2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.2空間向量的基本定理學(xué)案新人教B版選修2-1

PAGE1-3．1.2空間向量的基本定理學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解共線向量、共面對(duì)量的意義，駕馭它們的表示方法.2.理解共線向量的充要條件和共面對(duì)量的充要條件及其推論，并能應(yīng)用其證明空間向量的共線、共面問題．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.理解基底、基向量及向量的線性組合的概念.1.通過共線、共面對(duì)量基本定理的學(xué)習(xí)，培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).2.借助空間向量分解定理及任一空間向量可用一組基向量線性表示提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．共線向量定理與共面對(duì)量定理(1)共線向量定理兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)x，使a＝xb.(2)向量共面的條件①向量a平行于平面α的定義已知向量a，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，假如a的基線OA平行于平面α或在α內(nèi)，則就說向量a平行于平面α，記作a∥α.②共面對(duì)量的定義平行于同一平面的向量，叫做共面對(duì)量．③共面對(duì)量定理假如兩個(gè)向量a，b不共線，則向量c與向量a，b共面的充要條件是，存在唯一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使c＝xa＋yb.2．空間向量分解定理(1)空間向量分解定理假如三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.(2)基底假如三個(gè)向量a，b，c是三個(gè)不共面的向量，則a，b，c的線性組合xa＋yb＋zc能生成全部的空間向量，這時(shí)a，b，c叫做空間的一個(gè)基底，記作{a，b，c}，其中a，b，c都叫做基向量．表達(dá)式xa＋yb＋zc叫做向量a，b，c的線性表示式或線性組合．1．對(duì)于空間的隨意三個(gè)向量a，b,2a－b，它們肯定是()A．共面對(duì)量B．共線向量C．不共面對(duì)量D．既不共線也不共面的向量[答案]A2．給出的下列幾個(gè)命題：①向量a，b，c共面，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使c＝xa＋yb；②零向量的方向是隨意的；③若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．3B[只有②為真命題．]3．若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，且存在實(shí)數(shù)x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，則x，y，z滿意的條件是________．x＝y(tǒng)＝z＝0[若x≠0，則a＝－eq\f(y,x)b＋eq\f(z,x)c，即a與b，c共面．由{a，b，c}是空間向量的一個(gè)基底，知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.]向量共線問題【例1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up15(→))＝2eq\o(ED1,\s\up15(→))，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且eq\o(A1F,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up15(→)).求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．[證明]設(shè)eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AD,\s\up15(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up15(→))＝c.∵eq\o(A1E,\s\up15(→))＝2eq\o(ED1,\s\up15(→))，eq\o(A1F,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up15(→))，∴eq\o(A1E,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(A1D1,\s\up15(→))，eq\o(A1F,\s\up15(→))＝eq\f(2,5)eq\o(A1C,\s\up15(→)).∴eq\o(A1E,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)b，eq\o(A1F,\s\up15(→))＝eq\f(2,5)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AA1,\s\up15(→)))＝eq\f(2,5)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AA1,\s\up15(→)))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.∴eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(A1F,\s\up15(→))－eq\o(A1E,\s\up15(→))＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又eq\o(EB,\s\up15(→))＝eq\o(EA1,\s\up15(→))＋eq\o(A1A,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，∴eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\f(2,5)eq\o(EB,\s\up15(→)).∴E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線．判定兩向量共線就是找尋x使a＝xb(b≠0)成立，為此可結(jié)合空間圖形并運(yùn)用空間向量運(yùn)算法則化簡出a＝xb，從而得a∥b.1．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CB、CD上的點(diǎn)，且eq\o(CF,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up15(→))，eq\o(CG,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up15(→)).利用向量法求證四邊形EFGH是梯形．[證明]∵E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，∴eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(AH,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))，eq\o(EH,\s\up15(→))＝eq\o(AH,\s\up15(→))－eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(CB,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(CG,\s\up15(→))－\f(3,2)\o(CF,\s\up15(→))))＝eq\f(3,4)(eq\o(CG,\s\up15(→))－eq\o(CF,\s\up15(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(FG,\s\up15(→))，∴eq\o(EH,\s\up15(→))∥eq\o(FG,\s\up15(→))且|eq\o(EH,\s\up15(→))|＝eq\f(3,4)|eq\o(FG,\s\up15(→))|≠|(zhì)eq\o(FG,\s\up15(→))|，又F不在EH上，∴四邊形EFGH是梯形.共面對(duì)量定理及應(yīng)用【例2】對(duì)于隨意空間四邊形ABCD，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．試證：eq\o(EF,\s\up15(→))與eq\o(BC,\s\up15(→))、eq\o(AD,\s\up15(→))共面．[解]空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(EA,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))，eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(EB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CF,\s\up15(→)).①又E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，故有eq\o(EA,\s\up15(→))＝－eq\o(EB,\s\up15(→))，eq\o(DF,\s\up15(→))＝－eq\o(CF,\s\up15(→))，②將②代入①中，兩式相加得2eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)).所以eq\o(EF,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，即eq\o(EF,\s\up15(→))與eq\o(BC,\s\up15(→))、eq\o(AD,\s\up15(→))共面．利用向量法證明四點(diǎn)共面，實(shí)質(zhì)上是證明的向量共面問題，解題的關(guān)鍵是嫻熟地進(jìn)行向量表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過程中要留意區(qū)分向量所在的直線的位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系.2．如圖所示，P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分別延長PE，PF，PG，PH，交對(duì)邊于M，N，Q，R，并順次連接MN，NQ，QR，RM.應(yīng)用向量共面定理證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．[證明]∵E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R為所在邊的中點(diǎn)，順次連接M，N，Q，R，所得四邊形為平行四邊形，且有eq\o(PE,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up15(→))，eq\o(PF,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up15(→))，eq\o(PG,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up15(→))，eq\o(PH,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up15(→)).∵M(jìn)NQR為平行四邊形，∴eq\o(EG,\s\up15(→))＝eq\o(PG,\s\up15(→))－eq\o(PE,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up15(→))－eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)eq\o(MQ,\s\up15(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(MN,\s\up15(→))＋eq\o(MR,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)(eq\o(PN,\s\up15(→))－eq\o(PM,\s\up15(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(PR,\s\up15(→))－eq\o(PM,\s\up15(→)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PF,\s\up15(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up15(→))))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(PH,\s\up15(→))－\f(3,2)\o(PE,\s\up15(→))))＝eq\o(EF,\s\up15(→))＋eq\o(EH,\s\up15(→)).∴由共面對(duì)量定理得eq\o(EG,\s\up15(→))，eq\o(EF,\s\up15(→))，eq\o(EH,\s\up15(→))共面，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.基底的推斷及應(yīng)用[探究問題]1．構(gòu)成空間向量的基底唯一嗎？是否共面？[提示]不唯一，不共面．2．怎樣理解空間向量基本定理？[提示](1)空間向量基本定理表明，用空間三個(gè)不共面已知向量組{a，b，c}可以線性表示出空間隨意一個(gè)向量，而且表示的結(jié)果是唯一的．(2)空間中的基底是不唯一的，空間中隨意三個(gè)不共面對(duì)量均可作為空間向量的基底．(3)拓展：設(shè)O，A，B，C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使eq\o(OP,\s\up15(→))＝xeq\o(OA,\s\up15(→))＋yeq\o(OB,\s\up15(→))＋zeq\o(OC,\s\up15(→))，當(dāng)且僅當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)共面．【例3】(1)若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，試推斷{a＋b，b＋c，c＋a}能否作為該空間的一個(gè)基底．(2)如圖，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知eq\o(AA′,\s\up15(→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，eq\o(AC,\s\up15(→))＝c，點(diǎn)M，N分別是BC′，B′C′的中點(diǎn)，試用基底{a，b，c}表示向量eq\o(AM,\s\up15(→))，eq\o(AN,\s\up15(→)).[思路探究](1)推斷a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，則可作為一個(gè)基底，否則，不能作為一個(gè)基底．(2)借助圖形找尋待求向量與a，b，c的關(guān)系，利用向量運(yùn)算進(jìn)行分析，直至向量用a，b，c表示出來．[解](1)假設(shè)a＋b，b＋c，c＋a共面．則存在實(shí)數(shù)λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c. ∵{a，b，c}為基底，∴a，b，c不共面．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝μ，,1＝λ，,0＝λ＋μ.))此方程組無解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作為空間的一個(gè)基底．(2)eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB′,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝b＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(c－b)＝b＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)b＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\o(AA′,\s\up15(→))＋eq\o(A′B′,\s\up15(→))＋eq\o(B′N,\s\up15(→))＝eq\o(AA′,\s\up15(→))＋eq\o(A′B′,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(B′C′,\s\up15(→))＝a＋b＋eq\f(1,2)(eq\o(A′C′,\s\up15(→))－eq\o(A′B′,\s\up15(→)))＝a＋b＋eq\f(1,2)(c－b)＝a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.1．(變換條件)若把本例3(2)中的eq\o(AA′,\s\up15(→))＝a改為eq\o(AC′,\s\up15(→))＝a，其他條件不變，則結(jié)果又是什么？[解]eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BM,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AC′,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))＝b＋eq\f(1,2)(a－b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AN,\s\up15(→))＝eq\o(AC′,\s\up15(→))＋eq\o(C′N,\s\up15(→))＝eq\o(AC′,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(C′B′,\s\up15(→))＝eq\o(AC′,\s\up15(→))－eq\f(1,2)eq\o(B′C′,\s\up15(→))＝eq\o(AC′,\s\up15(→))－eq\f(1,2)(eq\o(A′C′,\s\up15(→))－eq\o(A′B′,\s\up15(→)))＝a－eq\f(1,2)(c－b)＝a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.2.(變換條件、變更問法)如圖所示，本例3(2)中增加條件“P在線段AA′上，且AP＝2PA′”，試用基底{a，b，c}表示向量eq\o(MP,\s\up15(→)).[解]eq\o(MP,\s\up15(→))＝eq\o(MC′,\s\up15(→))＋eq\o(C′A′,\s\up15(→))＋eq\o(A′P,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC′,\s\up15(→))－eq\o(A′C′,\s\up15(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB′,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))－eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)[eq\o(AA′,\s\up15(→))＋(eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AB,\s\up15(→)))]－eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\f(1,3)eq\o(AA′,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(a＋c－b)－c－eq\f(1,3)a＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.用基底表示向量的步驟1定基底：依據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底.2找目標(biāo)：用確定的基底或已知基底表示目標(biāo)向量，須要依據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡，最終求出結(jié)果.(3)下結(jié)論：利用空間向量的一個(gè)基底{a，b，c}可以表示出空間全部向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．提示：利用三角形法則或平行四邊形法則，把所求向量用已知基向量表示出來．1．給出下列命題：①若{a，b，c}可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可作為空間的基底；②已知向量a∥b，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若eq\o(BA,\s\up15(→))，eq\o(BM,\s\up15(→))，eq\o(BN,\s\up15(→))不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量組{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個(gè)基底．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4D[依據(jù)基底的概念，知空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底，否則就不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．明顯②正確，③中由eq\o(BA,\s\up15(→))、eq\o(BM,\s\up15(→))、eq\o(BN,\s\up15(→))共面且過相同點(diǎn)B，故A，B，M，N共面．下面證明①④正確．①假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使d≠kc，∵d≠0，∴k≠0，從而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c與a，b共面與條件沖突．∴d與a，b不共面．同理可證④也是正確的．]2．對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A、B、C，能得到P，A，B，C四點(diǎn)共面的是()A.eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))B.eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up15(→))C.eq\o(OP,\s\up15(→))＝－eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up15(→))D．以上皆錯(cuò)B[∵eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up15(→))，∴3eq\o(OP,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))，∴eq\o(OP,\s\up15(→))－eq\o(OA,\s\up15(→))＝(eq\o(OB,\s\up15(→))－eq\o(OP,\s\up15(→)))＋(eq\o(OC,\s\up15(→))－eq\o(OP,\s\up15(→)))，∴eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\o(PB,\s\up15(→))＋eq\o(PC,\s\up15(→))，∴eq\o(PA,\s\up15(→))＝－eq\o(PB,\s\up15(→))－eq\o(PC,\s\up15(→))，∴P，A，B，C共面．]3．已知正方體ABCD-A′B′C′D′，點(diǎn)E是A′C′的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AE的三等分點(diǎn)，且AF＝eq\f(1,2)EF，則eq