陜西省榆林市府谷縣高中聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期第五次考試（12月）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省榆林市府谷縣高中聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期第五次考試（12月）數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，，，則可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，，因此中不能有元素1，2，3，選項(xiàng)ABC不滿足，D符合題意.故選：D2.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，故，故充分性成立，當(dāng)時(shí)，滿足，解得，故此時(shí)必要性成立，故C正確.故選：C3.在等差數(shù)列中，若，則（）A.3 B.6 C.9 D.12【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，設(shè)首項(xiàng)和公差分別為，則，解得.故選：B.4.已知為奇函數(shù)，則（）A.1 B.2 C.0 D.【答案】A【解析】∵fx∴，∴，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故選：A.5.早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂(lè)》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨設(shè)，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，（）所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：D．6.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋獾?，所以，故選：B.7.《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖.圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田，已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是正八邊形的內(nèi)部（包含邊界）任一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：根據(jù)正八邊形的特征，可知，又，所以，，則的取值范圍是.故選：B.8.已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，其中為左焦點(diǎn)，是與在第一象限的公共點(diǎn).線段的垂直平分線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若的離心率為，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令線段的垂直平分線與的交點(diǎn)為，顯然是的中點(diǎn)，而是的中點(diǎn)，則，而，因此，，則，令與的半焦距為，由，得，于是，解得，則，，所以的漸近線方程為.故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足是的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.虛部為B.復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限C.D.【答案】BC【解析】的虛部為5，故A錯(cuò)誤；在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故B正確；，故C正確；虛數(shù)不能比較大小，故D錯(cuò)誤，故選：BC.10.已知函數(shù)，，對(duì)，f(x)與g(x)中的最大值記為，則（A.函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為， B.函數(shù)的最小值為C.方程有3個(gè)解 D.方程最多有4個(gè)解【答案】BCD【解析】對(duì)于A，由，即，得或，所以的零點(diǎn)為和3，所以A不正確；對(duì)于B，因?yàn)榈慕鉃楹停膳c的圖象可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)榈膱D象與有3個(gè)交點(diǎn)，所以方程有3個(gè)解，所以C正確；對(duì)于D，令，因?yàn)?，由選項(xiàng)B中的圖象可知，當(dāng)時(shí)，最多有2個(gè)解，，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)解；而有2個(gè)解，故最多有4個(gè)解，所以D正確．故選：BCD．11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值點(diǎn)為C.存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增D.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】AD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，則，其中，當(dāng)時(shí)，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，故A正確；當(dāng)時(shí)，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，則為極小值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以函?shù)無(wú)最小值，故不存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；若恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有極小值，即最小值，所以，故D正確；故選：AD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】雙曲線的焦點(diǎn)為，可得，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：．13.已知三角函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，且其相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，則__________.【答案】【解析】由題意可知，，所以，所以，所以，又函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，又，且，所以.故答案為：.14.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為的中點(diǎn)，，直線與所成角的大小為，則四校錐的體積為_(kāi)_________.【答案】【解析】連接，如圖所示：因?yàn)?，所以直線與所成角為（或其補(bǔ)角），因?yàn)槠矫?，所以，又底面為矩形，所以，因?yàn)椋矫?，平面，而平面，所以，所以均直角三角形，設(shè)，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以四棱錐的體積.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.15.在中，分別為邊所對(duì)的角，且滿足.（1）求的大??；（2）若，求的面積.解：（1），，又，由正弦定理得，；（2）在中，由余弦定理得，，則，解得（舍），，.16.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列知，，即，所以，有，即或.①當(dāng)時(shí)，，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，得，所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：由（1）知，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和，由，可得.17.如圖，在四棱錐中，四邊形是菱形，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的余弦值．（1）證明：連接，在菱形中，，，所以，中，，，所以，所以，在中，，，，所以，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以．?）解：記，連接，由點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又由（1）知平面，所以平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，所以，，，，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，所以，所以，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，解得，，所以平面的一個(gè)法向量為，由圖可知平面與平面所成角為銳角，所以，故平面與平面所成角的余弦值為．18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的離心率為，短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)D為橢圓C的下頂點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上異于橢圓頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，直線AP與直線BD相交于點(diǎn)M，直線BP與直線AD相交于點(diǎn)N.證明：直線MN與x軸垂直.（1）解：設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意有：，解得，，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，有，可得，直線BD的方程為，整理為；直線AD的方程為，整理為；直線AP的方程為；聯(lián)立方程，解得，M的橫坐標(biāo)為，直線BP的方程為，聯(lián)立方程，解得：，N的橫坐標(biāo)為，，故點(diǎn)M和點(diǎn)N的橫坐標(biāo)相等，可得直線MN與x軸垂直.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若為函數(shù)的正零點(diǎn)，證明：.（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，①?dāng)即時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，增區(qū)間為，沒(méi)有減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)，則，即時(shí)，可