新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第05講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立（有解）問題含新定義解答題分層精練

第05講利用導(dǎo)數(shù)研究不等式能成立（有解）問題(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2324高一下·湖北·開學(xué)考試）下列選項(xiàng)中是“，”成立的一個(gè)必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】變形得到，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，故，由于是的真子集，故A正確，其他選項(xiàng)不合要求.【詳解】，，即，，∴，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，即，由于是的真子集，故“”的必要不充分條件為“”，其他選項(xiàng)均不合要求.故選：A2．（2324高一上·河北·階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意得出求解即可.【詳解】，，所以，，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，即，取成立.當(dāng)時(shí)，，即，得，所以當(dāng)時(shí)，，即，得，所以，綜上：的取值范圍是.故選：A3．（2324高一上·黑龍江哈爾濱·期中）在上定義新運(yùn)算，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得存在實(shí)數(shù)，使得，則，求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】由已知，存在實(shí)數(shù)，使得，則，因?yàn)槎魏瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，所以，，故實(shí)數(shù)的最大值為.故選：A.4．（2223高一上·遼寧營(yíng)口·期末）已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，，得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍是.【詳解】若，，使得，故只需，其中在上單調(diào)遞減，故，在上單調(diào)遞增，故，所以，解得：，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C5．（2324高一上·浙江紹興·期中）若存在，有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分離參數(shù)得在上有解，從而，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求得最值即可求解.【詳解】因?yàn)榇嬖?，有成立，所以在上有解，所以，記，，令，則，，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值為，當(dāng)時(shí)，的函數(shù)值為，且,所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.6．（2324高一上·河北石家莊·期中）在上定義運(yùn)算：．已知時(shí)，存在使不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得當(dāng)時(shí)存在使不等式成立，令，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值，即可得到，解得即可.【詳解】依題意不等式，即，即，則當(dāng)時(shí)存在使不等式成立，即當(dāng)時(shí)存在使不等式成立，令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且、、，所以，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A7．（2324高一上·重慶南岸·期中）已知函數(shù)滿足條件：在R上是減函數(shù)，若，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為能成立，再利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，可化為，因?yàn)樵赗上是減函數(shù)，所以，所以問題轉(zhuǎn)化為，使成立，即，則，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)或時(shí)，取得最大值，所以，即.故選：B.8．（2324高三上·湖南衡陽·階段練習(xí)）已知，，，使成立.則a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將問題化為在上成立，利用指對(duì)數(shù)的單調(diào)性求對(duì)應(yīng)最值，再求解不等式解集即可.【詳解】由題設(shè)，使成立，所以在上成立，對(duì)于，有，對(duì)于，有，所以，即，可得.故選：B二、多選題9．（2223高一上·山東臨沂·期末）已知函數(shù)（，），，函數(shù)的圖像過點(diǎn)，且關(guān)于直線對(duì)稱，若對(duì)任意的，存在，使得，則實(shí)數(shù)m的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)已知列方程可求出的解析式，將問題轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間恒成立，求出函數(shù)最小值，然后把問題轉(zhuǎn)化成，進(jìn)而求解即可.【詳解】∵的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，∴，即，由于，故，又∵函數(shù)的圖像過點(diǎn)，∴，解得．于是；又“對(duì)任意，存在，使得”等價(jià)于“”，當(dāng)時(shí)，，即，即．于是，即，又，∴，即.的取值范圍是．故選：CD10．（2324高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的可能取值是（

）A．1 B．3 C． D．4【答案】BD【分析】根據(jù)題意，由條件可得“，”為真命題，然后分離參數(shù)，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，則命題“，”為真命題，所以，，令，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，所以.故選：BD三、填空題11．（2324高一上·重慶·期末）已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)存在性的性質(zhì)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，該二次函數(shù)單調(diào)遞增，所以，因?yàn)榇嬖?，使得不等式成立，所以有，或，因此?shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：12．（2122高三下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為在對(duì)應(yīng)區(qū)間上，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求、的區(qū)間最值，即可求的范圍.【詳解】若在上的最大值，在上的最大值，由題設(shè)，只需即可.在上，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)：在上遞增，故.在上，單調(diào)遞增，則，所以，可得.故答案為：.四、解答題13．（2324高一上·廣西玉林·期中）已知函數(shù)（，且）的部分圖象如圖示．(1)求的解析式；(2)若關(guān)于x的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】（1）結(jié)合圖象，利用待定系數(shù)法即可得解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為在有解，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）由圖象可知函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)和，所以，解得，所以函數(shù)的解析式是．（2）由（1）知，，根據(jù)題意知，即在有解，設(shè)，則，因?yàn)楹驮谏隙际菃握{(diào)遞增函數(shù)，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，故，所以，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．14．（2223高一上·黑龍江大慶·期末）已知函數(shù).(1)求在上的值域；(2)當(dāng)時(shí)，已知，若，使得，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）將化為關(guān)于的類二次函數(shù)，結(jié)合換元法和二次函數(shù)性質(zhì)可求在上的值域；（2）若，使得，則問題轉(zhuǎn)化為：分別求出最值解不等式即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)，令，則，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值；當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的值域?yàn)?；?）若，使得，則問題轉(zhuǎn)化為：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?；在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；所以即，所以的取值范圍為：.B能力提升1．（2023·四川綿陽·三模）設(shè)函數(shù)為與中較大的數(shù)，若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)絕對(duì)值函數(shù)的圖像和二次函數(shù)討論對(duì)稱軸判定函數(shù)的圖像即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以代表與兩個(gè)函數(shù)中的較大者，不妨假設(shè)的函數(shù)圖像如下圖所示：是二次函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸為直線，①當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，需要即，則存在使得成立，故；②當(dāng)時(shí)，在上是先減后增函數(shù)，需要，即，解得或，又，故時(shí)無解；③當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，需要即，則存在使得成立，故.綜上所述，的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是理解f(x)的定義，數(shù)形結(jié)合對(duì)參數(shù)a分三種情況進(jìn)行分別討論.2．（2223高一上·山東濰坊·期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．已知定義在上的函數(shù)具有性質(zhì)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)新定義可推得，恒成立，即，的值域M，滿足，求出M，列出不等式，即可求得答案.【詳解】由題意得定義在上的函數(shù)具有性質(zhì)，即，滿足，即，恒成立；記函數(shù)，的值域?yàn)镸，，則由題意得,當(dāng)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，則，即,此時(shí)不滿足，舍去；當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)取得最大值，即，即,要滿足，需，解得或，而，故，即m的取值范圍為，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)新定義，要能推出，恒成立，繼而將問題轉(zhuǎn)化為集合之間的包含問題，因此要求出函數(shù)的值域，根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式求解即可.3．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】問題轉(zhuǎn)化為（）有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解，討論、并構(gòu)造、，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合列出不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，可得（），顯然當(dāng)時(shí)，不等式在恒成立，不合題意；當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增，令，則，故上，上，∴在上遞增，在上遞減，又且趨向正無窮時(shí)趨向0，故，綜上，圖象如下：由圖知：要使有兩個(gè)正整數(shù)解，則，即，解得．故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為（）有且僅有兩個(gè)正整數(shù)解，根據(jù)不等式兩邊的單調(diào)性及正整數(shù)解個(gè)數(shù)列不等式組求范圍.4．（2324高一上·上?！るA段練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，用表示不大于的最大整數(shù)．對(duì)于函數(shù)，若存在且，使得，則稱是“函數(shù)”．若函數(shù)是“函數(shù)”，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】且【分析】由函數(shù)定義得且，，且，，進(jìn)而有能成立，就的不同取值范圍分類討論后可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，且，，且，，所以能成立，即能成立，則，所以，若，則，，舍；若，則，，舍；若，則，，此時(shí)；若，則，，此時(shí)；若，則，與題設(shè)矛盾，若，則，，此時(shí)，若，則，，此時(shí)，若，，舍；故正實(shí)數(shù)的取值范圍是且.故答案為：且【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由新定義得到能成立，得，討論的取值范圍后可確定參數(shù)的取值范圍.C綜合素養(yǎng)1．（2324高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）給定，若存在實(shí)數(shù)使得成立，則定義為的點(diǎn)．已知函數(shù)．(1)當(dāng)，時(shí)，求的點(diǎn)；(2)對(duì)于任意的，總存在，使得函數(shù)存在兩個(gè)相異的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)1和3(2)或【分析】（1）根據(jù)給定的定義，解一元二次方程作答.（2）根據(jù)給定的定義，利用一元二次方程恒有兩個(gè)不等實(shí)根列式，再結(jié)合恒成立的條件及一元二次不等式在區(qū)間上有解求解作答.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，依題意令，即，解得或，所以當(dāng)時(shí)，的點(diǎn)為和．（2）因函數(shù)總存在兩個(gè)相異的點(diǎn)，則方程，即恒有兩個(gè)不等實(shí)根，依題意，對(duì)任意的，總存在使成立，即對(duì)任意的，總存在使成立，而恒成立，于是存在，不等式成立，而，從而得不