四川省自貢市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省自貢市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知點(diǎn)，向量，則向量（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，則.故選：A.2.已知直線的方程為，則下列說法正確的是（）A.傾斜角為 B.傾斜角為C.方向向量可以為 D.方向向量可以為【答案】A【解析】因?yàn)樾甭?，令，則，故A正確，B錯誤；方向向量時(shí)，斜率，故C錯誤；方向向量為時(shí)，斜率，故D錯誤；故選：A.3.在正方體中，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，則，故，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.4.“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】曲線表示橢圓，即或.或，“”是“曲線表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B．5.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分，過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點(diǎn)上，片門位于另一個焦點(diǎn)上，由橢圓一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點(diǎn)．已知，，，則光從焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)鏡面反射后到達(dá)焦點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為（）A.5 B.10 C.6 D.9【答案】B【解析】如圖，以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓的方程為，，當(dāng)時(shí)，，解得，因?yàn)?，，所以，所以，①又因，所以，②由①②解得，所以光從焦點(diǎn)出發(fā)經(jīng)鏡面反射后到達(dá)焦點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為.故選：B.6.已知平面直角坐標(biāo)系中函數(shù)的圖象是雙曲線C，將曲線C繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到曲線，則（）A. B.C D.【答案】B【解析】因?yàn)榈膬蓷l漸近線，所以順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的漸近線為，所以，即，設(shè)與的交點(diǎn)為，令，解得或，所以，，旋轉(zhuǎn)后為雙曲線的左右頂點(diǎn)，所以，所以，故選：B.7.下列命題中真命題是（）A.如果不同直線m、n都平行于平面，則m，n一定不相交B.如果不同直線m，n都垂直于平面，則m，n一定平行C.如果平面、互相平行，若直線，直線，則D.如果平面、互相垂直，且直線m，n也互相垂直，若，則【答案】B【解析】對于A，如果不同直線m、n都平行于平面，則m、n可能平行、相交或異面，A錯誤；對于B，如果不同直線m，n都垂直于平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知m，n一定平行，正確；對于C，如果平面、互相平行，若直線，直線，則或異面，C錯誤；對于D，如果平面、互相垂直，且直線m，n也互相垂直，若，則或或，也可能和相交但不垂直，D錯誤，故選：B8.已知，是圓上的兩個動點(diǎn)，且，則，兩點(diǎn)到直線的距離之和的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋詾橹苯侨切?，為斜邊，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，從而在圓上，設(shè)，兩點(diǎn)到直線的距離之和為，到直線的距離為，由題意得，圓的圓心到直線的距離為，所以，即，所以．故選：D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.已知雙曲線，則雙曲線（）A.焦點(diǎn)坐標(biāo)為和B.漸近線方程為和C.離心率為D與直線有且僅有一個公共點(diǎn)【答案】CD【解析】A：因?yàn)椋?，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A錯誤；B：因?yàn)?，所以漸近線方程為，即，故B錯誤；C：因?yàn)?，所以，故C正確；D：因?yàn)榕c漸近線平行，所以與雙曲線有且僅有一個交點(diǎn)，故D正確；故選：CD.10.如圖，已知三棱錐的截面平行于對棱．下列命題正確的有（）A.四邊形是平行四邊形B.當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形C.當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形D.當(dāng)時(shí)，四邊形周長為4【答案】ABD【解析】由平面，平面平面，平面，得，同理，于是，同理，因此四邊形是平行四邊形，A正確；當(dāng)時(shí)，則，平行四邊形是矩形，B正確；由，得，由，得，又，則，而與不一定相等，因此與不一定相等，即平行四邊形不一定是菱形，C錯誤；由選項(xiàng)C知，，，兩式相加得，即，所以平行四邊形的周長為4，D正確.故選：ABD11.如圖，在邊長為2的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將分別沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.B.平面平面C.三棱錐的體積是D.三棱錐的外接球的體積是【答案】ABD【解析】正方形中，，，折起后，有，平面，∴平面，又平面，所以，故A正確；因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正確；折疊后可知三條直線兩兩垂直，，，，故C錯誤；由三條直線兩兩垂直，如圖，補(bǔ)全長方體，則長方體的體對角線即為三棱錐的外接球的直徑，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，所以，所以三棱錐的外接球的體積是，故D正確.故選：ABD.12.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.當(dāng)時(shí)，C.以線段為直徑的圓與直線相切D.當(dāng)最小時(shí)，切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】對于A，依題意可設(shè)直線的方程為，，，，則，，聯(lián)立，消整理得，則，代入得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為，故A正確；對于B，結(jié)合A可得，，由，得，解得，，故B錯誤；對于C，由題意得拋物線準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)，設(shè)，，在準(zhǔn)線上的射影為，，，則，，，所以以線段為直徑的圓與直線相切，故C正確；對于D，結(jié)合A可得，當(dāng)最小時(shí)，不妨取，則可設(shè)切線的方程為，聯(lián)立，消整理得，則，解得，所以切線的方程為，聯(lián)立，解得，，即切線與準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確．故選：ACD．三、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分．請把答案填在答題卡的橫線上）13.離心率的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則該雙曲線實(shí)軸長為______．【答案】8【解析】橢圓的半焦距，依題意，雙曲線的半焦距為，而雙曲線的離心率，則雙曲線實(shí)半軸長，所以該雙曲線的實(shí)軸長為.故答案為：814.在正方體中，平面，若，則_______．【答案】【解析】在正方體中，連接，連接，顯然平面平面，平面平面，則，即，又正方體的對角面是矩形，即有，于是，所以.故答案為：15.過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)A、B．則______．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）【答案】0【解析】依題意，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，由消去x并整理得，設(shè)，則，所以.故答案為：016.如圖，圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑為圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則每個球的表面積為______．【答案】【解析】設(shè)球半徑為，依題意，，解得，所以一個小球的表面積為.故答案為：四．解答題（本大題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.設(shè)是等差數(shù)列，若．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和及其最值．解：（1）設(shè)公差為，由，得，解得，所以；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，函數(shù)的對稱軸為，所以，無最小值.18.設(shè)圓C圓心在直線上，圓C與直線相切于點(diǎn)（1）求圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線與圓C相交于A、B．若，求直線AB的方程．解：（1）由圓C與直線相切于點(diǎn)，得圓心在垂直于直線的直線上，則直線的斜率為1，方程為，即，由，解得，即點(diǎn)，圓的半徑，所以圓C的方程為.（2）由（1）知，圓：，由弦長為2，得圓心到直線的距離，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，顯然點(diǎn)到此直線距離為1，符合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，即，由，解得，即直線方程為，所以直線方程為或.19.如圖，AB是的直徑，PA垂直于所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一點(diǎn)，且（1）求證：平面；（2）求二面角大小的余弦值．解：（1）由AB是的直徑，得，由PA垂直于所在的平面，在所在的平面內(nèi)，得，而平面，所以平面.（2）在平面內(nèi)過作于，在平面內(nèi)過作于，連接，由（1）知，平面，則，而平面，于是平面，又平面，則，而平面，因此平面，而平面，則，從而是二面角的平面角，由PA垂直于所在的平面，在所在的平面內(nèi)，則，由，得，，則，，在中，，，所以二面角大小的余弦值.20.雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，若雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)且一條漸近線方程為．（1）求雙曲線C的方程；（2）過作傾斜角為的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．解：（1）由題意可得，，解得，所以雙曲線C的方程為；（2），則直線的方程為，即，則原點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，聯(lián)立，消得，，則，所以，所以的面積.21.如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面ABC，且各棱長均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，的中點(diǎn)．（1）證明平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）在三棱柱中，連接，由分別為的中點(diǎn)，得且，而且，又為的中點(diǎn)，則且，于是且，因此四邊形是平行四邊形，則，而平面，平面，所以平面.（2）在三棱柱中，側(cè)棱底面，且各棱長均相等，令，取中點(diǎn)，連接，而為中點(diǎn)，則，有底面，由正，得，顯然直線兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，令直線與平面所成的角為，于是，所以直線與平面所成角的正弦值.22.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別，若______．請把以下兩個條件中任選一個補(bǔ)充在橫線上作答（若都選擇，則按照第一個解答給分）①四點(diǎn)中，恰有三點(diǎn)在橢圓C上．②橢圓C經(jīng)過，軸，且．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)D為橢圓C的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)，過D作直線AB的垂線垂足為M，判斷y軸上是否存在定點(diǎn)N，使得為定值？請證明你的結(jié)論．解：（1）若選①：因?yàn)橹杏腥c(diǎn)在橢圓上，由于關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以均在橢圓上，又因?yàn)榈臋M坐標(biāo)相同，所以不在橢圓上，在橢圓上，所