浙江省紹興市越城區(qū)紹興會稽聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省紹興市越城區(qū)紹興會稽聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?學(xué)號和姓名；考場號?座位號寫在指定位置；3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知數(shù)列的首項，且滿足，則（）A. B. C.16 D.19【答案】B【解析】由，得到，又，所以數(shù)列是以，的等差數(shù)列，得到，故選：B.2.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率（）A.5 B.4 C. D.【答案】C【解析】令，則，有，故曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.故選：C.3.如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意，又，故選：B4.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第二天走了（）A.192

里 B.96

里 C.48

里 D.24

里【答案】B【解析】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B．5.原點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)原點(diǎn)到直線l的距離為d，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，顯然當(dāng)時，有最大值，此時，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以.故選：D.6.傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A位于第一象限，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，可得焦點(diǎn)F1,0，，設(shè)Ax，，，由題可知直線的斜率存在，可設(shè)直線l的方程為y=kx-1聯(lián)立直線與拋物線方程：，化簡整理可得，由韋達(dá)定理可得，故，解得，且點(diǎn)A位于第一象限，，∴的值為．故選：A．7.若雙曲線的漸近線與圓有公共點(diǎn)，則的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】雙曲線漸近線為，且與圓有公共點(diǎn)，圓心到漸近線的距離大于半徑，即，，，．故選：B．8.如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為.已知禮物的質(zhì)量為，每根繩子的拉力大小相同，則降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大?。ㄖ亓铀俣热。┳罱咏ǎ〢. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)每根繩子上的拉力大小為T，則根據(jù)平衡條件可得，,

解得．

所以降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小約為1.41N．故選：A.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為，則直線的斜率可能的值為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】因為，則，且曲線在點(diǎn)處的切線為，所以，直線的斜率的取值范圍是.故選：ABC.10.已知橢圓的兩個焦點(diǎn)為、，、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.周長為B.的最大值為C.橢圓的離心率為D.直線與的斜率的乘積為【答案】AB【解析】對于橢圓，，，，對于A選項，的周長為，A對；對于B選項，易知點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)Px,y，則，其中，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故PF1的最大值為，B對；對于C選項，橢圓的離心率為，C錯；對于D選項，易知點(diǎn)、，則，D錯.故選：AB.11.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列（）A.有可能是常數(shù)數(shù)列B.有可能是等差數(shù)列C.有可能是等比數(shù)列D.有可能既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列【答案】BCD【解析】由可得，即，若對任意的，有且，此時數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，若對任意的，有且，此時數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，取數(shù)列各項為：、、、、、、，則數(shù)列滿足條件，此時，數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，BCD對，若數(shù)列為常數(shù)列，不妨設(shè)（為常數(shù)）對任意的恒成立，由可得，可得，與矛盾，故數(shù)列不可能常數(shù)列，A錯.故選：BCD.12.已知正三棱柱的各棱長均等于，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.平面與平面的夾角是C.平面平面D.與平面所成的角的正弦值為【答案】ACD【解析】取線段的中點(diǎn)，連接，在正三棱柱，平面，因為是邊長為的等邊三角形，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，對于A選項，，，所以，，故，A對；對于B選項，設(shè)平面的法向量為m=x，，則，取，則，，可得，易知平面的一個法向量為，所以，，所以，平面與平面的夾角為，B錯；對于C選項，設(shè)平面的法向量為n=x，，則，取，則，，可得，則，所以，，故平面平面，C對；對于D選項，，則，所以，與平面所成的角的正弦值為，D對.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是___________.【答案】【解析】故答案為：14.已知數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】，所以，故答案為：.15.設(shè)為曲線上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為__________.【答案】10【解析】由，即點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和為，由橢圓定義可知，在以與為焦點(diǎn)，與為上下頂點(diǎn)的橢圓上，故.故答案為：.16.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為平面外一點(diǎn),其中、，若平面的一個法向量為，則點(diǎn)到平面的距離為__________.【答案】【解析】由已知可得，且平面的一個法向量為，則，則，解得，因為，故點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知函數(shù).（1）分別求出和的導(dǎo)數(shù)；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在處的切線平行，求的值.解：（1）由導(dǎo)數(shù)公式得，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得；（2）由可得曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，從而切線方程為，即.由，可得曲線在處的切線斜率為，由題意可得，從而，此時切點(diǎn)坐標(biāo)為，曲線在處的切線方程為，即，故符合題意18.已知經(jīng)過原點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn).（1）若，求的斜率；（2）已知存在軸上的點(diǎn)，使直線的斜率之和恒為0，求的值.解：（1）由圓，知圓心坐標(biāo)為，半徑為2，因為，所以點(diǎn)到的距離為，因為直線經(jīng)過原點(diǎn)，且由題意易知斜率必存在且不為0，可設(shè)其方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式可得：，解得.（2）當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時，設(shè)Ax1,y1,Bx得，所以，，由題意得，即，因為，所以，即，解得.當(dāng)直線AB斜率不存在時，，，此時，當(dāng)直線AB斜率為零時，，，顯然，綜上.19.記為等比數(shù)列的前項和.已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前項和.解：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，所以等比數(shù)列的公比是4，所以，即，得，故數(shù)列是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，從而.（2）由（1）知，，故.則，，兩式相減得，，故.20.如圖,四棱錐中,底面為正方形,平面,點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）證法1：因為平面平面，所以.又為正方形，所以.因為，平面，所以平面.因為平面，所以.因為，于是.證法2：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.所以，因此.（2）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故是平面的一個法向量.，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故是平面的一個法向量.所以所以平面與平面的夾角的余弦值為.21.已知點(diǎn)，動點(diǎn)滿足.（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）記動點(diǎn)的軌跡為，若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.解：（1）因為，由雙曲線定義可知：點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所以，，所以動點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）①當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為：，此時，所以；②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：，代入雙曲線方程可得：，可知其有兩個不等的正實數(shù)根，解得：，所以.由得，，綜上所述，的最小值為1.22.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、，且.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且滿足，求的面積最大值.解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，橢圓