四川省新高考聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省新高考聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期12月模擬考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，得，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．故選：D．2.已知：．若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得；由，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，則.故選：C3.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A. B.8 C.9 D.16【答案】B【解析】因?yàn)樗?，則，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可知，數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，即，，即，所以.故選：B.4.已知，則（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】由可得，兩邊同除以可得，，代入，可得，故選：D5.已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，滿足，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以，注意到，從而.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.6.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，，則，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，，在中，易知，當(dāng)時(shí)，.故選：B.7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)都在橢圓上，若，且，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意知F1-c如圖，由，可知三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線.設(shè)Px0,y0，Ax1由消去，可得，則，同理可得，顯然，，，由代入坐標(biāo)可得：，即得，同理由可得，，由，可得，同理，，故（*），又點(diǎn)在橢圓上，則有，則（*）式可化成：，解得，故得，又，故的離心率的取值范圍為.故選：B.8.如圖，在一個(gè)有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個(gè)球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長都是，則（）A.這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為B.這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為C.這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為D.這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為【答案】D【解析】當(dāng)這兩個(gè)球體的半徑或者表面積之和取最大值時(shí)，上面的球與圓錐的底面相切，過底面圓的直徑作截面，如圖所示，過點(diǎn)O作OF⊥AB，垂足為F，過點(diǎn)作⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)作⊥OF，垂足為D．設(shè)圓O的半徑為R，圓的半徑為r，當(dāng)下面的球與上底面相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)為該圓的內(nèi)切球半徑，等邊三角形的邊長為，內(nèi)切球半徑為，故，故R的最大值為，且取最大值時(shí)，三點(diǎn)共線，設(shè)，則，則，解得，所以，，，，.因?yàn)?，所以①，整理得，解得，令函?shù)，，.令函數(shù)，，所以是增函數(shù).又因?yàn)?，，所以，，所以，，，，即，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即這兩個(gè)球體的半徑之和的最大值為.由①可得，這兩個(gè)球體的表面積之和為.令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即這兩個(gè)球體的表面積之和的最大值為.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對(duì)的得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.隨機(jī)事件A，滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C D.【答案】CD【解析】A.，所以，，所以，故A錯(cuò)誤；B.，故B錯(cuò)誤；C.，故C正確；D.，，所以，，故D正確.故選：CD10.表示不超過的最大整數(shù)，例如：，已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.C.函數(shù)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱D.設(shè)方程的解集為，集合，若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，當(dāng)，則，所以有，顯然成立，故A正確；對(duì)于B，，此時(shí)不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即不是奇函?shù)，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，方程，可得，解得：或，所以或，又因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，滿足題意，此時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，由上可知方程有兩根，解得，當(dāng)時(shí)，若，則需要滿足，當(dāng)時(shí)，若，則需要滿足，綜上可得：，故D正確；故選：ACD.11.已知，直線為原點(diǎn)，點(diǎn)在上，直線與交于點(diǎn)在直線上，且，點(diǎn)的軌跡為史留斯蚌線，記為曲線，其中是的漸近線，如圖所示．設(shè)是上一點(diǎn)，則（）A.B.存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使得關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)仍在上C.若在第二象限，則的最大值為D.若在第一象限，則直線的斜率大于【答案】AD【解析】設(shè)，，，由與相交，則不與重合，即，設(shè)，則，所以，代入，可得，即，設(shè)，則，即，代入，即，即，由，即，所以，當(dāng)時(shí)，從而，整理得；當(dāng)時(shí)，即和重合，，此時(shí)方程成立；所以曲線方程為；由，所以，解得，故A正確；在第一象限的部分對(duì)應(yīng)的方程為①，在第三象限的部分對(duì)應(yīng)的方程為，它關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的部分對(duì)應(yīng)的方程為，即②，聯(lián)立①②解得，這樣矛盾，所以不存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使得關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)仍在上，由對(duì)稱性可知，二、四象限也不存在關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)仍在上，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故C錯(cuò)誤；設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，從而，所以，即，所以，即，即，所以若在第一象限，則直線的斜率大于，故D正確.故選：AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為______．【答案】【解析】當(dāng)取1，取，的系數(shù)為；當(dāng)取，取時(shí)，得的系數(shù)為：.所以的系數(shù)為：.故答案為：13.已知，且，則的最小值是_________.【答案】【解析】令其中，所以，若，則，故，令，因此,故,則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，取時(shí)可滿足等號(hào)成立，可知的最小值為，故答案為：.14.設(shè)A是非空數(shù)集，若對(duì)任意，都有，則稱A具有性質(zhì)P.給出以下命題：①若A具有性質(zhì)P，則A可以是有限集；②若具有性質(zhì)P，且，則具有性質(zhì)P；③若具有性質(zhì)P，則具有性質(zhì)P；④若A具有性質(zhì)P，且，則不具有性質(zhì)P.其中所有真命題的序號(hào)是___________.【答案】①②④【解析】對(duì)于①，取集合具有性質(zhì)P，故A可以是有限集，故①正確；對(duì)于②，取，則，，，，又具有性質(zhì)P，，，，所以具有性質(zhì)P，故②正確；對(duì)于③，取，，，，但，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若A具有性質(zhì)P，且，假設(shè)也具有性質(zhì)P，設(shè)，在中任取一個(gè)，此時(shí)可證得，否則若，由于也具有性質(zhì)P，則，與矛盾，故，由于A具有性質(zhì)P，也具有性質(zhì)P，所以，而，這與矛盾，故當(dāng)且A具有性質(zhì)P時(shí)，則不具有性質(zhì)P，同理當(dāng)時(shí)，也可以類似推出矛盾，故④正確.故答案為：①②④四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)，由下列四個(gè)條件中選出三個(gè)：①最大值為2；②最小正周期為；③；④．（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）設(shè)．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，求的取值范圍．解：?）對(duì)于條件③，有，因?yàn)?，則，，顯然不成立，因此只能選擇條件①②④，則，，所以，此時(shí)；令，解之得；（2）由上可知，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榇藭r(shí)的值域?yàn)?，則，則，故.16.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的正弦值；（3）記的中點(diǎn)為，若在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長．（1）證明：連接，則，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形；所以，因?yàn)?，，且為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以平?（2）解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，所以，所以二面角的正弦值為.（3）解：設(shè)，則，而，所以，由（II）知平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，化簡得，解得：或，故線段的長度為或．17.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長軸長與短軸長的比為，焦距為.為橢圓上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線、，分別為切點(diǎn)，直線分別與、軸交于、兩點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求面積的最小值；（3）過點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓相交于不同于點(diǎn)的，兩點(diǎn)，若與的斜率之和為-2，直線是否經(jīng)過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)請(qǐng)說明理由.解：（1）依題意，，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）如圖，設(shè)，連接,則,即點(diǎn)在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)為，，則圓，即，將其與作差整理，可得直線的方程為：，令，則；令，則，則得，故，因點(diǎn)在橢圓上，故，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)為這四個(gè)點(diǎn)時(shí)，面積取得最小值；（3）如圖，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線與關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)不符合題意；故可設(shè)直線的方程為：，代入中，整理得：，由，可得設(shè)，則（*）依題，，化簡整理得：，將（*）代入，可得，即得，整理得：，則有或.當(dāng)時(shí)，經(jīng)過點(diǎn),不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過定點(diǎn).故直線經(jīng)過定點(diǎn).18.若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項(xiàng)數(shù)列，由所有項(xiàng)數(shù)列組成集合．（1）若是12項(xiàng)0-1數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，求數(shù)列的所有項(xiàng)的和；（2）從集合中任意取出兩個(gè)數(shù)列，記．①求隨機(jī)變量的分布列，并證明：；②若用某軟件產(chǎn)生項(xiàng)數(shù)列，記事件“第一次產(chǎn)生數(shù)字1”，“第二次產(chǎn)生數(shù)字1”，且．若，比較與的大?。猓海?）因?yàn)槭?2項(xiàng)數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)和時(shí)，.設(shè)數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，則，所以數(shù)列的所有項(xiàng)的和為0.（2）①因?yàn)閿?shù)列，是從集合中任意取出兩個(gè)數(shù)列，所以，數(shù)列，為項(xiàng)數(shù)列所以，的可能取值為：當(dāng)時(shí)，數(shù)列，中有項(xiàng)取值不同，有項(xiàng)取值相同，又因?yàn)榧现性氐膫€(gè)數(shù)共有個(gè)，所以，,所以，的分布列為：證明：因?yàn)椋裕?②由題知，所以，，所以，，所以，即，所以，，即19.莫比烏斯函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家莫比烏斯提出，數(shù)學(xué)家梅滕斯首先使用作為莫比烏斯函數(shù)的記號(hào)，其在數(shù)論中有著廣泛應(yīng)用所有大于1的正整數(shù)n都可以被唯一表示為有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積形式：（為的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，為質(zhì)數(shù)，，例如：，對(duì)應(yīng)，．現(xiàn)對(duì)任意，定義莫比烏斯函數(shù)．（1）求；（2）已知，記（為的質(zhì)因數(shù)個(gè)數(shù)，為質(zhì)數(shù)，）的所有因數(shù)從小到大依次為．（ⅰ）證明：；（ⅱ）求的值（用