數(shù)字電子技術(shù)（第3版）課件 第03講 1.3 邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

1.3

邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)1.3.1

邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算

1.3.2

邏輯函數(shù)及其表示法

返回結(jié)束放映2/11/20251復(fù)習(xí)（255）10=（）2=（）8=（）16=（）8421BCD00100101010110000000-1=11111111111111=7F1111111=177請(qǐng)列舉所學(xué)習(xí)過(guò)的二進(jìn)制代碼。BCD碼：8421、5421、余3碼；格雷碼（循環(huán)碼）、奇偶校驗(yàn)碼、ASCII碼2/11/20252

內(nèi)容提要1.3

邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算；邏輯函數(shù)及其表示方法（真值表、邏輯表達(dá)式、邏輯圖和卡諾圖）；邏輯代數(shù)的運(yùn)算公式和基本規(guī)則；邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法（代數(shù)化簡(jiǎn)法和卡諾圖化簡(jiǎn)法）。2/11/202531.3.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算

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邏輯：一定的因果關(guān)系。

邏輯代數(shù)是描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，是進(jìn)行邏輯分析與綜合的數(shù)學(xué)工具。因?yàn)樗怯?guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾(GeorgeBoole)于1847年提出的,所以又稱為布爾代數(shù)。

邏輯代數(shù)有其自身獨(dú)立的規(guī)律和運(yùn)算法則，不同于普通代數(shù)。

相同點(diǎn)：都用字母A、B、C……表示變量；

不同點(diǎn)：邏輯代數(shù)變量的取值范圍僅為“0”和“1”，且無(wú)大小、正負(fù)之分。邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量。“0”和“1”表示兩種不同的邏輯狀態(tài)：是和非、真和假、高電位和低電位、有和無(wú)、開(kāi)和關(guān)等等。

2/11/202541.三種基本邏輯運(yùn)算（1）與運(yùn)算

當(dāng)決定某一事件的全部條件都具備時(shí)，該事件才會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱為與邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱與邏輯。開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈Y斷開(kāi)斷開(kāi)滅斷開(kāi)閉合滅閉合斷開(kāi)滅閉合閉合亮ABY000010100111表1-6與邏輯的真值表

A、B全1，Y才為1。串聯(lián)開(kāi)關(guān)電路功能表

圖1-1(a)串聯(lián)開(kāi)關(guān)電路設(shè)定邏輯變量并狀態(tài)賦值：邏輯變量：A和B，對(duì)應(yīng)兩個(gè)開(kāi)關(guān)的狀態(tài)；

1－閉合，0－斷開(kāi)；邏輯函數(shù)：Y，對(duì)應(yīng)燈的狀態(tài)，

1－燈亮，0－燈滅。2/11/20255圖1-1(b)與邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：

Y＝A·B＝AB符號(hào)“·”讀作“與”（或讀作“邏輯乘”）；在不致引起混淆的前提下，“·”常被省略。實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱作與門，與邏輯和與門的邏輯符號(hào)如圖1-1(b)所示，符號(hào)“&”表示與邏輯運(yùn)算。2/11/20256若開(kāi)關(guān)數(shù)量增加，則邏輯變量增加。

ABCY00000010010001101000101011001111A、B、C全1，Y才為1。Y＝A

·

B·C＝ABC2/11/20257（2）或運(yùn)算

當(dāng)決定某一事件的所有條件中，只要有一個(gè)具備，該事件就會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系叫做或邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱或邏輯。開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈Y斷開(kāi)斷開(kāi)滅斷開(kāi)閉合亮閉合斷開(kāi)亮閉合閉合亮ABY000011101111表1-7或邏輯的真值表

A、B有1，Y就為1。并聯(lián)開(kāi)關(guān)電路功能表

圖1-2(a)并聯(lián)開(kāi)關(guān)電路2/11/20258圖1-2(b)或邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：

Y＝A＋B符號(hào)“＋”讀作“或”（或讀作“邏輯加”）。實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱作或門，或邏輯和或門的邏輯符號(hào)如圖1-2(b)所示，符號(hào)“≥1”表示或邏輯運(yùn)算。2/11/20259（3）非運(yùn)算

當(dāng)某一條件具備了，事情不會(huì)發(fā)生；而此條件不具備時(shí)，事情反而發(fā)生。這種邏輯關(guān)系稱為非邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱非邏輯。表1-8非邏輯的真值表

A與Y相反開(kāi)關(guān)與燈并聯(lián)電路功能表

圖1-3(a)開(kāi)關(guān)與燈并聯(lián)電路開(kāi)關(guān)A燈Y斷開(kāi)亮閉合滅AY01102/11/202510圖1-3(b)非邏輯的邏輯符號(hào)實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱作非門，非邏輯和非門的邏輯符號(hào)如圖1-3(b)所示。邏輯符號(hào)中用小圓圈“?！北硎痉沁\(yùn)算，符號(hào)中的“1”表示緩沖。邏輯表達(dá)式：

Y＝A符號(hào)“—”讀作“非”。2/11/2025112.復(fù)合邏輯運(yùn)算

在數(shù)字系統(tǒng)中，除應(yīng)用與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算之外，還廣泛應(yīng)用與、或、非的不同組合，最常見(jiàn)的復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非、或非、與或非、異或和同或等。

（1）與非運(yùn)算“與”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱為與非運(yùn)算。

邏輯表達(dá)式：Y＝ABCABCY00010011010101111001101111011110表1-9與非邏輯的真值表

圖1-4與非邏輯的邏輯符號(hào)“有0必1，全1才0”2/11/202512（2）或非運(yùn)算“或”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱為或非運(yùn)算。

邏輯表達(dá)式：Y＝A+B+CABCY00010010010001101000101011001110表1-10或非邏輯的真值表

“有1必0，全0才1”圖1-5或非邏輯的邏輯符號(hào)2/11/202513（3）與或非運(yùn)算“與”、“或”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱為與或非運(yùn)算。

邏輯表達(dá)式：Y＝AB+CD圖1-6與或非邏輯的邏輯符號(hào)2/11/202514（4）異或運(yùn)算所謂異或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量取值相同時(shí)輸出為0，取值不相同時(shí)輸出為1。

表1-11異或邏輯的真值表

“相同為0，相異為1”圖1-7異或邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：Y=A⊕B=AB+AB式中符號(hào)“⊕”表示異或運(yùn)算。

ABY0000111011102/11/202515（5）同或運(yùn)算所謂同或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量取值相同時(shí)輸出為1，取值不相同時(shí)輸出為0。

表1-12同或邏輯的真值表

“相同為1，相異為0”圖1-8同或邏輯的邏輯符號(hào)ABY001010100111邏輯表達(dá)式：Y=A⊙B=AB+AB=A⊕B

式中符號(hào)“⊙”表示同或運(yùn)算。

2/11/2025161.3.2

邏輯函數(shù)及其表示法

返回1.邏輯函數(shù)

輸入邏輯變量和輸出邏輯變量之間的函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)，寫作

Y=F(A、B、C、D……)

A、B、C、D為有限個(gè)輸入邏輯變量；

F為有限次邏輯運(yùn)算（與、或、非）的組合。表示邏輯函數(shù)的方法有：真值表、邏輯函數(shù)表達(dá)式、邏輯圖和卡諾圖。2/11/202517

真值表是將輸入邏輯變量的所有可能取值與相應(yīng)的輸出變量函數(shù)值排列在一起而組成的表格。

1個(gè)輸入變量有0和1兩種取值，

n個(gè)輸入變量就有2n個(gè)不同的取值組合。例：邏輯函數(shù)Y=AB+BC+AC

表1-11邏輯函數(shù)的真值表

ABCY00000010010001111000101111011111三個(gè)輸入變量，八種取值組合2.真值表ABBCAC2/11/202518ABCY00000010010001111000101111011111真值表的特點(diǎn)：

①唯一性;

②按自然二進(jìn)制遞增順序排列（既不易遺漏，也不會(huì)重復(fù)）。

③n個(gè)輸入變量就有2n個(gè)不同的取值組合。

2/11/202519例：控制樓梯照明燈的電路。

兩個(gè)單刀雙擲開(kāi)關(guān)A和B分別裝在樓上和樓下。無(wú)論在樓上還是在樓下都能單獨(dú)控制開(kāi)燈和關(guān)燈。設(shè)燈為L(zhǎng)，L為1表示燈亮，L為0表示燈滅。對(duì)于開(kāi)關(guān)A和B，用1表示開(kāi)關(guān)向上扳，用0表示開(kāi)關(guān)向下扳。表1-14控制樓梯照明燈的電路的真值表ABL001010100111圖1-9控制樓梯照明燈的電路2/11/2025203.邏輯表達(dá)式按照對(duì)應(yīng)的邏輯關(guān)系，把輸出變量表示為輸入變量的與、或、非三種運(yùn)算的組合，稱之為邏輯函數(shù)表達(dá)式（簡(jiǎn)稱邏輯表達(dá)式）。由真值表可以方便地寫出邏輯表達(dá)式。方法為：

①找出使輸出為1的輸入變量取值組合；

②取值為1用原變量表示，取值為0的用反變量表示，則可寫成一個(gè)乘積項(xiàng)；

③將乘積項(xiàng)相加即得。ABL0