二項式定理知識點總結

二項式定理知識點總結二項式定理知識點總結一、二項式定理：（）等號右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù)。對二項式定理的理解：（1）二項展開式有項（2）字母按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由逐項減1到0；字母按升冪排列，從第一項開始，次數(shù)由0逐項加1到（3）二項式定理表示一個恒等式，對于任意的實數(shù)，等式都成立，通過對取不同的特殊值，可為某些問題的解決帶來方便。在定理中假設，則（）（4）要注意二項式定理的雙向功能：一方面可將二項式展開，得到一個多項式；另一方面，也可將展開式合并成二項式二、二項展開式的通項：二項展開式的通項是二項展開式的第項，它體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定項（如含指定冪的項、常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等）及其系數(shù)等方面有廣泛應用對通項的理解：（1）字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同（2）與的次數(shù)之和為（3）在通項公式中共含有這5個元素，知道4個元素便可求第5個元素例1、等于（）A、B。C。D、例2、（1）求的展開式的第四項的系數(shù)；（2）求的展開式中的系數(shù)及二項式系數(shù)三、二項展開式系數(shù)的性質：①對稱性：在二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即②增減性與最大值：在二項式展開式中，二項式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項的二項式系數(shù)最大，即偶數(shù)：；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項的二項式系數(shù)相等并最大，即③二項展開式的各系數(shù)的和等于，令，即；④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等，令，即例題：寫出的展開式中：（1）二項式系數(shù)最大的項；（2）項的系數(shù)絕對值最大的項；（3）項的系數(shù)最大的項和系數(shù)最小的項；（4）二項式系數(shù)的和；（5）各項系數(shù)的和4、多項式的展開式及展開式中的特定項（1）求多項式的展開式，可以把其中幾項結合轉化為二項式，再利用二項式定理展開。例題：求多項式的展開式（2）求二項式之間四則運算所組成的式子展開式中的特定項，可以先寫出各個二項式的通項再分析。例題：求的展開式中的系數(shù)例題：（1）如果在的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項。（2）求的展開式的常數(shù)項?！舅季S點撥】求展開式中某一特定的項的問題時，常用通項公式，用待定系數(shù)法確定五、展開式的系數(shù)和求展開式的系數(shù)和關鍵是給字母賦值，賦值的選擇則根據(jù)所求的展開式系數(shù)和特征來定例題：已知，求：（1）；（2）；（3）、六、二項式定理的應用：1、二項式定理還應用與以下幾方面：（1）進行近似計算（2）證明某些整除性問題或求余數(shù)（3）證明有關的等式和不等式。如證明：取的展開式中的四項即可。2、各種問題的常用處理方法（1）近似計算的處理方法當n不是很大，||比較小時可以用展開式的前幾項求的近似值。例題：的計算結果精確到0、01的近似值是（）A、1、23B、1、24C、1、33D、1、34（2）整除性問題或求余數(shù)的處理方法①解決這類問題，必須構造一個與題目條件有關的二項式②用二項式定理處理整除問題，通常把冪的底數(shù)寫成除數(shù)的倍數(shù)與某數(shù)的和或差的形式，再利用二項式定理展開，這里的通常為1，若為其他數(shù)，則需對冪的底數(shù)再次構造和或差的形式再展開，只考慮后面（或者是某項）一、二項就可以了③要注意余數(shù)的范圍，對給定的整數(shù)，有確定的一對整數(shù)和，滿足，其中為除數(shù)，為余數(shù)，，利用二項式定理展開變形后，若剩余部分是負數(shù)，要注意轉換成正數(shù)例題：求除以7所得的余數(shù)例題：若為奇數(shù)，則被9除得的余數(shù)是（）A、0B。2C。7D、8例題：當且>1，求證【思維點撥】這類是二項式定理的應用問題，它的取舍根據(jù)題目而定綜合測試一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分、在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的、1、在的展開式中，的系數(shù)為（）A、B、C、D、2、已知，的展開式按a的降冪排列，其中第n項與第n+1項相等，那么正整數(shù)n等于（）A、4B、9C、10D、113、已知（的展開式的第三項與第二項的系數(shù)的比為11∶2，則n是（）A、10B、11D、134、5310被8除的余數(shù)是（）A、1B、2C、3D、75、(1、05)6的計算結果精確到0、01的近似值是（）A、1、23B、1、24C、1、33D、1、346、二項式(nN)的展開式中，前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則此展開式有理項的項數(shù)是（）A、1B、2C、3D、47、設(3x+x)展開式的各項系數(shù)之和為t，其二項式系數(shù)之和為h，若t+h=272，則展開式的x項的系數(shù)是（）B、1C、2D、38、在的展開式中的系數(shù)為（）A、4B、5C、6D、79、展開式中所有奇數(shù)項系數(shù)之和等于1024，則所有項的系數(shù)中最大的值是（）A、330B、462C、680D、79010、的展開式中，的系數(shù)為（）A、－40B、10C、40D、4511、二項式(1+sinx)n的展開式中，末尾兩項的系數(shù)之和為7，且系數(shù)最大的一項的值為，則x在[0，2π]內的值為（）B、或C、或D、或12、在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展開式中,含x4項的系數(shù)是等差數(shù)列an=3n－5的（）A、第2項B、第11項C、第20項D、第24項二、填空題：本大題滿分16分，每小題4分，各題只要求直接寫出結果、13、展開式中的系數(shù)是、14、若，則的值為__________、15、若的展開式中只有第6項的系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是、16、對于二項式(1-x)，有下列四個命題：①展開式中T=－Cx；②展開式中非常數(shù)項的系數(shù)和是1；③展開式中系數(shù)最大的項是第1000項和第1001項；④當x=2000時，(1-x)除以2000的余數(shù)是1、其中正確命題的序號是__________、（把你認為正確的命題序號都填上）三、解答題：本大題滿分74分、17、（12分）若展開式中第二、三、四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列、（１）求n的值；（２）此展開式中是否有常數(shù)項，為什么？18、（12分）已知()n的展開式中前三項的二項式系數(shù)的和等于37，求展式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)、19、（12分）是否存在等差數(shù)列，使對任意都成立？若存在，求出數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由、20、（12分）某地現(xiàn)有耕地畝，規(guī)劃10年后糧食單產比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%。如果人口年增加率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少畝（精確到1畝）？21、（12分）設f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n)，若其展開式中，關于x的一次項系數(shù)為11，試問：m、n取何值時，f(x)的展開式中含x2項的系數(shù)取最小值，并求出這個最小值、