《電磁場與電磁波》課件-第3章 靜態(tài)電磁場中的介質(zhì)

3.1靜電場中的導(dǎo)體3.2靜電場中電介質(zhì)的極化3.3介質(zhì)中的靜電場方程3.4導(dǎo)體系統(tǒng)中的電容3.5靜電場的能量與電場力3.6物質(zhì)的磁化3.7磁介質(zhì)中的磁場方程3.1

靜電場中的導(dǎo)體當(dāng)給導(dǎo)體施加外電場時,其中大量能夠自由運動的帶電粒子在電場力的作用下做定向運動,從而形成電流?最常見的導(dǎo)體為金屬,其中能夠自由運動的帶電粒子稱為自由電子?自由電子帶負電荷?失去電子的金屬離子帶正電荷但不能移動?自由電子向某個方向運動,就意味著相反方向的中性原子變成了正離子,相當(dāng)于正電荷向該方向運動?規(guī)定正電荷運動的方向為電流方向?如果對導(dǎo)體施加靜電場E,則導(dǎo)體中的自由帶電粒子在靜電場的作用下定向運動并積累于導(dǎo)體表面,從而形成某種電荷分布,我們稱之為感應(yīng)電荷?這種電荷在導(dǎo)體內(nèi)部產(chǎn)生與E方向相反的電場E′,如圖3.1.1所示?只要導(dǎo)體內(nèi)部總電場強度不為零,帶電粒子的定向運動就不會停止,直到E′增大到能夠與E完全抵消為止,從而使導(dǎo)體內(nèi)部的總電場強度為零且此時所有帶電粒子才會停止定向運動?靜電場中導(dǎo)體內(nèi)部總電場強度為零?所有帶電粒子停止定向運動的狀態(tài)稱為導(dǎo)體的靜電平衡狀態(tài)?一般導(dǎo)體達到靜電平衡狀態(tài)所需要的時間極短,當(dāng)達到靜電平衡狀態(tài)時,金屬導(dǎo)體內(nèi)部自由電荷密度為零?當(dāng)導(dǎo)體達到靜電平衡狀態(tài)時,導(dǎo)體內(nèi)部不存在凈余電荷,感應(yīng)電荷僅分布在導(dǎo)體表面?導(dǎo)體外部電場為外加靜電場與感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電場疊加而形成的總電場?導(dǎo)體上由于沒有電荷的定向運動,因此導(dǎo)體上任意兩點之間的電位差為零,導(dǎo)體為等位體,其表面為等位面?導(dǎo)體外的電力線垂直于導(dǎo)體表面,電磁場理論中將與電力線垂直相交的面稱為電壁,所以靜電場中導(dǎo)體的表面為電壁?靜電平衡導(dǎo)體上電荷分布具有以下特點:(1)導(dǎo)體內(nèi)體電荷密度處處為零,電荷只分布在導(dǎo)體表面;(2)導(dǎo)體表面上的面電荷密度與該處表面外附近的場強E在數(shù)值上成正比;(3)面電荷密度與所處表面的曲率有關(guān),表面曲率大的地方,面電荷密度大,曲率小的地方,面電荷密度小?于是可知,在導(dǎo)體尖端附近場強較強,而平坦的地方場強較弱?在導(dǎo)體尖端附近的強電場作用下,空氣中殘留離子加速運動,并與其他分子碰撞使其電離,從而產(chǎn)生大量新離子,與尖端電荷極性相反的離子被吸引到尖端并發(fā)生中和,這種現(xiàn)象稱為尖端放電?對于內(nèi)部帶有空腔的導(dǎo)體,當(dāng)其放置于電場中達到靜電平衡時,都具有以下性質(zhì):(1)導(dǎo)體殼內(nèi)表面上處處無電荷,電荷只分布在外表面處;(2)空隙內(nèi)無電場存在,仍然是等勢體?因此,導(dǎo)體殼外表面保護了它所包圍的區(qū)域,使其內(nèi)部不受外部電場的影響,這種現(xiàn)象稱為靜電屏蔽?法拉第根據(jù)這一原理制作了著名的法拉第籠,為后來電磁屏蔽與電磁兼容的發(fā)展打下了基礎(chǔ)?3.2靜電場中電介質(zhì)的極化3.2.1物質(zhì)的分類物質(zhì)可根據(jù)電特性分為導(dǎo)電物質(zhì)和絕緣物質(zhì)兩類?通常前者稱為導(dǎo)體,后者稱為電介質(zhì)(簡稱介質(zhì))?導(dǎo)體的特點是其內(nèi)部存在大量的能夠自由運動的電荷,在外電場的作用下,這些自由電荷可以做宏觀運動,從而形成電流?相反,介質(zhì)中的帶電粒子被束縛在介質(zhì)的分子中,而不能做宏觀運動?在電場的作用下,這些被束縛在分子中的帶電粒子發(fā)生微觀的位移,從而使分子發(fā)生極化?絕對的理想介質(zhì)在實際中并不存在,當(dāng)加在介質(zhì)上的外電場低于某一定值時,如果介質(zhì)中的電流可以忽略不計,那么就可以認為此種介質(zhì)為理想介質(zhì)?介質(zhì)既可以是固體,又可以是氣體或液體,如陶瓷?橡膠?空氣等。3.2.2介質(zhì)的極化介質(zhì)也稱為絕緣體?其內(nèi)部不存在自由電子或自由電子數(shù)目極少?從宏觀電磁學(xué)的角度出發(fā),介質(zhì)可以分為兩大類,即非極性介質(zhì)和極性介質(zhì),這兩種介質(zhì)分別由非極性分子和極性分子組成?對于非極性分子而言,當(dāng)無外加電場時,非極性分子所帶正?負電荷的中心重合,根據(jù)電偶極矩的概念可以知道,其固有電偶極矩為零?當(dāng)將非極性分子置于外電場中時,在外電場的作用下使分子的正?負電荷中心發(fā)生微小位移,產(chǎn)生附加電偶極矩,并且附加電偶極矩沿著外電場的方向,如圖3.2.1所示?對于極性分子而言,當(dāng)無外加電場時,極性分子所帶正?負電荷的中心不重合,其固有電偶極矩不為零?雖然每一個極性分子均具有固有電偶極矩,但是由于分子的不規(guī)則運動,在一塊介質(zhì)中,所有分子的固有電偶極矩的矢量和平均值為零,即宏觀電矩為零?當(dāng)把介質(zhì)放入外部電場時,每個分子的電偶極矩受到力矩的作用,使分子的電偶極矩方向轉(zhuǎn)向外加電場的方向,雖然各個分子仍然在做熱運動,但其電偶極矩指向大致相同,如圖3.2.2所示?在外電場作用下,或使介質(zhì)的分子產(chǎn)生附加電偶極矩,或使介質(zhì)分子的固有電偶極矩沿外電場方向取向的這種現(xiàn)象,稱為介質(zhì)的極化?從微觀角度來分析,可以將介質(zhì)的極化分為兩種:位移極化(即非極性分子產(chǎn)生的極化)和取向極化(即極化分子產(chǎn)生的極化)?3.2.3極化強度與束縛電荷在極化介質(zhì)中,如果每個分子都是一個電偶極子,那么整個介質(zhì)就可以看成是真空中電偶極子有序排列的集合體?為了衡量介質(zhì)被極化的程度以及極化性質(zhì),引入極化強度矢量的概念,并簡稱為極化強度,利用極化強度來表示介質(zhì)中點r處單位體積內(nèi)電偶極矩的矢量和?假設(shè)包含點r的體積ΔV里分子電偶極矩的總和為,則極化強度P(r)可以表示為由式(3.2.1)可知,極化強度P(r)是電偶極矩的體密度,其單位為C/m2?除此之外,還可以得到關(guān)于極化強度P(r)的另外一種定義:假設(shè)介質(zhì)中點r處分子的平均電偶極矩為p0,且該點處的分子密度為N,那么該點處的極化強度P(r)為極化強度P(r)是關(guān)于空間和時間的函數(shù),如果介質(zhì)中各點處的極化強度均相等,則表明該介質(zhì)處于均勻極化狀態(tài)?由于介質(zhì)極化,體積V中的正?負電荷可能不完全抵消,從而出現(xiàn)凈余的正電荷或負電荷,即出現(xiàn)宏觀電荷分布,這種電荷稱為極化電荷或束縛電荷?而介質(zhì)極化對電場的影響就取決于這些束縛電荷的分布,因為一塊介質(zhì)受外電場的作用極化之后,就可以等效為真空中一系列的電偶極子,所以極化介質(zhì)產(chǎn)生的附加電場實質(zhì)上就是這些電偶極子產(chǎn)生的電場,附加電場與外電場作為合成總電場共同作用于介質(zhì)上,從而改變了原來電場的分布,其總的效應(yīng)是使介質(zhì)中的場強被消弱?由前述內(nèi)容可以知道,當(dāng)導(dǎo)體處于外電場中時,其內(nèi)部電荷將移到其表面,從而使導(dǎo)體內(nèi)部的自由電荷密度與電場均為零?若將理想介質(zhì)置于外電場中,即使理想介質(zhì)中沒有自由電荷,但是在外電場的作用下理想介質(zhì)發(fā)生極化會產(chǎn)生極化電荷,也同樣會使理想介質(zhì)具有電效應(yīng)?在介質(zhì)內(nèi)取一體積V,包圍該體積的閉合曲面為S,如圖3.2.3所示,只需要考慮移出面S的電荷量,就可以確定體積V內(nèi)的凈余電荷?在這里僅以非極性分子為例進行討論,并假設(shè)介質(zhì)極化時,每個分子的負電荷中心固定不動,而正電荷中心相對于負電荷中心發(fā)生一個微小的位移l,則形成的附加電偶極矩為p=ql?由此可見,當(dāng)介質(zhì)極化時,遠離面S的分子對極化電荷沒有貢獻,只有靠近面S的介質(zhì)分子的正電荷才有可能穿出或者穿入面S?當(dāng)穿出與穿入面S的正電荷數(shù)量不相等時,在體積V內(nèi)就會出現(xiàn)凈余電荷,即出現(xiàn)極化電荷?在圖3.2.3中,取一個面元dS,設(shè)其附近的介質(zhì)為均勻極化?然后以dS為底,以l為斜高作一圓柱體,其體積元為dV=dS·l,于是處于dV中組成電偶極矩的正電荷將穿出dS,同一分子中的等電荷量負電荷則留在dV內(nèi)?所以,穿出dS的正電荷量dQ將等于沒有外加電場時體積元dV內(nèi)的正電荷量,即那么通過面S穿出體積V的電荷量總量為由于介質(zhì)極化之前呈中性,因此,體積V內(nèi)的凈余電荷量Qp應(yīng)與穿出面S的電荷量等值且異號?設(shè)凈余電荷密度為ρ,則有根據(jù)高斯散度定理,式(3.2.5)可以寫為式(3.2.6)即為極化體電荷密度ρ與極化強度P之間的關(guān)系式?由式(3.2.6)可知,如果介質(zhì)為均勻極化,則P為常量,那么

,即介質(zhì)內(nèi)部不存在極化體電荷分布,而其只能分布在介質(zhì)的表面上,具有這種分布狀態(tài)的極化電荷稱為極化面電荷?設(shè)兩種介質(zhì)內(nèi)的極化強度分別為P1和P2,在介質(zhì)分界面上取一個上?下底面積均為dS的扁平圓柱體,且其高度為h,n為分界面的法向單位矢量,如圖3.2.4所示?當(dāng)h→0時,圓柱體內(nèi)總的極化電荷與dS之比就是分界面上的極化面電荷密度,并記作ρsp?由于dS很小,可以認為每一個底面上的極化強度是均勻的?將式 (3.2.5)應(yīng)用到此扁平圓柱體中,由于h→0且P1和P2為有限值,因此圓柱體側(cè)面的積分量為零,那么圓柱體內(nèi)出現(xiàn)的凈余電荷量為由此可得若介質(zhì)1為真空,即P1=0,則式(3.2.8)可以寫成式(3.2.9)描述了極化面電荷密度ρ與極化強度P之間的關(guān)系?綜上所述,介質(zhì)極化將導(dǎo)致極化電荷分布,而極化電荷分布主要是由于束縛電荷的作用中心相互分離而引起的,這種電荷分布不同于自由電荷的分布?當(dāng)介質(zhì)發(fā)生極化后,其表面有可能出現(xiàn)極化面電荷?若介質(zhì)不均勻或者其外加電場不均勻,則介質(zhì)內(nèi)部某區(qū)域?qū)⒊霈F(xiàn)極化體電荷?如果外加電場過大,介質(zhì)分子中的電子會脫離分子的束縛而成為自由電子,從而介質(zhì)變成導(dǎo)電材料,這種現(xiàn)象稱為介質(zhì)的擊穿?介質(zhì)能夠保持不被擊穿的最大外加電場強度稱為該介質(zhì)的擊穿強度?工程實踐中,通常要使得作用在介質(zhì)上的電場強度小于其擊穿強度?3.2.4極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位極化介質(zhì)是指在外電場作用下,能夠發(fā)生極化現(xiàn)象的介質(zhì)?類似于自由空間中自由體電荷產(chǎn)生的電位,極化介質(zhì)外任意一點的電位為介質(zhì)內(nèi)部所有極化電荷在該點處產(chǎn)生的宏觀電位總和?設(shè)極化介質(zhì)的體積為V,其表面積為S,極化強度為P,下面來計算介質(zhì)外部任意點處的電位?如圖3.2.5所示,在介質(zhì)中r′處取一個體積元ΔV′,介質(zhì)外點m對應(yīng)的位置矢量為r,因為|r-r′|遠遠大于ΔV′的長度,所以可以將ΔV′中介質(zhì)看成一偶極子,其電偶極矩為p=ΔV′P,它在r處產(chǎn)生的電位為則整個介質(zhì)在r處產(chǎn)生的電位為根據(jù)前面內(nèi)容得到結(jié)論則式(3.2.11)可以寫成又由矢量恒等式令則式(3.2.13)可以寫成由式(3.2.15)可以看出,右側(cè)第一項積分為極化面電荷所產(chǎn)生的電位,第二項為極化體電荷所產(chǎn)生的電位?因此,極化介質(zhì)在自由空間任意點處產(chǎn)生的電位為極化面電荷與極化體電荷在該點處共同產(chǎn)生的總電位?3.3介質(zhì)中的靜電場方程3.3.1介質(zhì)中的高斯定理當(dāng)介質(zhì)位于外電場中時,由于介質(zhì)極化而使其中出現(xiàn)了極化電荷,由3.2節(jié)可知,極化電荷也與真空中的自由電荷一樣產(chǎn)生電場?因此,基于真空中的高斯定理,考慮極化電荷的影響,就可以得到介質(zhì)中的高斯定理,即極化介質(zhì)中的電場應(yīng)由自由電荷與極化電荷共同產(chǎn)生?介質(zhì)中既有極化電荷密度,又有自由電荷密度?那么,根據(jù)真空中的高斯定理,就可以得到介質(zhì)中相應(yīng)的高斯定理,即將式(3.2.6)帶入式(3.3.1)得整理后可以得到

定義其中,D稱為介質(zhì)的電位移矢量,也稱為電通量密度或電感應(yīng)強度,其單位與真空中的電位移矢量一樣,都是C/m2?因此,式(3.3.3)可以表示為式(3.3.5)稱為介質(zhì)中靜電場高斯定理的微分形式,它表明介質(zhì)中任意一點的電位移矢量D的散度等于該點的自由電荷密度,即D的源是自由電荷,而電場強度E的源為自由電荷和極化電荷,其相應(yīng)的積分形式為因為極化電荷產(chǎn)生的電場與自由電荷產(chǎn)生的電場有同樣的性質(zhì),所以介質(zhì)中的靜電場也是保守場,即其相應(yīng)的積分形式為3.3.2介質(zhì)的分類按照介質(zhì)的特性可將其分為如下三大類?1.線性介質(zhì)和非線性介質(zhì)如果介質(zhì)的極化強度P在直角坐標系中的各分量只與電場強度E的各分量的一次項有關(guān),而與高次項無關(guān),即P的各分量與E的各分量成線性關(guān)系,則該介質(zhì)稱為線性介質(zhì);如果介質(zhì)的極化強度P在直角坐標系中的各分量不僅與電場強度E的各分量的一次項有關(guān),還與高次項有關(guān),則該介質(zhì)稱為非線性介質(zhì)?2.各向同性介質(zhì)和各向異性介質(zhì)如果介質(zhì)內(nèi)部某點的物理特性在所有方向上一致,即介質(zhì)特性與外加電場方向無關(guān),則這種介質(zhì)稱為各向同性介質(zhì),否則稱為各向異性介質(zhì)?3.均勻介質(zhì)和非均勻介質(zhì)如果介質(zhì)的介電常數(shù)ε與空間位置無關(guān),即ε=0,則這種介質(zhì)稱為均勻介質(zhì),否則稱為非均勻介質(zhì)?3.3.3介電常數(shù)在分析介質(zhì)中的靜電問題時,需要獲得極化強度P與電場強度E之間的關(guān)系,兩者之間的關(guān)系由介質(zhì)的固有特性決定,這種關(guān)系稱為組成關(guān)系?對于線性各向同性的介質(zhì)而言,實驗表明其組成關(guān)系為將式(3.3.9)代入式(3.3.4)得令則式(3.3.10)可寫成式(3.3.12)稱為介質(zhì)的結(jié)構(gòu)方程?ε稱為介質(zhì)的介電常數(shù),單位為法拉每米(F/m);εr稱為介質(zhì)的相對介電常數(shù),它是反映物質(zhì)極化性能和存儲電能能力的重要電參數(shù)?通常情況下,εr是大于1的無量綱數(shù)?對于給定的介質(zhì),在一定的物理條件(如溫度?密度等)下,其相對介電常數(shù)εr

是定值?一般而言,相對介電常數(shù)εr是空間位置和電場強度E的函數(shù)?若介質(zhì)是均勻的,則其εr不隨空間位置變化而變化;若介質(zhì)是線性的,則其εr不隨電場強度E變化而變化;若介質(zhì)是各向同性的,則其εr是標量,而且電位移矢量D與電場強度E方向相同;若介質(zhì)是各向異性的,則電位移矢量D與電場強度E方向不相同,且D的每個分量都是E的各個分量的函數(shù),所以εr為標量?在介質(zhì)中,極化體電荷密度為可見,在無源區(qū)(ρ=0)的均勻介質(zhì)中,極化體電荷密度為零;在無源區(qū),僅在介質(zhì)不均勻處有束縛電荷?在均勻介質(zhì)中,將式(3.3.12)代入式(3.3.5)得將代入式(3.3.14)得式(3.3.15)是均勻介質(zhì)中的電位方程?可見均勻介質(zhì)中的電場方程和電位方程與真空中的電場方程的不同之處只是介電常數(shù)的差別?因此,只要將在真空中得到的電場關(guān)系中的ε0用ε代替,就可得到在真空中全部填滿同一種均勻介質(zhì)時的電場關(guān)系?例如,在整個空間填充介電常數(shù)為ε的介質(zhì)時,所帶電荷量為q的點電荷在空間任意一點產(chǎn)生的電場強度為3.4導(dǎo)體系統(tǒng)中的電容3.4.1孤立導(dǎo)體的電容一個孤立導(dǎo)體的電位與導(dǎo)體所帶的電量成正比?定義孤立導(dǎo)體所帶的電量q與其電位φ之比為該導(dǎo)體的電容,并記為C,即電容的單位是法拉(F)或者庫侖每伏(C/V)?電容是導(dǎo)體系統(tǒng)本身的特性,它只與導(dǎo)體的形狀?尺寸?相互之間的位置以及導(dǎo)體周圍的介質(zhì)有關(guān),而與導(dǎo)體的電位以及所帶電量無關(guān)?3.4.2雙導(dǎo)體電容器的電容由兩個導(dǎo)體所組成的多導(dǎo)體系統(tǒng)是實際中應(yīng)用最為廣泛的導(dǎo)體系統(tǒng)?若兩個導(dǎo)體之間所加的電壓為U,其中一個導(dǎo)體帶有電量為+q,另一個導(dǎo)體帶有電量為-q,則此系統(tǒng)構(gòu)成一個電容器?同樣,把電荷量q與兩導(dǎo)體之間的電壓U之比定義為該電容器的電容,即孤立導(dǎo)體的電容可以看成是兩導(dǎo)體系統(tǒng)中的一個導(dǎo)體在無限遠處的情況下的電容?因此,可以知道電容的概念不僅適用于電容器,對于任意兩個導(dǎo)體之間以及導(dǎo)體與大地之間也同樣適用?電容不僅表示兩導(dǎo)體之間存儲的電場能量的大小,也表示兩個導(dǎo)體的電耦合程度?3.4.3電位系數(shù)?電容系數(shù)及部分電容對于由兩個以上導(dǎo)體組成的多導(dǎo)體系統(tǒng)來說,空間任意一點的電位由各個導(dǎo)體表面的電荷產(chǎn)生?同樣,任意導(dǎo)體的電位也由各導(dǎo)體的表面電荷產(chǎn)生?即任意一個導(dǎo)體上的電位都要受到其他多個導(dǎo)體上電荷的影響?因此,由疊加定理可知,每一點的電位由n(多導(dǎo)體系統(tǒng)中導(dǎo)體的個數(shù))部分組成,導(dǎo)體j對電位的貢獻正比于它的面電荷密度ρsj,而ρsj又正比于導(dǎo)體j的帶電量q,那么導(dǎo)體j對導(dǎo)體i的電位貢獻可以寫為其中,pij稱為電位系數(shù),其物理意義是當(dāng)導(dǎo)體j帶1C的正電荷,而其余導(dǎo)體均不帶電荷時,導(dǎo)體i上的電位?當(dāng)i=j時,pij稱為自由電位系數(shù),它們僅與導(dǎo)體本身的形狀及尺寸有關(guān);當(dāng)i≠j時,p稱為互有電位系數(shù),它們與導(dǎo)體之間的相對位置及空間中介質(zhì)的介電常數(shù)有關(guān)?假設(shè)多導(dǎo)體系統(tǒng)中各導(dǎo)體的帶電量分別為q1,q2,…,qn,則導(dǎo)體i的總電位是系統(tǒng)中所有導(dǎo)體對其電位貢獻的疊加,即導(dǎo)體i的總電位可以表示為將式(3.4.4)寫成線性方程組的形式,就可以得到每一個導(dǎo)體的電位與各個導(dǎo)體上電荷之間的線性關(guān)系:由電位系數(shù)的定義可知,導(dǎo)體j帶正電,電力線自導(dǎo)體j出發(fā),終止于導(dǎo)體i或者終止于地面?又因為導(dǎo)體i不帶電,那么有多少電力線終止于它,就有多少電力線自它發(fā)出,所發(fā)出的電力線要么終止于其他導(dǎo)體,要么終止于地面?電位沿著電力線下降,其他導(dǎo)體的電位一定介于導(dǎo)體j的電位和地面的電位之間,所以有電位系數(shù)具有互異性,即將式(3.4.5)寫成矩陣的形式,即有或?qū)κ?3.4.8)中的矩陣求逆,可得或其中,βij稱為電容系數(shù),其物理意義是當(dāng)導(dǎo)體j的電位為1V,而其余導(dǎo)體均接地時,導(dǎo)體i上的感應(yīng)電荷量?當(dāng)i=j時,βij稱為自由電容系數(shù),它們與導(dǎo)體本身的形狀及尺寸有關(guān);當(dāng)i≠j時,βij稱為感應(yīng)系數(shù),它們不僅與導(dǎo)體之間的相對位置及空間中介質(zhì)的介電常數(shù)有關(guān),而且還與其他導(dǎo)體的幾何形狀有關(guān)?從式(3.4.10)可以看出,多導(dǎo)體系統(tǒng)的電荷可以用各個導(dǎo)體的電位來表示?由電容系數(shù)的定義可知,導(dǎo)體j的電位比其余導(dǎo)體的電位都高,所以,電力線自導(dǎo)體j出發(fā),終止于導(dǎo)體i或者終止于地面,即導(dǎo)體j帶正電,其余導(dǎo)體均帶負電?由電荷守恒定律可知,n個導(dǎo)體上的電荷再加上地面的電荷應(yīng)為零,這樣其余的n-1個導(dǎo)體所帶電荷量總和的絕對值必不大于導(dǎo)體j的電荷量,由此可得將式(3.4.10)改寫成其中Cii稱為第i個導(dǎo)體的自身部分電容;Cij稱為第i個導(dǎo)體與第j個導(dǎo)體之間的相互部分電容,即采用部分電容的概念來表示導(dǎo)體之間的耦合程度?部分電容只與導(dǎo)體系統(tǒng)的幾何結(jié)構(gòu)以及介質(zhì)有關(guān),與導(dǎo)體的帶電狀態(tài)無關(guān)?從式(3.4.15)也可以看出,每個導(dǎo)體上的電荷均由n部分組成,而其中的每一部分,都可以在其他導(dǎo)體上找到與之對應(yīng)的等值異號電荷?

3.5

靜電場的能量與電場力3.5.1靜電能電場對處于其中的電荷有力的作用,這說明電場具有能量?而任何形式帶電系統(tǒng)的建立都需要經(jīng)過從沒有電荷分布到具有某種最終電荷分布的過程,這樣的過程稱為充電過程?在這個過程中,外力必須克服電荷之間的相互作用力對系統(tǒng)做功?根據(jù)能量守恒定律,帶電系統(tǒng)所具有的能量等于外力對其所做的功?如果該過程進行得足夠緩慢,靜電場變化得也足夠緩慢,那么就不存在能量輻射的損失,外加對系統(tǒng)所做的功就全部轉(zhuǎn)化為電場能量?帶電系統(tǒng)的能量與建立系統(tǒng)的過程無關(guān)?下面先考慮在N個點電荷分布的空間中,其具有電場能量的大小?對于該區(qū)域來說,每個點電荷都具有某一固定的電位值?現(xiàn)在假定把該區(qū)域內(nèi)的任意一個電荷量為q1的點電荷從該區(qū)域中移到無窮遠處,而其他電荷則保持不變?根據(jù)能量守恒定律,移動該電荷所做的功應(yīng)該等于該電荷所帶有的電量與其原有位置的電位之積,即根據(jù)疊加原理,將電位計算公式代入,得將電荷量為q1的點電荷移開后,再采用同樣的方法將電荷量為q2的點電荷移動至無窮遠處,對于系統(tǒng)來說,其減少的能量為按照同樣的方法進行移動,如果所有的電荷都移動到無窮遠處,此時該區(qū)域內(nèi)也就不再存在電場能?因此,原有區(qū)域內(nèi)所帶有的電場能量也就等于將里面所有電荷移動到無窮遠處所做的功,即將前面求得的W1,W2,…,WN代入式(3.5.4),即得這是點電荷系統(tǒng)中所帶有的靜電能?需要注意的是,式(3.5.5)是在把空間中各電荷看成是點電荷的前提下得出的,它僅表示電荷相互作用的靜電能量,而不包括電荷匯聚成點電荷所需要的能量?對于密度為ρ的連續(xù)分布電荷,需將式(3.5.5)中的求和改換成積分形式,即如果對于某一個孤立導(dǎo)體,根據(jù)式(3.5.6),則有根據(jù)電容的定義式C=q/φ,有在上述推導(dǎo)過程中,采用的是電荷以及電位函數(shù)來表示靜電場的能量?下面從電場強度的角度來推導(dǎo)關(guān)于電場能量的表達式?將

代入式(3.5.6),則有根據(jù)矢量恒等式

以及高斯散度定理,可得令積分區(qū)間趨向于無窮大,因此只要電荷分布在一個有限的空間內(nèi),當(dāng)r→+∞時,電位函數(shù)φ和電位移矢量D分別以1/r和1/r2的數(shù)量級減小,而面積S以r2的數(shù)量級增加?因此當(dāng)r→+∞時,有所以,式(3.5.10)可以寫成對于各向同性介質(zhì),利用本構(gòu)關(guān)系D=εE,有式(3.5.13)說明,只要空間中存在電場強度,就存在電場能量,也就是說,電場能量存在于E≠0的所有空間?從數(shù)學(xué)的觀點定義靜電能量密度為其物理意義可以理解為靜電場中單位體積內(nèi)存儲的電場能量,單位為焦耳每立方米(J/m3)?3.5.2靜電力當(dāng)一個帶電導(dǎo)體處于外電場中時,必受到電場力的作用,那么從原則上講,可以利用庫侖定律來進行計算,但是實際上除了少數(shù)簡單情況之外,利用庫侖定律求解的問題非常有限,而且求解過程也非常困難?這里介紹一種通過電場能量求解電場力的方法,即虛位移法?其基本思路是假設(shè)帶電體在電場力的作用下產(chǎn)生一個虛位移,由于電場力做功使得系統(tǒng)的能量發(fā)生改變,因此可以根據(jù)能量守恒定律確定電場力?采用虛位移法可以很輕易地計算出電場力?對一個與外電源相連的帶電系統(tǒng)(即各帶電導(dǎo)體的電位不變)而言,根據(jù)能量守恒定律,在沒有能量損耗的情況下,外電源供給帶電系統(tǒng)的能量等于系統(tǒng)所做的機械功與系統(tǒng)儲能的增量之和,即1.電荷量不變在產(chǎn)生虛位移的過程中,如果帶電系統(tǒng)中各帶電導(dǎo)體的電荷量不變,則說明各導(dǎo)體都不連接外電源,外電源對該系統(tǒng)所做的功為零,即因此,在虛位移的方向上,電場力為如果分別取虛位移的方向為x?y和z方向,則可以得到電場力的矢量表達形式:即2.電位不變在產(chǎn)生虛位移的過程中,如果帶電系統(tǒng)中各帶電導(dǎo)體的電位不變,則說明該系統(tǒng)中各帶電導(dǎo)體與恒壓電源相連接?此時,當(dāng)導(dǎo)體的相對位置發(fā)生改變時,每個恒壓電源都要向帶電導(dǎo)體輸送電荷而做功?假設(shè)各導(dǎo)體的電位分別為φ1,φ2,…,φn,各導(dǎo)體的電荷增量分別為dq1,dq2,…,dq3,則恒壓電源所做的功為根據(jù)前面所掌握的靜電能的知識,可以獲得關(guān)于電場儲能增量的表達形式:這說明外電源提供的能量一半使得電場儲能增加,而另一半提供給電場力做功,即有將式(3.5.22)代入式(3.5.15),可得所以,在位移方向上,電場力大小為與其相應(yīng)的矢量形式為

3.6物質(zhì)的磁化3.6.1磁偶極子如圖3.6.1所示,一個通有電流I而且半徑為a的圓形平面回路在遠離回路的區(qū)域所產(chǎn)生的磁場,將該載流回路放在xOy平面,且中心在原點?由于此時的電流分布不具有對稱性,所以磁矢位在球面坐標系中只有A?分量,并且該分量為r和θ函數(shù),而與?無關(guān)?根據(jù)這個性質(zhì),可以將場點選在xOy平面?在xOy平面中,A?分量與直角坐標中的Ay分量一致,它是電流元矢量Idl′分量的y分量adφdcos?所產(chǎn)生的磁矢位分量的總和?其中，，而且。如果r?a,那么由圖3.6.1可得所以將式(3.6.4)代入式(3.6.1),可得其中,m=Iπa2為矩形回路磁矩的模值?磁矩為矢量,其方向與其所在的載流回路環(huán)路的法線方向一致,大小等于電流I與回路面積的乘積,即磁矩可以表示為式中,S為回路的有向面積?有向面積的定義不僅僅局限于平面回路,也可以是三維空間的任意閉合曲線,則此時可以表示為,其中dS′為S上的有向面積元,積分區(qū)域是以電流環(huán)為周界的任意曲面?因此,可以將式(3.6.5)利用磁矩重新表示為將式(3.6.7)在球面坐標系中求旋度,可以得到磁場,即求得的磁場與電偶極子的電場強度很相似,載有恒定電流的小回路稱為磁偶極子?需要注意的是,對于任意載流回路,不論其電流及形狀如何,只要其磁矩m給定,遠區(qū)(觀察點到導(dǎo)線的距離遠大于回路的尺度)的磁場表達式均相同?在遠區(qū)磁偶極子的磁力線與電偶極子的電力線具有相同的分布,但在近區(qū)兩者的分布不相同,這主要是因為電力線從正電荷出發(fā)而在負電荷終止,而磁力線總是閉合曲線?磁偶極子的磁位和磁場,在討論介質(zhì)磁化時具有很重要的作用?位于點r的磁矩為m的磁偶極子,在點r′處產(chǎn)生的磁矢位為3.6.2分子電流及分子磁矩物質(zhì)中的帶電粒子總是處于永恒的運動之中,主要包括電子的自旋運動?電子繞核的公轉(zhuǎn)運動以及原子核的自旋運動?在一般的分析中,由于核的作用很小,故可以忽略不計,那么物質(zhì)分子的磁性只來源于分子內(nèi)部電子沿軌道的公轉(zhuǎn)運動和自旋運動所形成的微觀電流?從電磁學(xué)的角度來看,每個電子運動時所產(chǎn)生的效應(yīng)與回路電流所產(chǎn)生的效應(yīng)相同,該回路電流產(chǎn)生的磁矩稱為電子磁矩?那么,物質(zhì)分子內(nèi)部所有電子對外所產(chǎn)生的磁效應(yīng)總和可以用一個等效回路電流來表示,這個等效回路電流稱為分子電流,該分子電流的磁矩稱為分子磁矩,也稱固有磁矩,即分子內(nèi)部所有電子磁矩的矢量之和,如圖3.6.2及式(3.6.10)所示?在外磁場的作用下,電子的運動狀態(tài)會發(fā)生變化,這種現(xiàn)象稱為物質(zhì)的磁化,而能被磁化的物質(zhì)稱為磁介質(zhì)?磁介質(zhì)按照其磁性可以分為三類,即順磁性磁介質(zhì)?抗磁性磁介質(zhì)及鐵磁性磁介質(zhì)?在無外加磁場作用下,分子磁矩不為零的物質(zhì)稱為順磁性磁介質(zhì)?當(dāng)把該物質(zhì)放置在外加磁場中時,在外加磁場的作用下,其內(nèi)部原本取向隨機的分子磁矩與外加磁場的方向趨向一致,即分子磁矩都向外加磁場偏轉(zhuǎn),外加磁場會使順磁性磁介質(zhì)分子產(chǎn)生比分子磁矩小幾個數(shù)量級的感應(yīng)磁矩,從而使得磁場增強?這類物質(zhì)主要有O2?N2O?Na?Al?空氣等物質(zhì)?而抗磁性磁介質(zhì)是指在無外加磁場時,其分子磁矩為零的物質(zhì)?當(dāng)抗磁性磁介質(zhì)處在外加磁場中時,外加磁矩會改變抗磁性磁介質(zhì)分子中電子的運動狀態(tài),在分子中產(chǎn)生一個與外加磁場方向相反的感應(yīng)磁矩,從而使磁場減弱?這類物質(zhì)主要有Cu?Pb?Ag?N2等?而鐵磁性磁介質(zhì)是指在無外加磁場時能自發(fā)磁化的一類物質(zhì),這類物質(zhì)內(nèi)部存在著一個個分子磁矩排列整齊的小區(qū),稱為磁疇?在無外加磁場時,磁疇的磁化強度方向是隨機的;而當(dāng)有外加磁場時,磁疇的取向?qū)②呄蛞恢?產(chǎn)生明顯的磁性?鐵磁性物質(zhì)在外加磁場取消后,存在有剩磁,并存在有磁滯現(xiàn)象?這類物質(zhì)主要有Fe?Ni等?除此之外,還有一類亞鐵磁性磁介質(zhì),該類磁介質(zhì)的磁化強度比鐵磁性物質(zhì)的稍弱,但剩磁小?電導(dǎo)率高,主要應(yīng)用于制造高頻器件?3.6.3磁化強度在沒有外加磁場的時候,雖然順磁性磁介質(zhì)的每一個分子都具有分子磁矩,但分子磁矩pm由于熱運動而排列得雜亂無章,所有分子的分子磁矩矢量和相互抵消,即宏觀磁矩為零?對于抗磁性磁介質(zhì)而言,其分子磁矩pm為零?在未被磁化的磁介質(zhì)中任意點處的分子磁矩pm為零?這些磁介質(zhì)在外加磁場的作用下,都要產(chǎn)生感應(yīng)磁矩,且物質(zhì)內(nèi)部的分子磁矩沿著外加磁場的方向取向,這種現(xiàn)象即是介質(zhì)的磁化?磁化介質(zhì)可以被視為真空中按照一定方向排列的磁偶極子的集合?在這里,引入磁化強度的概念來描述磁介質(zhì)磁化的程度?磁化強度M是指介質(zhì)處在磁化狀態(tài)中某點單位體積內(nèi)總的分子磁矩,即同時,也可以將磁化強度M定義為磁介質(zhì)中某點的平均分子磁矩pm0與該點處的分子密度N的乘積,即3.6.4磁化電流當(dāng)磁介質(zhì)被外加磁場磁化之后,可以將其看成是真空中的一系列磁偶極子,那么磁介質(zhì)產(chǎn)生的附加磁場實質(zhì)上就是這些磁偶極子在真空中產(chǎn)生的磁場?磁介質(zhì)中由于分子磁矩的有序排列而呈現(xiàn)宏觀磁效應(yīng),取向排列的分子電流同樣會引起宏觀電流分布,從而在介質(zhì)內(nèi)部將產(chǎn)生某一個方向的凈電流,在介質(zhì)的表面也將產(chǎn)生宏觀面電流,稱之為磁化電流,也稱束縛電流,如圖3.6.3所示?下面結(jié)合磁矢位的知識來計算磁化電流的強度?如圖3.6.4所示,設(shè)P為磁化介質(zhì)外部一點,其對應(yīng)的位置矢量為r(x,y,z),磁介質(zhì)內(nèi)部r′(x′,y′,z′)處體積元ΔV′內(nèi)的分子磁矩為Δp=MΔV′,它在場點P(x,y,z)處產(chǎn)生的矢量磁位為因此,全部磁介質(zhì)在場點P(x,y,z)處產(chǎn)生的矢量磁位為根據(jù)矢量恒等式,式(3.6.14)可以整理為再利用矢量恒等式

,則式(3.6.15)可寫為再利用矢量恒等式

，則式(3．6．16)可寫為由式(3.6.17)可以看出,等式右邊的