福建省南平市高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)量檢查（2月）數(shù)學(xué)（理）試題

福建省南平市2018屆高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)量檢查（2月）數(shù)學(xué)（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A．B．C．D．2.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．3.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為一個確定的常數(shù)，下列各式中也為確定常數(shù)的是（）A．B．C．D．4.已知點(diǎn)是圓的內(nèi)部任意一點(diǎn)，則點(diǎn)滿足的概率是（）A．B．C．D．5.已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，若，則的面積為（）A．B．C．D．6.公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面枳，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”.如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計(jì)的一個程序框圖，則輸出的值為（）（參考數(shù)據(jù)：，)A．12B．24C．48D．967.已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（）A．B．C．D．8.直線與拋物線相交與兩點(diǎn)，若(是坐標(biāo)原點(diǎn)），則面積的最小值為（）A．32B．24C．16D．89.若是自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A．B．C．D．10.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為，則（）A．10B．20C．D．11.已知數(shù)列滿足，則該數(shù)列的前23項(xiàng)的和為（）A．4194B．4195C．2046D．204712.已知，且，，則（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.的展開式中含的系數(shù)為50，則的值為．14.已知，向量在向量上的投影為，則．15.已知實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍．16.在三棱錐中，,,與平面所成角的余弦值為，則三棱錐外接球的表面積為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在中,分別為角的對邊，且.（1）若，求及；（2）若在線段上，且，求的長.18.如圖，在三棱柱中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）若，求證：平面；:（2）若，求二面角的余弦值.19.有甲、乙兩個桔柚（球形水果）種植基地，已知所有采摘的桔柚的直徑都在范圍內(nèi)（單位：毫米，以下同），按規(guī)定直徑在內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機(jī)抽取500個，測量這些桔柚的直徑，所得數(shù)據(jù)整理如下：（1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并回答是否有以上的把握認(rèn)為“桔柚直徑與所在基地有關(guān)”？（2）求優(yōu)質(zhì)品率較高的基地的500個桔柚直徑的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)：（3）經(jīng)計(jì)算，甲基地的500個桔柚直徑的樣本方差，乙基地的500個桔柚直徑的樣本方差，，并且可認(rèn)為優(yōu)質(zhì)品率較高的基地采摘的桔柚直徑服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.由優(yōu)質(zhì)品率較高的種植基地的抽樣數(shù)據(jù)，估計(jì)該基地采摘的桔柚中，直徑不低于86.78亳米的桔柚在總體中所占的比例.附：，.若，則.，.20.已知過點(diǎn)的橢圓的離心率為.（1）求橢圓方程；（2）不過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(異于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為,直線的斜率為1.記直線的斜率分別為.問是否為定值?若為定值，請求出定值.若不為定值，請說明理由.21.已知定義在區(qū)間上的函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式恒成立，求的取值范圍.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓的極坐標(biāo)方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)|與的交點(diǎn)為，求的面積.23.選修45：不等式選講已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若對任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.試卷答案一、選擇題15:DCBDC610:BDCAD11、12：AA二、填空題13.14.15.16.三、解答題（17）.解：（Ⅰ）∵，，，在△ABC中，由正弦定理，得，又，所以，則C為銳角，所以，則，所以（Ⅱ）設(shè)，則，又，，在△ABE中，由余弦定理得，即，解得（取正），則，,所以，在直角△ADE中，．（18）（Ⅰ）證明：因?yàn)锽A=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BEAC，又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABC=AC，平面ABC，所以BE平面A1ACC1，又A1C平面A1ACC1，所以BEA1C，又BC1A1C，BEBC1=B，所以A1C平面C1EB（Ⅱ）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，又E為所以A1EAC,又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABC=AC，A1E平面A1ACC1，所以A1E平面ABC，以E點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以射線EB，EC，EA1為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，,，設(shè)平面A1BC1的一個法向量得，取得，設(shè)平面C1EB的一個法向量為,得，取得，，故所求的二面角A1—BC1—E的余弦值為（19）解：（Ⅰ）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表如下：甲基地乙基地合計(jì)優(yōu)質(zhì)品420390810非優(yōu)質(zhì)品80110190合計(jì)5005001000，所以,有95%的把握認(rèn)為：“兩個基地采摘的水果直徑有差異”．（Ⅱ）甲基地水果的優(yōu)質(zhì)品率為，甲基地水果的優(yōu)質(zhì)品率為，所以，甲基地水果的優(yōu)質(zhì)品率較高，甲基地的500個桔柚直（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，甲基地的桔柚直徑，所以，估計(jì)甲基地采摘的桔柚中，直徑不低于86.78毫米的桔柚在總體中所占的比例大約為.（20）解:（Ⅰ）由題意得,解得,則橢圓的方程為(Ⅱ)由題意可設(shè)直線方程為,令則.直線的斜率為1,,即(1)則代入(1)式得,因此,則,即為定值（21）解：（Ⅰ）①當(dāng)時,.即是上的增函數(shù).②當(dāng)時,,令得,則的增區(qū)間為減區(qū)間為（Ⅱ）由不等式,恒成立,得不等式,恒成立.①當(dāng)時,由（Ⅰ）知是上的增函數(shù),,即當(dāng)時,不等式,恒成立.②當(dāng)時,,.令,則.要使不等式,恒成立,只要.令.是上的減函數(shù),又,,則,即,解得,故綜合①,②得,即的取值范圍是（22）解:（Ⅰ）直線的直角坐標(biāo)方程為圓的普通方程為因?yàn)?所以的極坐標(biāo)方程為（Ⅱ）將代入,得,解得,故,即.由于圓的半徑為,所以的面積為（23）解：（Ⅰ）①得，不合題意，舍去②得，③得，綜上不等式的解集為（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則則，解得即實(shí)數(shù)的取值范圍是2018年南平市普通高中畢業(yè)班第一次綜合質(zhì)量檢查試卷理科數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評分細(xì)則.2、對計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分.3、只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題和填空題不給中間分.一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分60分．（1）D（2）C（3）B（4）D（5）C（6）B（7）D（8）C（9）A（10）D（11）A（12）A二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算，每小題5分，滿分20分．（13）（14）（15）（16）三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．（17）解：（Ⅰ）∵，，，在△ABC中，由正弦定理，………………（1分）得，………………（2分）又，所以，則C為銳角，所以，………………（3分）則，………………（5分）所以………………（6分）（Ⅱ）設(shè)，則，又，，在△ABE中，由余弦定理得，……………（8分）即，解得（取正），………………（9分）則，,所以，………………（11分）在直角△ADE中，．………………（12分）（18）（Ⅰ）證明：因?yàn)锽A=BC，E為AC的中點(diǎn)，所以BEAC，又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABC=AC，平面ABC，所以BE平面A1ACC1，………………2分又A1C平面A1ACC1，所以BEA1C，又BC1A1C，BEBC1=B，所以A1C平面C1EB………………4分（Ⅱ）連接A1E，因?yàn)锳1A=A1C，又E為AC所以A1EAC,又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABC=AC，A1E平面A1ACC1，所以A1E平面ABC，…………6分以E點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以射線EB，EC，EA1為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，,，…………7分設(shè)平面A1BC1的一個法向量得，取得，…………9分設(shè)平面C1EB的一個法向量為,得，取得，…………11分，故所求的二面角A1—BC1—E的余弦值為…………12分（19）解：（Ⅰ）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表如下：甲基地乙基地合計(jì)優(yōu)質(zhì)品420390810非優(yōu)質(zhì)品80110190合計(jì)5005001000……………（2分），所以,有95%的把握認(rèn)為：“兩個基地采摘的水果直徑有差異”．……………（4分）（Ⅱ）甲基地水果的優(yōu)質(zhì)品率為，甲基地水果的優(yōu)質(zhì)品率為，所以，甲基地水果的優(yōu)質(zhì)品率較高，……………（5分）甲基地的500個桔柚直（6分）……………（8分）（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，甲基地的桔柚直徑…………（9分），……（10分）……（11分）所以，估計(jì)甲基地采摘的桔柚中，直徑不低于86.78毫米的桔柚在總體中所占的比例大約為.…………（12分）（20）解:（Ⅰ）由題意得,解得,則橢圓的方程為……3分(Ⅱ)由題意可設(shè)直線方程為,令則.直線的斜率為,,即(1)………………5分則代入(1)式得,因此,………………8分則,即為定值………………12分（21）解：（Ⅰ）………………2分①當(dāng)時,.即是上的增函數(shù).………………3分②當(dāng)時,,令得,則的增區(qū)間為減區(qū)間為………………5分（Ⅱ）由不等式,恒成立,得不等式,恒成立.……6分①當(dāng)時,由（Ⅰ）知是上的增函數(shù),,即當(dāng)時,不等式,恒成立.………………8分②當(dāng)時,,.令,則.要使不等式,恒成立,只要.………………10分令.是上的減函數(shù),又,,則,即,解得,故綜合①,②得,即的取值范圍是……………12分（22）解:（Ⅰ）直線的直角坐標(biāo)方程為……………2分圓的普通方程為因?yàn)?所以的極坐標(biāo)方程為……………5分（Ⅱ）將代入,得,解