2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示練習(xí)含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE23.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示課時(shí)過關(guān)·實(shí)力提升基礎(chǔ)鞏固1下列說法正確的是()A.任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底B.空間的基底有且僅有一個(gè)C.兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底D.基底{a,b,c}中基向量與基底{e,f,g}中基向量對(duì)應(yīng)相等解析:A項(xiàng)中應(yīng)是不共面的三個(gè)向量構(gòu)成空間向量的基底;B項(xiàng),空間基底有多數(shù)個(gè);D項(xiàng)中因?yàn)榛撞晃ㄒ?所以D錯(cuò).故選C.答案:C2已知點(diǎn)A在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)為(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,則點(diǎn)A在基底{i,j,k}下的坐標(biāo)是()A.(12,14,10) B.(10,12,14)C.(14,12,10) D.(4,3,2)解析:OA=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10答案:A3在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中,下列說法正確的是()A.向量B.向量C.向量D.向量答案:D4點(diǎn)A(-1,2,1)在x軸上的投影點(diǎn)和在xOy平面上的投影點(diǎn)的坐標(biāo)分別為()A.(-1,0,1),(-1,2,0) B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0) D.(-1,2,0),(-1,2,0)解析:由點(diǎn)A在x軸投影知y=0,z=0,由點(diǎn)A在xOy平面投影知z=0.故選B.答案:B5設(shè){i,j,k}是空間的一個(gè)單位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,則向量a,b的坐標(biāo)分別為,.

答案:(2,-4,5)(1,2,-3)6已知{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,下列向量可以與p=2a-b,q=a+b構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是(填序號(hào)).

①2a②-b③c④a+c答案:③④7如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,點(diǎn)O為空間任一點(diǎn),設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,則向量OD用a,答案:128如圖所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求B解:B以AB則9已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),并且PA=AD=1,如圖所示,設(shè)DA=e1,AB=e2,AP=e3,以{e1,e2,e解:由題意得DC=AB∵PC=AC-AP=AB+AD∴=-12e2+e3+12(e2-∴實(shí)力提升1設(shè)p:a,b,c是三個(gè)非零向量;q:{a,b,c}為空間的一個(gè)基底,則p是q的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析:當(dāng)非零向量a,b,c不共面時(shí),{a,b,c}可以當(dāng)基底,否則不能當(dāng)基底.當(dāng){a,b,c}為基底時(shí),肯定有a,b,c為非零向量.答案:B2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中點(diǎn)為M,B1D1的中點(diǎn)為N,若以{DAA.C.解析:MN答案:C3如圖,在空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,點(diǎn)M在OA上,且OM=2MA,N是BC的中點(diǎn)A.B.-C.D.答案:B4若向量MAA.B.C.D.解析:若MA,MB,MC為空間一組基底向量,則M,AA中M,A,B,C共面;B中MA≠M(fèi)B+答案:C5如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底{AB,AD,AA.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)解析:a=2AB+AD-3AA1=2DC-DA答案:D6設(shè){i,j,k}是空間向量的單位正交基底,a=3i+2j-k,b=-2i+4j+2k,則向量a,b的關(guān)系是.

解析:∵a·b=-6i2+8j2-2k2=-6+8-2=0,∴a⊥b.答案:a⊥b7已知在空間四邊形ABCD中,AB=a-2c,CD=5a+6b-8c,對(duì)角線AC,BD的中點(diǎn)分別為E解析:∵∴兩式相加,得2∵E為AC的中點(diǎn),F為BD的中點(diǎn),∴EA+EC=∴2EF=AB+CD=(a-2c)+(5a+6b-8c)=6a+6b-10c.答案:3a+3b-5c8已知向量p在基底{a,b,c}下的坐標(biāo)是(2,3,-1),求p在基底{a,a+b,a+b+c}下的坐標(biāo).解:由已知得p=2a+3b-c.設(shè)p=xa+y(a+b)+z(a+b+c)=(x+y+z)a+(y+z)b+zc,則有故p在基底{a,a+b,a+b+c}下的坐標(biāo)為(-1,4,-1).9已知正方體ABCD-A'B'C'D',點(diǎn)E是上底面A'B'C'D'的中心,求AE解:AE==∵∴x=10★如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BB1,D1B1的中點(diǎn),求證:EF⊥平面B1AC.分析:設(shè)AB=a,AD=c,AA1=b,把向量證明:設(shè)AB=a,AD=c,AA1=