高三高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練習(xí)6-3等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

631．對(duì)任意等比數(shù)列{an}，下列說(shuō)法一定正確的是()A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，a3·a9＝aeq\o\al(2,6)≠0，因此a3，a6，a9一定成等比數(shù)列，選D.【答案】D2．(2018·珠海模擬)在等比數(shù)列{an}中，若a1<0，a2＝18，a4＝8，則公比q等于()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)或－eq\f(2,3)【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q＝18，,a1q3＝8))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝27，,q＝\f(2,3)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－27，,q＝－\f(2,3).))又a1<0，因此q＝－eq\f(2,3).【答案】C3．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n等于()A．12 B．13C．14 D．15【解析】設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1a2a3＝4＝aeq\o\al(3,1)q3與a4a5a6＝12＝aeq\o\al(3,1)q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aeq\o\al(3,1)q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14，故選C.【答案】C4．(2018·昆明模擬)在等比數(shù)列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的兩根，則a5的值是()A．－2 B．－eq\r(2)C．±eq\r(2) D.eq\r(2)【解析】根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系得a3＋a7＝－4，a3a7＝2，由a3＋a7＝－4<0，a3a7>0，所以a3<0，a7<0，即a5<0，由a3a7＝aeq\o\al(2,5)，得a5＝－eq\r(a3a7)＝－eq\r(2).【答案】B5．(2017·全國(guó)Ⅱ卷)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞【解析】設(shè)塔的頂層的燈數(shù)為a1，七層塔的總燈數(shù)為S7，公比為q，則由題意知S7＝381，q＝2，∴S7＝eq\f(a1（1－q7）,1－q)＝eq\f(a1（1－27）,1－2)＝381，解得a1＝3.故選B.【答案】B6．(2018·銅仁質(zhì)檢)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．1 D．－eq\f(\r(3),2)【解析】因?yàn)閍3a4a5＝3π＝aeq\o\al(3,4)，所以a4＝3eq\s\up6(\f(π,3)).log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3aeq\o\al(7,4)＝7log33eq\s\up6(\f(π,3))＝eq\f(7π,3)，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝eq\f(\r(3),2).【答案】B7．(2017·北京高考)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則eq\f(a2,b2)＝________．【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，則由a4＝a1＋3d，得d＝eq\f(a4－a1,3)＝eq\f(8－（－1）,3)＝3，由b4＝b1q3得q3＝eq\f(b4,b1)＝eq\f(8,－1)＝－8，∴q＝－2.∴eq\f(a2,b2)＝eq\f(a1＋d,b1q)＝eq\f(－1＋3,－1×（－2）)＝1.【答案】18．設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項(xiàng)和且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________．【解析】依題意，知數(shù)列{an}的公比q≠－1，數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比數(shù)列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30；又S20>0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，S40＝150.【答案】1509．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝1(n∈N*)，則通項(xiàng)an＝________．【解析】∵an＋Sn＝1，①∴a1＝eq\f(1,2)，an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，②由①－②，得an－an－1＋an＝0，即eq\f(an,an－1)＝eq\f(1,2)(n≥2)，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為eq\f(1,2)，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，則an＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－1)＝eq\f(1,2n).【答案】eq\f(1,2n)10．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列且bn＝eq\f(an＋1,an)，若b10·b11＝2，則a21＝________．【解析】∵b1＝eq\f(a2,a1)＝a2，b2＝eq\f(a3,a2)，∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝eq\f(a4,a3)，∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1024.【答案】102411．已知{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝3，a4＝12，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}是等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題意得d＝eq\f(a4－a1,3)＝eq\f(12－3,3)＝3，所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n∈N*)．設(shè)等比數(shù)列{bn－an}的公比為q，由題意得q3＝eq\f(b4－a4,b1－a1)＝eq\f(20－12,4－3)＝8，解得q＝2.所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.從而bn＝3n＋2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n∈N*)，數(shù)列{3n}的前n項(xiàng)和為eq\f(3,2)n(n＋1)，數(shù)列{2n－1}的前n項(xiàng)和為1×eq\f(1－2n,1－2)＝2n－1.所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為eq\f(3,2)n(n＋1)＋2n－1.12．(2018·昆明一檢)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn，S18∶S9＝7∶8.(1)求證：S3，S9，S6依次成等差數(shù)列；(2)a7與a10的等差中項(xiàng)是不是數(shù)列{an}中的項(xiàng)？如果是，是{an}中的第幾項(xiàng)？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】(1)證明設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，若q＝1，則S18＝18a1，S9＝9a1，S18∶S9＝2∶1≠7∶8，∴q≠1.∴S18＝eq\f(a1（1－q18）,1－q)，S9＝eq\f(a1（1－q9）,1－q)，S18∶S9＝1＋q9.∴1＋q9＝eq\f(7,8)，解得q＝－2－eq\f(1,3).∴S3＝eq\f(a1（1－q3）,1－q)＝eq\f(3,2)×eq\f(a1,1－q)，S6＝eq\f(a1（1－q6）,1－q)＝eq\f(3,4)×eq\f(a1,1－q)，S9＝eq\f(a1（1－q9）,1－q)＝eq\f(9,8)×eq\f(a1,1－q).∵S9－S3＝－eq\f(3,8)×eq\f(a1,1－q)，S6－S9＝－eq\f(3,8)×eq\f(a1,1－q)，∴S9－S3＝S6－S9.∴S3，S9，S6依次成等差數(shù)列．(2)a7與a10的等差中項(xiàng)為eq\f(a7＋a10,2)＝eq\f(a1（2－2－2－3）,2)＝eq\f