拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

3.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目標(biāo)1.通過自主探究，畫圖，理解拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念；2.通過交流合作，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，能夠推導(dǎo)拋物線的方程；3.通過推導(dǎo)拋物線的方程，明確p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題．教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念．難點(diǎn)：明確p的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境通過前面的學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn)，如果動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線(不過點(diǎn))的距離之比為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離和到定直線（不過點(diǎn)F）的距離之比為，當(dāng)0<<1時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為橢圓當(dāng)>1時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線當(dāng)=1時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為？問題1：當(dāng)時(shí)，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等時(shí)，點(diǎn)的軌跡會(huì)是什么形狀?下面我們就來研究這個(gè)問題．師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)生回顧：動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與點(diǎn)M到定直線（不過點(diǎn)F）的距離之比為，當(dāng)0<<1時(shí)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為橢圓，當(dāng)>1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為雙曲線，思考：當(dāng)=1時(shí)，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離和到定直線的距離相等時(shí)，點(diǎn)M的軌跡會(huì)是什么形狀？設(shè)計(jì)意圖：問題引入設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生思考。問題2：如圖3.3-1，是定點(diǎn)，是不經(jīng)過的定直線，是上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，線段的垂直平分線交于點(diǎn)．拖動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)隨之運(yùn)動(dòng)，你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)滿足的幾何條件嗎？它的軌跡是什么形狀？可以發(fā)現(xiàn)，在點(diǎn)隨著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有，即點(diǎn)與定點(diǎn)的距離等于它到定直線的距離，點(diǎn)的軌跡形狀與二次函數(shù)的圖象相似．環(huán)節(jié)二抽象概括，形成概念我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線(不經(jīng)過點(diǎn))的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線（parabola）．點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．問題3當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)F時(shí),點(diǎn)的軌跡是什么？過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線.問題4類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，你能推出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？建系---設(shè)點(diǎn)---列式---化簡---檢驗(yàn)思考：觀察拋物線的幾何特征，如何建立拋物線的平面直角坐標(biāo)系？根據(jù)拋物線的幾何特征，如圖，我們?nèi)〗?jīng)過點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為x軸，垂足為K，并使原點(diǎn)與線段KF的中點(diǎn)重合，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy.設(shè)|KF|=p(p>0).環(huán)節(jié)三解難釋疑設(shè)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為d.由拋物線的定義，拋物線是點(diǎn)的集合P={M||MF|=d}.因?yàn)橐驗(yàn)閨MF|=(x?p2所以所以(x?p2)2從上述過程可以看到，拋物線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都是方程①的解，以方程①的解為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y)與拋物線的焦點(diǎn)F(p/2,0)的距離和它到準(zhǔn)x=?p/2的距離相等，即以方程①的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在拋物線上.我們把方程y^2=2px(p>0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.它表示焦點(diǎn)在x軸正半軸上，焦點(diǎn)是F(p/2,0)，準(zhǔn)線是x=?p/2的拋物線.環(huán)節(jié)四合作探究問題5在平面直角坐標(biāo)系中，類比橢圓、雙曲線，拋物線的焦點(diǎn)位置會(huì)有些什么情況？要怎樣求不同開口方向的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),選擇不同的坐標(biāo)系我們得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式?請(qǐng)?zhí)骄恐筇顚懴卤?圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程問題6拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式上有什么共同特點(diǎn)?左邊都是平方項(xiàng)，右邊都是一次項(xiàng).問題7如何根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程來判斷拋物線的焦點(diǎn)位置及開口方向？①焦點(diǎn)在一次項(xiàng)字母對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上.②一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定了拋物線的開口方向.環(huán)節(jié)五展示交流根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：根據(jù)下列條件分別求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)準(zhǔn)線方程為y=23例2一種衛(wèi)星接收天線如圖3.3-3左圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線．在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，如圖3.3-3(1)．已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為lm，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．解：如圖3.3-3（2），在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，使接收天線的頂點(diǎn)（即拋物線的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在軸上．設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是．由已知條件得，點(diǎn)的坐標(biāo)是，代入方程，得，即．所以，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是．【設(shè)計(jì)意圖】在實(shí)際情境中讓學(xué)生感受拋物線的應(yīng)用；鍛煉學(xué)生閱讀理解能力