四川省德陽(yáng)市高中2025屆高三上學(xué)期第一次診斷考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省德陽(yáng)市高中2025屆高三上學(xué)期第一次診斷考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．1.設(shè)集合，集合，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所?故選：D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則.故選：B3.生物興趣小組在研究某種流感病毒的數(shù)量與環(huán)境溫度之間的關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)在一定溫度范圍內(nèi)，病毒數(shù)量與環(huán)境溫度近似存在線性相關(guān)關(guān)系，為了尋求它們之間的回歸方程，興趣小組通過實(shí)驗(yàn)得到了下列三組數(shù)據(jù)，計(jì)算得到的回歸方程為：，但由于保存不妥，丟失了一個(gè)數(shù)據(jù)（表中用字母m代替），則（）溫度（）病毒數(shù)量（萬(wàn)個(gè)）A. B. C. D.m的值暫時(shí)無(wú)法確定【答案】B【解析】由已知，，即樣本中心為，又回歸方程為，即，解得，故選：B.4.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知有，故k=1.所以，從而.故選：C.5.底面相同的圓柱和圓錐有相等的側(cè)面積，且圓柱的高恰好是其底面的直徑，則圓柱與圓錐的體積之比為（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】由題意，令圓錐的高為，底面圓的半徑為，則圓柱的高，所以，根據(jù)側(cè)面積相等有，即，綜上，圓柱體積，圓錐體積，所以.故選：D6.設(shè)滿足，則（）A.120 B. C.40 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，令，即可得，令，即可得，可得，所以；令，即可得，得，得，所?故選：A.7.函數(shù)單調(diào)遞增，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.0,1【答案】C【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；又因?yàn)閱握{(diào)遞增，且，所以，解得.故選：C.8.設(shè)為雙曲線的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為的一條漸近線上一點(diǎn)，且，若，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】依題意，不妨設(shè)點(diǎn)在第二象限，如圖，因?yàn)椋?，則，故，所以，又，雙曲線的漸近線方程為，所以在中，，即，故，所以雙曲線的離心率為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列結(jié)論正確的是（）A.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則B.數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為6C.數(shù)據(jù)2，4，6，8，10，12，14的第60百分位數(shù)是10D.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則【答案】AC【解析】對(duì)選項(xiàng)A，，.故A正確.對(duì)選項(xiàng)B，因?yàn)椋钠骄鶖?shù)為，故B錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)C，，所以第60百分位數(shù)是第五個(gè)數(shù)10，故C正確.對(duì)選項(xiàng)D，X服從正態(tài)分布，，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.定義在R上的函數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.為奇函數(shù)C.6是的一個(gè)周期 D.【答案】ACD【解析】該函數(shù)滿足且，對(duì)于A，令，可得，解得，故A正確；對(duì)于B，令，，所以，所以為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，，可得，令，可得，將兩式相加得：，所以，所以，所以，因此，6是的一個(gè)周期，故C正確；對(duì)于D，令，，，所以，所以，因?yàn)?，，因?yàn)?，令，，所以，令，，所以，令，，所以，令，，所以，由?是的一個(gè)周期，所以，所以，故D正確；故選：ACD11.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值B.過點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條C.當(dāng)時(shí)，若是與的等差中項(xiàng)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，則D.當(dāng)時(shí)，若，則【答案】BD【解析】因?yàn)椋?，?duì)于A，當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)沒有兩個(gè)極值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)過點(diǎn)0,1的直線與y=fx則切線方程為，代入0,1，得，整理得：，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又，所以只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有一個(gè)解，所以過點(diǎn)0,1且與曲線y=fx對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以直線即為直線，所以直線過定點(diǎn)，且此點(diǎn)在曲線上，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱中心為,則有，即，整理得：，所以，解得，所以函數(shù)的關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則有，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以y=fx所以，令，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，所以，即，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.某中學(xué)田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員28人，女運(yùn)動(dòng)員21人，按性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為14的樣本，如果樣本按比例分配，則男運(yùn)動(dòng)員應(yīng)該抽取的人數(shù)為_______【答案】8【解析】田徑隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)是，要得到14人的樣本，占總體的比例為，于是應(yīng)該在男運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取(名)，故答案：813.已知，則_______【答案】【解析】由，得，由，得，解得，，所以，所以.故答案為：.14.若關(guān)于的方程有且僅有兩個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_______【答案】【解析】定義域?yàn)?,+∞，當(dāng)時(shí)，方程即有且僅有兩個(gè)實(shí)根，令，則f1=0，，令解得，所以當(dāng)時(shí)，f'x>0，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f'x<0又，可得函數(shù)的大致圖象如圖所示，所以有且僅有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，則gx因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以要使gx=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，則，解得，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.平面向量，滿足（1）若在上的投影向量恰為的相反向量，求實(shí)數(shù)t的值；（2）若為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．解：（1）由題意得，則，即，因?yàn)椋瑒t，所以，，所以，解得.（2）由（1）知，，因?yàn)闉殁g角，所以，即，若共線，設(shè)，即則，解得或，要使為鈍角，則且，即實(shí)數(shù)t的取值范圍為．16.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知的面積（1）若，求b的值；（2）求內(nèi)角C取得最大值時(shí)的面積.解：（1）依題意，得，則，又，所以，從而，所以.（2）在中有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，又，所以，故當(dāng)內(nèi)角C取得最大值時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，，則，所以.17.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?）若，求函數(shù)的值域；（2）若，且，求實(shí)數(shù)取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，由解得，令，當(dāng)時(shí)取最大值，所以，從而的值域?yàn)?（2）由于，且，所以方程的兩根分別為，且，，又，即，將，代入整理得，從而，所以即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.甲袋裝有一個(gè)黑球和一個(gè)白球，乙袋也裝有一個(gè)黑球和一個(gè)白球，四個(gè)球除顏色外，其他均相同．現(xiàn)從甲乙兩袋中各自任取一個(gè)球，且交換放入另一袋中，重復(fù)進(jìn)行n次這樣的操作后，記甲袋中的白球數(shù)為，甲袋中恰有一個(gè)白球的概率為（1）求；（2）求的解析式；（3）求．解：（1）記第次交換后甲袋中恰有兩個(gè)白球的概率為，則第次交換后甲袋中恰有零個(gè)白球的概率為，由題意得．；（2）由（1）知，所以，且，從而數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即；（3）顯然的所有可能取值為0，1，2，且，，即，從而，所以的分布列為012所以.19.若函數(shù)與在各自定義域內(nèi)均能取得最大值，且最大值相等，則稱與為“等峰函數(shù)”．（1）證明函數(shù)與是“等峰函數(shù)”；（2）已知與為“等峰函數(shù)”．①求實(shí)數(shù)a的值；判斷命題：“，且”的真假，并說明理由．（1）證明：，由于，所以當(dāng)即時(shí)，；對(duì)于函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)，；則函數(shù)與在各自定義域內(nèi)有相同最大值，即是“等峰函數(shù)”；（2）解：①由題，其中.當(dāng)時(shí)，若；若，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則此時(shí)無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無(wú)最大值；當(dāng)時(shí)，若；若，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，由題，其中.因?yàn)椋詴r(shí)，時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，.由于與為“等峰函數(shù)”，所以即，其中.將上式兩端取自然對(duì)數(shù)得，即.令，其中.則，所以在上單調(diào)遞增，又，從而；②命題為真命題，理由如下：解法1：由①，.先考察方程的實(shí)根情況，令由①知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，所以存在唯一，使得.即方程在上有唯一實(shí)根，且.其次考察方程的實(shí)根情況，令由①知在上單調(diào)遞減，且所以