2.2探索直線平行的條件（10大題型提分練）七年級數(shù)學下冊同步課堂（北師大版2024）

PAGE1（北師大版）七年級下冊數(shù)學《第2章相交線與平行線》2.2探索直線平行的條件知識點知識點一平行線及其表示方法★1、平行線定義：在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線．記作：AB∥CD；記作：a∥b；讀作：直線AB平行于直線CD．讀作：直線a平行于直線b．【注意】1、在同一平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關系：相交和平行．(重合的直線視為一條直線)2、.線段或射線平行是指它們所在的直線平行．知識點知識點二平行線的畫法◆過直線外一點畫已知直線的平行線的方法：一“落”把三角尺一邊落在已知直線上；二“靠”把直尺緊靠三角尺的另一邊；三“移”沿直尺移動三角尺，使三角尺與已知直線重合的邊過已知點；四“畫”沿三角尺過已知點的邊畫直線．【注意】1．經(jīng)過直線上一點不能作已知直線的平行線．2．畫線段或射線的平行線是指畫它們所在直線的平行線．3．借助三角尺畫平行線時，必須保持緊靠，否則畫出的直線不平行.知識點知識點三平行公理及其推論★1、平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.★2、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.也就是說：如圖，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.幾何語言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】1、平行公理的推論中，三條直線可以不在同一個平面內(nèi)．2、平行公理中強調(diào)“直線外一點”，因為若點在直線上，不可能有平行線；“有且只有”強調(diào)這樣的直線是存在的，也是唯一的．知識點四知識點四同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角★1、同位角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．★2、內(nèi)錯角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角．★3、同旁內(nèi)角兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角．★4、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的特征【注意】三線八角中的某兩個角是不是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決定．在復雜的圖形中判別三類角時，應從角的兩邊入手，具有上述關系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構成“F“形，內(nèi)錯角的邊構成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構成“U”形．知識點五知識點五平行線的判定方法★1、平行線的判定：判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，兩直線平行)．判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)．判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．幾何語言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)．★2、在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線垂直．幾何語言表示：直線a，b，c在同一平面內(nèi)，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三條直線在“同一平面內(nèi)”是前提，沒有這個條件結論不一定成立.★3、判定兩直線平行的方法（1）平行線的定義；（2）平行公理的推論（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）；（3利用同位角相等說明兩直線平行；（4）利用內(nèi)錯角相等說明兩直線平行；（5）利用同旁內(nèi)角互補說明兩直線平行；（6）同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線平行.題型一平行線的識別解題技巧提煉解題的關鍵是準確把握平行線的概念，牢記平行線的三個條件：①在同一平面內(nèi)；②不相交；③都是直線，通過與定義進行對比來進行判斷.1．（2024春?泰山區(qū)期中）在同一個平面內(nèi)，直線a、b相交于點P，a∥c，b與c的位置關系是（）A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或相交【分析】根據(jù)過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線得出即可．【解答】解：∵在同一個平面內(nèi)，直線a、b相交于點P，a∥c，∴b與c的位置關系是相交，故選：B．【點評】本題考查了平行線，相交線的應用，能根據(jù)定理進行判斷是解此題的關鍵，注意：過直線外一點有且只有一條直線平行于已知直線．2．下列說法正確的是（）A．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不平行，那么它們互相垂直 B．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相垂直 C．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么它們互相平行 D．同一平面內(nèi)，如果兩條直線不垂直，那么它們互相平行【分析】根據(jù)平行線的判定及垂直、相交的定義判斷求解即可．【解答】解：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線不平行，那么這兩條直線相交，故A不符合題意；在同一平面內(nèi)，兩條直線不相交，那么這兩條直線平行，故B不符合題意；同一平面內(nèi)，如果兩條直線不相交，那么這兩條直線平行，故C符合題意；同一平面內(nèi)，如果兩條直線不垂直，它們不一定平行，故D不符合題意；故選：C．【點評】此題考查了平行線的判定、垂直、相交等知識，熟練掌握有關定理、定義是解題的關鍵．3．（2024春?武威月考）下列四邊形中，AB不平行于CD的是（）A． B． C． D．【分析】A是平行四邊形，B是梯形，C是正方形．D是一般的四邊形，AB不平行于CD．【解答】解：因為A、B、C都是特殊的四邊形，正確；故選：D．【點評】本題考查常見的幾種特殊四邊形的邊的關系．4．（2024春?徐匯區(qū)校級期末）在長方體ABCD﹣ABCD中，下列棱中，既與棱CC1異面又與棱BC平行的是（）A．棱AD B．棱AB C．棱AA1 D．棱A1B1【分析】首先確定與BC平行的棱，再確定符合與CC1異面的棱即可．【解答】解：觀察圖象可知，既與棱CC1異面又與棱BC平行的是A1D1，AD．故選：A．【點評】本題考查認識立體圖形，平行線的判定、異面直線的判定等知識，解題的關鍵是理解題意，屬于基礎題．5．（2024春?棗陽市期末）下列說法正確的是（）A．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a∥c B．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c C．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b，b⊥c，則a∥c D．在同一平面內(nèi)，a，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a⊥c【分析】根據(jù)題意畫出圖形，從而可做出判斷．【解答】解：先根據(jù)要求畫出圖形，圖形如圖所示：根據(jù)所畫圖形可知：A正確．故選：A．【點評】本題主要考查的是平行線，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關鍵．6．在同一平面內(nèi)，直線l1與l2滿足下列關系，寫出其對應的位置關系：（1）若l1與l2沒有公共點，則l1和l2；（2）若l1與l2只有一個公共點，則l1和l2；（3）若l1與l2有兩個公共點，則l1和l2．【分析】（1）結合平行線的定義進行解答即可；（2）結合相交的定義進行解答即可；（3）結合重合的定義進行解答即可．【解答】解：（1）由于l1和l2沒有公共點，所以l1和l2平行；（2）由于l1和l2有且只有一個公共點，所以l1和l2相交；（3）由于l1和l2有兩個公共點，所以l1和l2重合；故答案為：（1）平行；（2）相交；（3）重合．【點評】本題側重考查兩直線的位置關系，掌握平行定義是解題關鍵．題型二作已知直線的平行線解題技巧提煉利用直尺和三角尺過直線外一點畫已知直線的平行線，是幾何畫圖的基本技能之一.注意“移”時經(jīng)過的邊是三角尺落在已知直線上的那一邊，而不是任意一邊.1．如圖，直線a，點B，點C．（1）過點B畫直線a的平行線，能畫幾條？（2）過點C畫直線a的平行線，它與過點B的平行線平行嗎？【分析】根據(jù)平行公理及推論進行解答．【解答】解：（1）如圖，過直線a外的一點畫直線a的平行線，有且只有一條直線與直線a平行；（2）過點C畫直線a的平行線，它與過點B的平行線平行．理由如下：如圖，∵b∥a，c∥a，∴c∥b．【點評】本題考查了平行公理及推論．平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行（平行公理中要準確理解“有且只有”的含義．從作圖的角度說，它是“能但只能畫出一條”的意思）；推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．2．如圖中完成下列各題．（1）用直尺在網(wǎng)格中完成：①畫出直線AB的一條平行線；②經(jīng)過C點畫直線垂直于CD．（2）用符號表示上面①、②中的平行、垂直關系．【分析】（1）根據(jù)AB所在直線，利用AB所在直角三角形得出EF，以及MD⊥CD即可；（2）根據(jù)圖形得出EF，MD⊥CD，標出字母即可．【解答】解：（1）如圖所示：（2）EF∥AB，MC⊥CD．【點評】此題考查了基本作圖以及直角三角形的性質，利用直角三角形的性質得出平行線以及垂線是解答此題的關鍵．3．如圖，已知直線a和直線a外一點A．（1）完成下列畫圖：過點A畫AB⊥a，垂足為點B，畫AC∥a；（2）過點A你能畫幾條直線和a垂直？為什么？過點A你能畫幾條直線和a平行？為什么？（3）說出直線AC與直線AB的位置關系．【分析】（1）根據(jù)要求畫出圖形即可；（2）過點A有一條直線和直線a垂直，過點A可以畫一條直線和a平行．（3）結論：AC⊥AB．【解答】解：（1）直線AB、AC如圖所示；（2）過點A有一條直線和直線a垂直，理由：過直線外一點有且只有一條直線和已知直線垂直．過點A可以畫一條直線和a平行．理由：過直線外一點有且只有一條直線和已知直線平行．（3）結論：AC⊥AB．【點評】本題考查復雜作圖、垂線、平行線的定義等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．4．作圖題：（只保留作圖痕跡）如圖，在方格紙中，有兩條線段AB、BC．利用方格紙完成以下操作：（1）過點A作BC的平行線；（2）過點C作AB的平行線，與（1）中的平行線交于點D；（3）過點B作AB的垂線．【分析】（1）A所在的橫線就是滿足條件的直線；（2）在直線AD上到A得等于BC的點D，則直線CD即為所求；（3）取AE上D右邊的點F，過B，F(xiàn)的直線即為所求．【解答】解：如圖，（1）A所在的橫線就是滿足條件的直線，即AE就是所求；（2）在直線AE上，到A距離是5個格長的點就是D，則CD就是所求與AB平行的直線；（3）取AE上D右邊的點F，過B，F(xiàn)作直線，就是所求．【點評】本題考查復雜作圖、垂線、平行線的定義等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，5．如圖所示，在∠AOB內(nèi)有一點P．（1）過P畫l1∥OA；（2）過P畫l2∥OB；（3）用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的大小有怎樣關系？【分析】用兩個三角板，根據(jù)同位角相等，兩直線平行來畫平行線，然后用量角器量一量l1與l2相交的角與∠O的關系為：相等或互補．【解答】解：（1）（2）如圖所示，（3）l1與l2夾角有兩個：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夾角與∠O相等或互補．【點評】注意∠2與∠O是互補關系，容易漏掉．題型三平行公理及其推論解題技巧提煉在判定兩條直線平行時，一定要理解它們成立的條件，特別是關鍵字詞及其重要特征.1．（2024春?東陽市月考）在同一平面內(nèi)有a，b，c三條直線，若a∥b，且a與c相交，那么b與c的位置關系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能確定【分析】根據(jù)平行于同一條直線的兩條直線平行，進行判斷即可．【解答】解：若a∥b，且a與c相交，∴b與c相交，故選：B．【點評】本題考查平行公理，解題的關鍵是正確推理．2．（2024春?和平區(qū)校級期末）若直線a，b，c，d有下列關系，則推理正確的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥d C．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【分析】根據(jù)平行公理及推論，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合題意；B、∵a∥c，b∥d，∴c與d不一定平行，故B不符合題意；C、∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合題意；D、∵a∥b，c∥d，∴a與c不一定平行，故D不符合題意；故選：C．【點評】本題考查里平行公理及推論，熟練掌握平行于同一條直線的兩條直線平行是解題的關鍵．3．（2024春?惠城區(qū)期中）下列推理中，錯誤的是（）A．因為AB⊥EF，EF⊥CD，所以AB⊥CD B．因為∠α＝∠β，∠β＝∠γ，所以∠α＝∠γ C．因為a∥b，b∥c，所以a∥c D．因為AB＝CD，CD＝EF，所以AB＝EF【分析】根據(jù)相關的定義或定理判斷．【解答】解：A、AB⊥EF，EF⊥CD，答案不確定，有多個答案，AB可能與CD平行，也可能垂直，在空間中也可能異面等，故A選項錯誤；B、由∠α＝∠β，∠β＝∠γ，根據(jù)角的等量代換可知，∠α＝∠γ，故B選項正確；C、由a∥b，b∥c，根據(jù)平行線的平行的傳遞性可知a∥c，故C選項正確；D、根據(jù)線段長度的等量代換可知AB＝EF，易知D選項正確；故選：A．【點評】主要考查學生對平行公理及推論的運用，注意等量代換的應用．4．（2023秋?新安縣期末）下列說法正確的是（）A．經(jīng)過已知一點有且只有一條直線與已知直線平行 B．兩個相等的角是對頂角 C．互補的兩個角一定是鄰補角 D．直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短【分析】根據(jù)平行公理，對頂角的定義，鄰補角的定義，以及垂線段最短的性質對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、應為在同一平面內(nèi)，經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項錯誤；B、對頂角相等，但相等的兩個角不一定是對頂角，故本選項錯誤；C、鄰補角互補，但互補的兩個角不一定是鄰補角，故本選項錯誤；D、直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，故本選項正確．故選：D．【點評】本題考查了平行公理，對頂角的定義，鄰補角的定義，垂線段最短，是基礎概念題．5．（2024春?叢臺區(qū)校級期中）如圖，過點A畫直線l的平行線，能畫（）A．兩條以上 B．2條 C．1條 D．0條【分析】經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．【解答】解：因為經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．所以如圖，過點A畫直線l的平行線，能畫1條．故選：C．【點評】本題考查了平行公理及推論．平行公理中要準確理解“有且只有”的含義．從作圖的角度說，它是“能但只能畫出一條”的意思．6．（2024春?康巴什期末）如圖，MC∥AB，NC∥AB，則點M，C，N在同一條直線上，理由是．【分析】直接利用平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行，得出即可．【解答】解：∵MC∥AB，NC∥AB，∴點M，C，N在同一條直線上，理由是：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．故答案為：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行．【點評】此題主要考查了平行公理，熟練掌握平行公理是解題關鍵．7．（2023春?安達市校級期中）如圖，AB∥CD，過點E畫EF∥AB，則EF與CD的位置關系是．【分析】根據(jù)平行公理解答．【解答】解：EF與CD的位置關系是EF∥CD，理由是：平行于同一直線的兩直線互相平行．故答案為：EF∥CD；平行于同一直線的兩直線互相平行．【點評】本題考查了平行公理，是基礎題，熟記公理是解題的關鍵．題型四同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角解題技巧提煉本題運用了定義法，識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，其關鍵是看兩個角所涉及的直線是否只有三條，并且有沒有一條邊在同一直線（截線）上，如果沒有，就不是；如果有，再根據(jù)角的位置特征判斷.1．（2024春?上城區(qū)期末）下列四個圖形中，∠1與∠2互為內(nèi)錯角的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)內(nèi)錯角的定義：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角逐一判斷即可．【解答】解：A．∠1與∠2不是內(nèi)錯角，不符合題意，選項錯誤；B．∠1與∠2不是內(nèi)錯角，不符合題意，選項錯誤；C．∠1與∠2是內(nèi)錯角，符合題意，選項正確；D．∠1與∠2不是內(nèi)錯角，不符合題意，選項錯誤，故選：C．【點評】本題考查了內(nèi)錯角，能根據(jù)內(nèi)錯角的定義正確判斷是解題關鍵．2．（2024秋?晉江市期末）如圖所示，下列說法一定正確的是（）A．∠1和∠2互為余角 B．∠1和∠4是內(nèi)錯角 C．∠3和∠4互為補角 D．∠2和∠5是同位角【分析】根據(jù)互為余角、互為補角、內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義結合具體圖形進行判斷即可．【解答】解：A．由于∠1與∠2的和不一定是90°，所以∠1和∠2不一定是互為余角，因此選項A不符合題意；B．∠1和∠4不是兩條直線被第三條直線所截得的角，不符合內(nèi)錯角的定義，因此選項B不符合題意；C．∠3和∠4是一組同旁內(nèi)角，但∠3和∠4不一定互補，因此選項C不符合題意；D．∠2和∠5是兩條直線被第三條直線所截的同位角，因此選項D符合題意．故選：D．【點評】本題考查互為余角、互為補角、內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角，掌握互為余角、互為補角、內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義是正確解答的關鍵．3．（2024秋?西山區(qū)校級期末）下列判斷錯誤的是（）A．∠2與∠4是同旁內(nèi)角 B．∠3與∠4是內(nèi)錯角 C．∠5與∠6是同旁內(nèi)角 D．∠1與∠5是同位角【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義進行解答即可．【解答】解：A、∠2與∠4是同旁內(nèi)角，原說法正確，故此選項不符合題意；B、∠3與∠4是內(nèi)錯角，原說法正確，故此選項不符合題意；C、∠5與∠6不是同旁內(nèi)角，原說法錯誤，故此選項符合題意；D、∠1與∠5是同位角，原說法正確，故此選項不符合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解題的關鍵是熟記同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義．4．（2024春?廣陽區(qū)校級期中）如圖，∠1的同位角有（）A．∠2 B．∠2或∠DME C．∠2或∠3 D．∠2或∠3或∠DME【分析】要弄清哪一條直線是截線，哪兩條直線是被截線即可求解．【解答】解：∠2是∠1的同位角，∠3不是∠1的同位角，∠DME是∠1的同位角．故選：B．【點評】此題主要考查在復雜的圖形中識別同位角，準確識別同位角，弄清哪兩條直線被哪一條線所截即可求解．5．如圖．在圖中，（1）同位角共對，內(nèi)錯角共對，同旁內(nèi)角共對；（2）∠1與∠2是，它們是被截成的；（3）∠3與∠4中被所截而得到的角；（4）AB和BE被AC所截而成的內(nèi)錯角是，同旁內(nèi)角是．【分析】（1）直接利用同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義得出答案；（2）利用內(nèi)錯角的定義得出答案；（3）利用內(nèi)錯角的定義得出答案；（4）利用已知圖形得出內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角．【解答】解：（1）同位角共4對，內(nèi)錯角共6對，同旁內(nèi)角共12對．故答案為：4；6；12；（2）∠1與∠2是內(nèi)錯角，它們是AD、BC被AC截成的．故答案為：內(nèi)錯角；AD、BC；AC；（3）∠3與∠4中AB、CD被AC所截而得到的角．故答案為：AB、CD；AC；（4）AB和BE被AC所截而成的內(nèi)錯角是∠3和∠ACE，同旁內(nèi)角是∠3和∠2．故答案為：∠3和∠ACE；∠3和∠2．【點評】此題主要考查了內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角的定義，正確把握相關定義是解題關鍵．6．（2024春?成縣月考）如圖，BF，DE相交于點A，BG交BF于點B，交AC于點C．（1）指出DE，BC被BF所截形成的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角；（2）指出DE，BC被AC所截形成的內(nèi)錯角；（3）指出FB，BC被AC所截形成的同旁內(nèi)角．【分析】（1）兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角．兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)內(nèi)錯角的定義求解即可；（3）根據(jù)同旁內(nèi)角的定義求解即可．【解答】解：（1）同位角：∠FAE和∠B；內(nèi)錯角：∠B和∠DAB；同旁內(nèi)角：∠EAB和∠B；（2）解：∠EAC和∠BCA，∠DAC和∠ACG都是內(nèi)錯角；（3）解：∠BAC和∠BCA，∠FAC和∠ACG都是同旁內(nèi)角．【點評】此題主要考查了三線八角，關鍵是掌握同位角的邊構成“F”形，內(nèi)錯角的邊構成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構成“U”形．7．（2024春?興慶區(qū)校級期中）如圖，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子變彎了？其實沒有，這是光的折射現(xiàn)象，光從空氣中射入水中，光的傳播方向發(fā)生了改變．（1）請指出∠1的同旁內(nèi)角與∠2的內(nèi)錯角；（2）若測得∠AOE＝65°，∠BOM＝145°，從水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折彎了多少度？請說明理由．【分析】（1）兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內(nèi)錯角，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內(nèi)角，由此即可得到答案；（2）由鄰補角的性質求出∠AOM的度數(shù)，由∠MOE＝∠AOE﹣∠AOM，即可得到答案．【解答】解：（1）∠1的同旁內(nèi)角是∠MOE，∠AOE，∠ADE，∠2的內(nèi)錯角是∠MOE，∠AOE；（2）∵∠BOM＝145°，∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝35°，∴∠MOE＝∠AOE﹣∠AOM＝65°﹣35°＝30°，∴水下部分向上折彎了30度．【點評】本題考查同旁內(nèi)角，內(nèi)錯角，角的計算，關鍵是掌握同旁內(nèi)角，內(nèi)錯角的定義，鄰補角的性質．8．（1）如圖1，兩條水平的直線被一條傾斜的直線所截，同位角有對，內(nèi)錯角有對，同旁內(nèi)角對；（2）如圖2，三條水平的直線被一條傾斜的直線所截，同位角有對，內(nèi)錯角有對，同旁內(nèi)角對；（3）根據(jù)以上探究的結果，n(n為大于1的整數(shù))條水平的直線被一條傾斜的直線所截，同位角有對，內(nèi)錯角有對，同旁內(nèi)角對；【分析】根據(jù)同位角是兩個角在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線同側的位置的角，內(nèi)錯角是兩個角都在截線的兩側，又分別處在被截的兩條直線中間的位置的角，根據(jù)同旁內(nèi)角是兩個角都在截線的同旁，又分別處在被截的兩條直線中間的位置的角，可得答案.【解答】如圖1，兩條水平的直線被一條傾斜的直線所截，同位角有12對，內(nèi)錯角有2對，同旁內(nèi)角2對；（2）如圖2，三條水平的直線被一條傾斜的直線所截，同位角有12對，內(nèi)錯角有6對，同旁內(nèi)角6對；（3）根位角有2n（n﹣1）對，內(nèi)錯角有n（n﹣1）對，同旁內(nèi)角n（n﹣1）對；【點評】本題考查了同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解答此類題確定三線八角是關鍵，可直接從截線入手．對平面幾何中概念的理解，一定要緊扣概念中的關鍵詞語，要做到對它們正確理解，對不同的幾何語言的表達要注意理解它們所包含的意義．題型五同位角相等，兩直線平行解題技巧提煉兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，兩直線平行.1．（2024秋?三水區(qū)期末）如圖，直線a、b被直線c所截，∠2＝36°，下列條件中可以判定a∥b的是（）A．∠1＝36° B．∠1＝54° C．∠1＝72° D．∠1＝144°【分析】先標注∠3，根據(jù)同位角相等，兩直線平行判斷即可．【解答】解：直線a、b被直線c所截，∠2＝36°，如圖，∴∠2＝∠3＝36°，∴∠1＝∠3＝36°，∴a∥b．故選：A．【點評】本題主要考查了平行線的判定，解答本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定方法．2．（2024秋?碑林區(qū)校級期末）如圖，下列條件能判定AB∥CD的是（）A．∠1＝∠5 B．∠1＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠2【分析】根據(jù)平行線的判定定理對各選項進行逐一判斷即可．【解答】解：A、∠1＝∠5，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可以判定AB∥CD；B、∠1和∠4不是直線AB、CD構成的同位角，不能判定AB∥CD；C、∵∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補，兩直線平行”可以判定EFGH，不能判定AB∥CD；D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD；故選：A．【點評】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關鍵．3．（2024春?洞頭區(qū)期中）如圖，在下列給出的條件中，能判定DF∥BC的是（）A．∠B＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180°【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠B=∠3，

∴AB∥EF，

故A不符合題意；

∵∠1=∠4，

∴AB∥EF，

故B不符合題意；

∵∠1=∠B，

∴DF∥BC，

故C符合題意；

∵∠B+∠2=180°，

∴AB∥EF，

故D不符合題意；

故選：C．【點評】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定定理是解題的關鍵．4．（2024春?昭陽區(qū)校級月考）如圖，把三角尺的直角頂點放在直線b上．若∠1＝50°，則當∠2＝時，a∥b．【分析】由直角三角板的性質可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，當∠2＝40°時，∠2＝∠3，得出a∥b即可．【解答】解：當∠2＝40°時，a∥b；理由如下：如圖所示：∵∠1＝50°，∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，當∠2＝40°時，∠2＝∠3，∴a∥b．故答案為：40°．【點評】本題考查了平行線的判定方法、平角的定義；熟記同位角相等，兩直線平行是解決問題的關鍵．5．（2024秋?新城區(qū)期末）如圖，直線a，b，c被直線l所截，其中∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°．求證：a∥c．【分析】由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行推出a∥b，由補角的性質得到∠3＝∠4，由同位角相等，兩直線平行推出b∥c，即可證明a∥c．【解答】證明：∵∠1+∠2＝180°，∴a∥b，∵∠2+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°，∴∠3＝∠4，∴b∥c，∴a∥c．【點評】本題考查平行線的判定，余角和補角，關鍵是判定a∥b，b∥c．6．（2023秋?泰和縣期末）如圖，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求證：AB∥CD．【分析】根據(jù)平行線的判定，依據(jù)角平分線的定義即可解決問題．【解答】證明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°，∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分線定義），∵∠2＝60°，（已知），∴∠2＝∠ACD（等量代換），∴AB∥CD（同位角相等兩直線平行）．【點評】本題主要考查平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．7．（2024春?樟樹市期中）將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過點C作CF平分∠DCE交DE于點F．求證：CF∥AB．【分析】根據(jù)CF平分∠DCE以及∠DCE＝90°即可得出∠FCE＝45°，再根據(jù)三角形ABC為等腰直角三角形，即可得出∠ABC＝∠FCE＝45°，利用“同位角相等，兩直線平行”即可證出結論．【解答】證明：∵CF平分∠DCE，∠DCE＝90°，∴∠FCE=12∠∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠FCE，∴CF∥AB．【點評】本題考查了平行線的判定，解題的關鍵是找出∠ABC＝∠FCE＝45°．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，找出相等（或互補）的角的關鍵．題型六內(nèi)錯角角相等，兩直線平行解題技巧提煉兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.1．A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【分析】根據(jù)題意可得：∠ADB=∠CBD=90°，然后利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得AD∥BC，即可解答．【解答】解：由題意得：∠ADB=∠CBD=90°，

∴AD∥BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

故選：B．【點評】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．2．（2024秋?哈爾濱期末）如圖，能判定AB∥CD的條件是（）A．∠A+∠ABC＝180° B．∠A＝∠C C．∠CBD＝∠ADB D．∠ABD＝∠CDB【分析】根據(jù)平行線的判定定理判斷求解即可．【解答】解：∵∠A+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，故A不符合題意；由∠A＝∠C，不能判定AB∥CD，故B不符合題意；∵∠CBD＝∠ADB，∴AD∥BC，故C不符合題意；∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，故D符合題意；故選：D．【點評】此題考查了平行線的判定定理，熟記平行線的判定定理是解題的關鍵．3．（2024秋?蘭州期末）如圖，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分別是∠ABC，∠ADC的角平分線，∠1＝∠2，求證：DC∥AB．【分析】先利用角平分線定義得到∠3=12∠ADC，∠2=12∠ABC，而∠ABC＝∠ADC，則∠3＝∠2，加上∠1＝∠2，則∠1＝∠3，于是可根據(jù)平行線的判定得到【解答】證明：∵BF，DE分別是∠ABC，∠ADC的角平分線，∴∠3=12∠ADC，∠2=1∵∠ABC＝∠ADC，∴∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DC∥AB．【點評】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．4．（2024秋?黃埔區(qū)期中）如圖，∠B＝42°，∠A+10°＝∠1，∠ACD＝64°，證明：AB∥CD．【分析】在△ABC中，∠B＝42°即已知∠A+∠1＝180°﹣42°＝138°，又∠A+10°＝∠1可以求出∠A的大小，只要能得到∠A＝64°，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，就可以證出結論．【解答】證明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1＝180°，∠B＝42°，∴∠A+∠1＝138°，又∵∠A+10°＝∠1，∴∠A+∠A+10°＝138°，解得：∠A＝64°．∴∠A＝∠ACD＝64°，∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．【點評】本題主要考查了平行線的判定，解決問題的關鍵是利用三角形內(nèi)角和定理和∠A與∠1的關系求出∠A的度數(shù)，再利用平行線的判定方法得證．5．（2024秋?城關區(qū)校級期末）如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．求證：AB∥CE．【分析】由同旁內(nèi)角互補，兩直線平行推出DE∥BC，得到∠ADF＝∠B，因此∠ADF＝∠E，即可證明AB∥CE．【解答】證明：∵∠1+∠2＝180°，∴DE∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠B＝∠E，∴∠ADF＝∠E，∴AB∥CE．【點評】本題考查平行線的判定，關鍵是判定DE∥BC，得到∠ADF＝∠E．6．（2023秋?高州市期末）已知：如圖，BC⊥AC于點C，CD⊥AB于點D，∠EBC＝∠A，求證：BE∥CD．【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，等量代換可得∠EBC＝∠BCD，再根據(jù)平行線的判定定理即可得到結論．【解答】解：∵BC⊥AC，CD⊥AB，∴∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，∴∠BCD＝∠A，∵∠EBC＝∠A，∴∠EBC＝∠BCD，∴BE‖CD．【點評】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關鍵．7．（2024秋?福州期末）如圖，點O在直線AB上，OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，F(xiàn)是DE上一點，連結OF．（1）求證：OC⊥OD；（2）若∠D與∠1互余，求證：ED∥AB．【分析】（1）根據(jù)OC平分∠AOF，OD平分∠BOF可知∠COF=12∠AOF，∠DOF=1（2）由（1）知∠COD＝90°，故可得出∠1+∠DOB＝90°，再由∠D+∠1＝90°可知∠D＝∠DOB，故可得出結論．【解答】證明：（1）∵OC平分∠AOF，OD平分∠BOF，∴∠COF=12∠AOF，∠DOF=1∵∠AOF+∠BOF＝180°，∴∠COF+∠DOF=12（∠AOF+∠∴OC⊥OD；（2）由（1）知，OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠DOB＝90°，∵∠D+∠1＝90°，∴∠D＝∠DOB，∴ED∥AB．【點評】關鍵．題型七同旁內(nèi)角互補，兩直線平行1．（2024春?灤南縣期末）如圖，由∠A+∠B=180°，可得：．理由是

．【分析】根據(jù)平行線的判定定理即可得到結論．【解答】解：由∠A+∠B=180°，可得：AD∥BC，理由是同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；

故答案為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．【點評】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關鍵．2．（2024秋?陽山縣期末）如圖，∠2=∠3=65°，要使直線a∥b,則∠1=度．【分析】根據(jù)平行線的判定解決問題即可．【解答】解：要使直線a∥b,必須∠1+∠2+∠3=180°，

∴∠1=180°﹣65﹣65°=50°，

故答案為50．【點評】本題考查平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．3．（2024秋?康平縣期末）如圖，點E在BC的延長線上，對于給出的四個條件：①∠1＝∠3；②∠2+∠5＝180°；③∠4＝∠B；④∠D+∠BCD＝180°．其中能判斷AD∥BC的是（）A．①② B．①④ C．①③ D．②④【分析】同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，據(jù)此進行判斷即可．【解答】解：①∵∠1＝∠3，∴AD∥BC；②∵∠2+∠5＝180°，∵∠5＝∠AGC，∴∠2+∠AGC＝180°，∴AB∥DC；③∵∠4＝∠B，∴AB∥DC；④∵∠D+∠BCD＝180°，∴AD∥BC．故選：B．【點評】本題主要考查了平行線的判定，解題時注意：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．4．如圖，已知∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°，求證：BC∥GD．【分析】由已知等式等量代換得到一對同旁內(nèi)角互補，利用同旁內(nèi)角互補兩直線平行即可得證．【解答】證明：∵∠ABC＝∠BCD，∠ABC+∠CDG＝180°（已知），∴∠BCD+∠CDG＝180°（等量代換），∴BC∥GD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）．【點評】此題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解本題的關鍵．5．（2024春?江陰市校級月考）如圖，∠1=75°，∠2=105°，AB與ED平行嗎？為什么？【分析】根據(jù)鄰補角互補可得∠1+∠COA=180°，然后再計算出∠COA的度數(shù)，進而可得根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得AB與ED平行．【解答】解：AB與ED平行，

∵∠1+∠COA=180°，∠1=75°，

∴∠COA=180°﹣75°=105°，

∵∠2=105°，

∴∠AOC=∠2，

∴AB∥ED．【點評】此題主要考查了平行線的判定，關鍵是掌握同位角相等，兩直線平行．6．（2024秋?新興縣校級期中）已知：如圖，E為AC上一點，BE⊥DE，∠1＝∠B，∠2＝∠D，求證：AB∥CD．【分析】由BE⊥DE，得到∠1+∠2＝90°，于是得到∠1+∠B+∠2+∠D＝180°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠A+∠C＝360°﹣∠1﹣∠B﹣∠2﹣∠D＝180°，于是得到結論．【解答】證明：∵BE⊥DE，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝∠B，∠2＝∠D，∴∠1+∠B+∠2+∠D＝180°，∵∠A+∠1+∠B＝∠C+∠2+∠D＝180°，∴∠A+∠C＝360°﹣∠1﹣∠B﹣∠2﹣∠D＝180°，∴AB∥CD．【點評】本題考查了平行線的判定，垂線的定義，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關鍵．7．（2024春?郾城區(qū)校級月考）如圖，∠B+∠E+∠C=360°，試判斷AB與CD是否平行？請說明理由．【分析】過點E作AB∥EF，再根據(jù)平行公理的推論得出即可．【解答】解：AB與CD平行，理由如下：

過點E作AB∥EF，

∵AB∥EF，

∴∠B+∠BEF=180°，

∵∠B+∠E+∠C=360°，

∴∠C+∠CEF=180°，

∴EF∥CD，

∴AB∥CD．【點評】本題考查了平行線的判定和平行公理的推論的應用，能求出AB和EF平行是解此題的關鍵，注意：平行線的判定有：①同位角相等，兩直線平行，②內(nèi)錯角相等，兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．題型八利用兩直線平行的條件解決實際問題解題技巧提煉題中會給出一個生活中的實際問題，要讀懂題意，結合圖形構造平行線模型，選擇相應的判定定理求解.1．（2024春?太原期中）木工師傅用圖中的角尺畫平行線，他依據(jù)的數(shù)學道理是（）A．同位角相等，兩直線平行B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行C．兩直線平行，同位角相等D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【分析】根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得出結論．【解答】解：木工師傅用圖中的角尺畫平行線，他依據(jù)的數(shù)學道理是同位角相等，兩直線平行，

故選：A．【點評】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定方法是解答此題的關鍵．2．（2024春?新吳區(qū)月考）光線從空氣中射入水中會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時光線從水中射入空氣中也會產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據(jù)光學知識有∠1＝∠2，∠3＝∠4，請判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．【分析】根據(jù)等角的補角相等求出∠3與∠4的補角相等，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可判定a∥b．【解答】解：平行．理由如下：如圖，∵∠3＝∠4，∴∠5＝∠6，∵∠1＝∠2，∴∠1+∠5＝∠2+∠6，∴a∥b．【點評】本題考查了平行線的判定，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定．3．如圖，是一個防盜窗欞的示意圖，如果測得∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°，能否斷定AB∥CD，已知條件夠不夠？如不夠，需要再補充一個什么條件？【分析】根據(jù)平行線的判定方法由∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝60°不能斷定AB∥CD，當補充BA＝BC時，則∠BAC＝∠3＝60°＝∠2，于是可根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到AB∥CD．【解答】解：不能判斷AB∥CD，可以補充BA＝BC．∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠3＝60°，而∠2＝60°，∴∠BAC＝∠2，∴AB∥CD．【點評】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．4．如圖所示，一束光線在兩面垂直的玻璃墻內(nèi)進行傳播，路徑為A→B→C→D．若∠1=30°，∠3=60°，探究直線AB與CD是否平行？為什么？【分析】根據(jù)光線反射得到∠2=∠1=30°，∠3=∠4=60°，再利用平角的定義得到∠ABC=120°，∠BCD=60°，則∠ABC+∠BCD=180°，于是根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可判斷直線AB與CD平行．【解答】解：AB∥CD．理由如下：

根據(jù)光的反射定律和等角的余角相等得到∠2=∠1=30°，∠3=∠4=60°

∴∠ABC=120°，∠BCD=60°，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴AB∥CD．【點評】本題考查了平行線的判定：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．5．你知道潛水艇嗎？它在軍事上的作用可大呢．潛水艇下潛后，艇內(nèi)人員以用潛望鏡來觀察水面上的情況，如圖①．其實它的原理非常簡單，（如圖②，潛望鏡中的兩個平面鏡與水平方向的夾角都為45°，光線經(jīng)過鏡子反射時，∠1=∠2，∠3=∠4．你能解釋為什么進入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行嗎？

【分析】首先分別求出∠5，∠6的度數(shù)，然后根據(jù)平行線的判定定理：內(nèi)錯角相等，兩直線平行，進行判定．【解答】解：∵∠1=∠2=45°，∠3=∠4=45°，

∴∠5=180°-45°×2=90°，

∠6=180°-45°×2=90°，

∴∠5=∠6，

故進入潛望鏡的光線和離開潛望鏡的光線是平行的．【點評】本題考查了平行線的判定，解答本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定定理：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．6．（2024春?沂水縣期中）【問題情境】學習了平行線后，小明想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，他是通過折一張半透明的紙得到的（如圖中的①—④，虛線部分表示折痕）．【操作發(fā)現(xiàn)】發(fā)現(xiàn)一：如圖④，由圖②中的折疊可知，PE⊥AB，由圖③中的折疊可知，PE⊥CD，則AB∥CD．用數(shù)學符號寫出這個推理過程，并注明推理的依據(jù)．發(fā)現(xiàn)二：如圖④，由圖②中的折疊可知，∠1＝90°，由圖③中的折疊可知∠2＝90°，則∠1＝∠2，所以AB∥CD．用數(shù)學符號寫出這個推理過程，并注明推理的依據(jù)．【解決問題】如圖⑤，AD⊥BC于點D，AD平分∠BAC，EG⊥BC于點G．求證：∠E＝∠1．【分析】發(fā)現(xiàn)一：利用同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行進行分析即可；發(fā)現(xiàn)二：利用同位角相等，兩直線平行進行分析即可；【解決問題】：由題意可得AD∥EG，則有∠1＝∠2，∠E＝∠3，再由角平分線的定義可得∠2＝∠3，則可求得∠1＝∠E．【解答】發(fā)現(xiàn)一：解：∵PE⊥AB，PE⊥CD，∴AB∥CD（同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行）；發(fā)現(xiàn)二：解：∵∠1＝90°，∠2＝90°，∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）；【解決問題】：證明：∵AD⊥BC于點D，EG⊥BC于點G，∴AD∥EG，∴∠1＝∠2，∠E＝∠3，又∵AD平分∠BAC，∴∠2＝∠3．∴∠E＝∠1．【點評】本題主要考查平行線的判定，解答的關鍵是熟記平行線的判定定理并靈活運用．題型九通過閱讀推理過程填空解題技巧提煉題中會給出一個平行線判定問題的求解過程，要求填寫理由，此時要認真分析題意，然后聯(lián)系上下文求.1．（2024秋?道里區(qū)校級月考）根據(jù)圖形填空：如圖所示，完成推理過程．（1）∵∠1＝∠3（已知），∴∥（）．（2）∵∠2＝∠3（已知），∴EF∥AD（）．（3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知），∴DG∥BA（）．（4）∵∠B＝∠CDG（已知），∴∥（）．【分析】根據(jù)平行線的判定方法逐一進行作答即可．【解答】解：（1）∵∠1＝∠3（已知），∴AB∥DG（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；（2）∵∠2＝∠3（已知），∴EF∥AD（同位角相等，兩直線平行）；（3）∵∠DGA+∠BAC＝180°（已知），∴DG∥BA（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）；（4）∵∠B＝∠CDG（已知），∴AB∥DG（同位角相等，兩直線平行）；故答案為：（1）AB，DG，內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）同位角相等，兩直線平行；（3）同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；（4）AB，DG，同位角相等，兩直線平行．【點評】本題考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法，是解題的關鍵．2．（2024春?禪城區(qū)校級期中）如圖，已知E，B，C三點共線，BE平分∠DBF，∠1＝∠ACB，試說明：BF∥AC．因為BE平分∠DBF（），所以＝（），又因為∠1＝∠ACB（），所以∠2＝∠ACB（）．所以BF∥AC（）．【分析】根據(jù)角平分線的定義得到∠1＝∠2，結合已知，通過等量代換得到∠2＝∠ACB，即可證明．【解答】解：因為BE平分∠DBF（已知），所以∠1＝∠2（角平分線的定義），又因為∠1＝∠ACB（已知），所以∠2＝∠ACB（等量代換）．所以BF∥AC（同位角相等，兩直線平行）．【點評】此題考查了平行線的判定，角平分線的定義，熟練掌握平行線的判定方法是解本題的關鍵．3．（2024春?龍華區(qū)期中）在橫線上填上適當?shù)膬?nèi)容，完成下面的證明．已知，直線a，b，c，d的位置如圖所示，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠4，求證：c∥d．證明：如圖，∵∠1+∠2＝180°（），∠2+∠3＝180°（平角的定義），∴＝∠3（），又∵∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠4（），∴c∥d（）．【分析】由已知及鄰補角的定義得到∠3＝∠1，等量代換得出∠1＝∠4，即可判定c∥d．【解答】證明：如圖，∵∠1+∠2＝180°（已知），∠2+∠3＝180°（平角的定義），∴∠3＝∠1（同角的補角相等），又∵∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠4（等量代換），∴c∥d（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：已知；同角的補角相等；∠1；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點評】此題考查了平行線的判定，熟記“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”是解題的關鍵．4．（20224秋?洛寧縣期末）如圖，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°．AC與BD平行嗎？AE與BF平行嗎？抄寫下面的解答過程，并填空或填寫理由．解：∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知）∴∠1＝∠2（）；∴AC∥BD（）；又∵AC⊥AE，BD⊥BF，（已知），∴（垂直的定義）；∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（）；即∠＝∠；∴∥（同位角相等，兩直線平行）．【分析】根據(jù)平行線的判定與性質求解即可．【解答】解：AC∥BD，AE∥BF，理由如下：如圖，∵∠1＝35°，∠2＝35°（已知），∴∠1＝∠2（等量代換），∴AC∥BD（同位角相等，兩直線平行），又∵AC⊥AE，BD⊥BF（已知），∴∠EAC＝∠FBD＝90°（垂直的定義），∴∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（等式的性質），即∠EAB＝∠FBM，∴AE∥BF（同位角相等，兩直線平行），故答案為：等量代換；同位角相等，兩直線平行；∠EAC＝∠FBD＝90°；等式的性質；EAB；FBM；AE；BF．【點評】此題考查了平行線的判定，熟記平行線的判定是解題的關鍵．5．（2024春?防城港期末）已知：如圖，EF⊥FG，垂足為F，且點F在直線CD上，F(xiàn)E與直線AB相交于點H，∠1+∠2＝90°．求證：AB∥CD．（請完成下面的證明過程）證明：∵EF⊥FG（已知），∴∠EFG＝°（垂直的定義），即∠EFD+＝90°．又∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠EFD＝（），∴AB∥CD（）．【分析】根據(jù)垂線定義得出∠EFG＝90°，根據(jù)余角性質得出∠EFD＝∠1，根據(jù)平行線的判定，得出結論即可．【解答】證明：∵EF⊥FG（已知），∴∠EFG＝90°（垂直的定義），即∠EFD+∠2＝90°，又∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠EFD＝∠1（同角的余角相等），∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）．故答案為：90；∠2；∠1；同角的余角相等；同位角相等，兩直線平行．【點評】本題主要考查了垂線定義，平行線的判定，關鍵是平行性判定方法的掌握．6．請你將下面的證明補充完整，并在括號內(nèi)填寫推理依據(jù)．如圖，點M在直線AB上，MP⊥直線CD，垂足為P，MP平分∠NMQ，∠AMN＝∠BMQ．求證：AB∥CD．證明：∵MP平分∠NMQ，∴∠NMP＝∠PMQ（）∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，∴∠AMN+＝+∠PMQ．∵∠AMB＝180°，∴∠AMP＝90°，∵MP⊥直線CD，∴∠MPD＝90°（）．∴AB∥CD（）【分析】先根據(jù)角平分線的定義得出∠NMP＝∠PMQ，再由∠AMN＝∠BMQ得出∠AMN+∠NMP＝∠BMQ+∠PMQ，根據(jù)補角的定義得出∠AMP＝90°，由此可得出結論．【解答】證明：∵MP平分∠NMQ，∴∠NMP＝∠PMQ（角平分線的定義）．∵∠AMN＝∠BMQ；∠NMP＝∠PMQ，∴∠AMN+∠NMP＝∠BMQ+∠PMQ．∵∠AMB＝180°，∴∠AMP＝90°，∵MP⊥直線CD，∴∠MPD＝90°（垂直的定義），∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：角平分線的定義；∠NMP，∠BMQ；垂直的定義；內(nèi)錯角相等，兩直線平行．【點評】本題考查的是平行線的判定，用到的知識點為：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．7．（2024春?皇姑區(qū)期末）按邏輯填寫步驟和理由，將下面的證明過程補充完整．如圖，直線MN分別與直線AC、DG交于點B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分線BE交直線DG于點E，∠BFG的角平分線FC交直線AC于點C．求證：BE∥CF．證明：∵∠1＝∠2（已知），∠ABF＝∠1（對頂角相等）∠BFG＝∠2（）∴∠ABF＝（等量代換），∵BE平分∠ABF（已知），∴∠EBF=12（∵FC平分∠BFG（已知），∴∠CFB=12（∴∠EBF＝，∴BE∥CF（）．【分析】根據(jù)對頂角相等、角平分線定義求出∠EBF＝∠BFC，根據(jù)平行線的判定得出即可．【解答】證明：∵∠1＝∠2（已知），∠ABF＝∠1（對頂角相等），∠BFG＝∠2（對頂角相等），∴∠ABF＝∠BFG（等量代換），∵BE平分∠ABF（已知），∴∠EBF=12∠∵FC平分∠BFG（已知），∴∠CFB=12∠∴∠EBF＝∠CFB，∴BE∥CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故答案為：對頂角相等；∠BFG；12∠ABF；角平分線的定義；∠BFG；角平分線的定義；∠CFB【點評】本題考查了平行線的性質和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵．題型十平行線判定方法的綜合運用解題技巧提煉由兩角相等或互補關系，判定兩條直線平行，其關鍵是找出兩個角是哪兩條直線被第三條直線所截而成的角.2、選用兩角相等，還是選用互補關系說明兩條直線平行，應根據(jù)所給的圖形，靈活運用其中一種方法說明即可.1．（2024秋?紫金縣期末）如圖，下列條件中，不能判斷直線a∥b的是（）A．∠1+∠3＝180° B．∠2＝∠3 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠6【分析】結合圖形分析兩角的位置關系，根據(jù)平行線的判定方法判斷．【解答】解：A．由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠3，故能判斷直線a∥b；B．由