，AD為⊙O的直徑，過(guò)C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判斷直線PA與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）求證：AG2＝AB?AF．4．（2023春?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC．（1）在AC上取點(diǎn)E，使得AD2＝AB?AE（用直尺和圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，連接EO、OD，若∠BAC＝60°，求sin∠DEO的值．5．（2023?長(zhǎng)春一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓與AC、AB分別交于點(diǎn)D、E，且∠CBD＝∠A．（1）求證：BD是⊙O的切線；（2）若AD：AO＝5：3，BC＝4，則BD的長(zhǎng)為．6．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)四模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切線，AD與BC相交于點(diǎn)E，與⊙O相交于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：BD＝BE；（2）若DE＝2，BD=5，求AE7．（2023?碑林區(qū)校級(jí)四模）如圖，AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，且AC＝AB，連接CB交⊙O于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，連接BE交⊙O于點(diǎn)F，連接AD，CF，DF，AF．（1）求證：CE2＝EF?EB；（2）若DF＝1，求AF的長(zhǎng)．8．（2023春?江寧區(qū)校級(jí)月考）我們知道，對(duì)于線段a，b，c，如果a2＝b?c，那么線段a叫做線段b和c的比例中項(xiàng)．（1）如圖1，直線l與⊙O相切于點(diǎn)A，B是l上一點(diǎn)，連接OB，C是OB上一點(diǎn)．若⊙O的半徑r是OB與OC的比例中項(xiàng)，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)C．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）（2）如圖2，A是⊙O1外一點(diǎn)，以O(shè)1A為直徑的⊙O2交⊙O1于點(diǎn)B，C，O1A與BC交于點(diǎn)D，E為直線BC上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C，D重合），作直線O1E，與⊙O2交于點(diǎn)F．若⊙O1的半徑是r，求證：r是O1E與O1F的比例中項(xiàng)．9．（2023?歷城區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，且CD=BD，過(guò)點(diǎn)D的切線EF交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連結(jié)AD，OE交于點(diǎn)（1）求證：AE⊥EF；（2）若DGAG=23，⊙10．（2023?嶗山區(qū)一模）【問(wèn)題提出】如圖1，△ABC為⊙O內(nèi)接三角形，已知BC＝a，圓的半徑為R，探究a，R，sin∠A之間的關(guān)系．【解決問(wèn)題】如圖2，若∠A為銳角，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接DC，則∠A＝∠D，在△DBC中，BD為⊙O直徑，BC＝a，所以BD＝2R，∠BCD＝90°．所以在Rt△DBC中建立a，R，sinD的關(guān)系為．所以在⊙O內(nèi)接三角形△ABC中，a，R，sinA之間的關(guān)系為．類比銳角求法，當(dāng)∠A為直角和鈍角時(shí)都有此結(jié)論．【結(jié)論應(yīng)用】已知三角形△ABC中，∠B＝60°，AC＝4，則△ABC外接圓的面積為．11．（2023?蚌山區(qū)校級(jí)二模）如圖，AB為半圓O的直徑，四邊形ABCD為平行四邊形，E為BC的中點(diǎn)，BF平分∠ABC，交AE于點(diǎn)F．（1）求證：BE＝EF；（2）若AB＝10，BF=210，求AD12．（2023?義烏市校級(jí)模擬）如圖，AB是圓O的直徑，PB，PC是圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為B，C．延長(zhǎng)BA，PC相交于點(diǎn)D．（1）求證：∠CPB＝2∠ABC．（2）設(shè)圓O的半徑為2，sin∠PBC=23，求13．（2022秋?巴彥縣期末）已知AB、CD是圓O中的兩條弦，AB⊥CD，垂足為E，連接BC、BD、OC．（1）如圖1．求證：∠OCB＝∠ABD；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于F，AF交CD于G，求證：CE＝GE；（3）如圖3，在（2）的條件下連接BG，若BG恰好經(jīng)過(guò)圓心O，若圓O的半徑為5，sin∠D=45，求14．（2022?渠縣二模）如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，在CD上有點(diǎn)N滿足CN＝CA，AN交圓O于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F的AC的平行線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：EM是圓O的切線；（2）若sin∠M=35，AN＝310，求圓（3）在（2）的條件下，直接寫(xiě)出MF的長(zhǎng)度．15．（2022?通遼）如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O(shè)為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑的圓交邊AB于點(diǎn)D，點(diǎn)C在邊OA上且CD＝AC，延長(zhǎng)CD交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：CD是圓的切線；（2）已知sin∠OCD=45，AB＝45，求16．（2021?裕華區(qū)二模）如圖1～圖3，在?ABCD中，AB＝5，AD＝10，tan∠A=43，點(diǎn)M在BC邊上，BM＝2，半圓O與邊AD交于點(diǎn)P（靠近A的交點(diǎn)），直徑（1）在半圓運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BP的最小值是，此時(shí)AP＝；（2）如圖1，若OM⊥AD，求證：①圓心O在邊AD上；②圓O與AB相切；（3）當(dāng)sin∠Q=58時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q到直線BC17．（2023?長(zhǎng)沙模擬）如圖1，在⊙O中，AB為直徑，點(diǎn)C在圓上，tan∠A=815，AB=172，D是AB上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），DE平分∠CDB交邊BC于點(diǎn)E，EF⊥（1）當(dāng)點(diǎn)D與圓心O重合時(shí)，如圖2所示，則DE＝；（2）若CD2＝CE?CB，試探究△BDE與DEF有何面積關(guān)系，并證明；（3）當(dāng)△CEF與△ABC相似時(shí)，求cos∠BDE的值．18．（2023春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，直徑AC與BD交于E點(diǎn)，BD平分∠ADC．（1）如圖1，若AD＝BD，求證：DC＝DE；（2）如圖2，作△BAM≌△BCD，使得M、D在AB的兩側(cè)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法），若tan∠CAD=34，求19．（2023?姑蘇區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與直徑AB相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E在⊙O外，作直線AE，且∠EAC＝∠D．（1）求證：直線AE是⊙O的切線；（2）若∠BAC＝30°，tan∠BAD=32，CF＝7．求圓的半徑20．（2023春?香坊區(qū)校級(jí)月考）已知：AB為⊙O的