黃金卷02（江蘇專用）備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷含答案及解析

試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（江蘇專用）黃金卷02（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知全集，集合，則（）A. B. C. D.2．用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則（）A.11 B.13 C.63 D.783．等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若成等比數(shù)列，則的前5項的和為（）A. B. C.5 D.254．設為單位向量，在方向上的投影向量為，則（）A. B. C. D.5．已知，則（）A. B. C. D.6．已知拋物線的焦點為，點在上．若以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長為，則該圓的面積為（）A. B. C. D.7．已知函數(shù)，將圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若和在區(qū)間上均單調遞增，則的最大值為（）A. B. C. D.8．在棱長為的正方體中，點分別為棱，的中點．已知動點在該正方體的表面上，且，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知，為方程的兩根，則（）A. B.C. D.10．下列說法正確的是（）A.設A，B為兩個事件，且，，則B.若在一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，6中增加一個數(shù)據(jù)4，則方差變小C.若變量x與變量y滿足關系，變量y與變量z是正相關，則x與z負相關D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗（），可判斷X與Y有關聯(lián)，此推斷犯錯的概率不大于0.0511．已知函數(shù)的定義域為，且，，則（）A. B.關于中心對稱C.是周期函數(shù) D.的解析式可能為第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，則的值為______________．13．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上的一個動點，且“”的最小值是，則雙曲線的漸近線方程為______________．14．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是______________．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）數(shù)列中，，，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列的前項和為，且滿足，，求．16．（15分）單位面積穗數(shù)?穗粒數(shù)?千粒重是影響小麥產量的主要因素，某小麥品種培育基地在一塊試驗田種植了一個小麥新品種，收獲時隨機選取了100個小麥穗，對每個小麥穗上的小麥粒數(shù)進行統(tǒng)計得到如下統(tǒng)計表：穗粒數(shù)穗數(shù)41056228其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表.從收獲的小麥粒中隨機選取5組，每組1000粒，分別稱重，得到這5組的質量（單位：）分別為：.（1）根據(jù)抽測，這塊試驗田的小麥畝穗數(shù)為40萬，試估計這塊試驗田的小麥畝產量（結果四舍五入到）；公式：畝產量畝穗數(shù)樣本平均穗粒數(shù)（2）已知該試驗田穗粒數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.若小麥穗粒數(shù)不低于28粒的穗數(shù)超過總體的，則稱該小麥品種為優(yōu)質小麥品種，試判斷該試驗田中的小麥品種是否為優(yōu)質小麥品種.參考數(shù)據(jù)：若近似服從正態(tài)分布，則.17．（15分）如圖，在直三棱柱中，，．（1）當時，求證：平面；（2）設二面角的大小為，求的取值范圍．18．（17分）已知橢圓E：，直線與E交于，兩點，點P在線段MN上（不含端點），過點P的另一條直線與E交于A，B兩點.（1）求橢圓E的標準方程；（2）若，，點A在第二象限，求直線的斜率；（3）若直線MA，MB的斜率之和為2，求直線的斜率的取值范圍.19．（17分）一個完美均勻且靈活的項鏈的兩端被懸掛，并只受重力的影響，這個項鏈形成的曲線形狀被稱為懸鏈線.1691年，萊布尼茨、惠根斯和約翰?伯努利等得到“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當時，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地雙曲正弦函數(shù)，它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質.（1）類比三角函數(shù)的三個性質：①倍角公式；②平方關系；③求導公式寫出雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的一個正確的性質并證明；（2）當時，雙曲正弦函數(shù)圖象總在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，證明：

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（江蘇專用）黃金卷02·參考答案（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678CDADBCAB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011BCABDACD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．7813．14．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）【詳解】（1）因為，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其首項為，………2分于是，則，，，，，所以，………5分所以；而符合該式，故.………6分（2）由（1）問知，，則，又，則，兩式相乘得，即，因此與同號，………8分因為，所以當時，，此時，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，；………10分當時，，此時，………12分當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，；綜上，當時，；當時，.………15分16．（15分）【詳解】（1）該試驗田樣本平均穗粒數(shù)為，………3分樣本平均千粒重為，………5分所以這塊試驗田的小麥畝產量的估計值為，…7分（2）由（1）得，所以，………10分由得：，故：，所以該試驗田中的小麥為優(yōu)質小麥品種.………15分17．（15分）【詳解】（1）以為基底建立如圖所示空間直角坐標系，則，.當時，，………2分所以，所以，所以.………4分又平面平面，所以平面.………7分（2），設平面的一個法向量為，則，即，不妨取.………9分因為平面，所以平面的一個法向量為.………10分所以，所以.………13分又因為，易知在上單調遞減，所以.………15分18．（17分）【詳解】（1）因為，兩點在橢圓上，所以解得，.故橢圓的標準方程為.………4分（2）設，，設，聯(lián)立，得，即，，，.………6分由得，則，則.由得：，即，代入得，，，解得：，，.故直線的斜率為.………10分（3）由,可知，即，即，即，代入，，得，即，故，故或.………13分當時，直線過，此時點重合，與條件矛盾，舍去.當時，直線過定點，點在線段上運動，當時，由，所以，即從而直線的斜率的取值范圍為.………17分19．（17分）（1）平方關系：；倍角公式：；導數(shù)：.理由如下：平方關系，；倍角公式：；導數(shù)：，；以上三個結論，證對一個即可.………5分（2）構造函數(shù)，，由（1）可知，①當時，由，又因為，故，等號不成立，所以，故為嚴格增函數(shù)，此時，故對任意，恒成立，滿足題意；②當時，令，則，可知是嚴格增函數(shù)，由與可知，存在唯一，使得，故當時，，則在上為嚴格減函數(shù)，故對任意，，即，矛盾；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；………10分（3）因為，所以原式變?yōu)?，即證，設函數(shù)，即證，，設，，時，在上單調遞增，即在上單調遞增，設，則，由于在上單調遞增，，所以，即，故在上單調遞增，又，所以時，，所以，即，因此恒成立，所以原不等式成立，得證.………17分【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（江蘇專用）黃金卷02（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.2．用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)的線性回歸方程為，若，則（）A.11 B.13 C.63 D.78【答案】D【解析】依題意，因為，所以，因為線性回歸方程為一定過點，所以，所以.故選：D.3．等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若成等比數(shù)列，則的前5項的和為（）A. B. C.5 D.25【答案】A【解析】設等差數(shù)列的公差為且，且，因為成等比數(shù)列，可得，即，即或（舍去），所以.故選：A.4．設為單位向量，在方向上的投影向量為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為在方向上的投影向量為，所以，所以有，故選：D5．已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】展開得，兩邊同時平方有，即，解得，故選：B.6．已知拋物線的焦點為，點在上．若以為圓心，為半徑的圓被軸截得的弦長為，則該圓的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于在上，故，即，所以.根據(jù)拋物線的定義，就是點到直線的距離，從而該圓的半徑為.由于圓心到軸的距離為，故該圓被軸截得的弦長為.從而據(jù)已知有，故，解得.所以該圓的半徑為，故面積為.故選：C.7．已知函數(shù)，將圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，若和在區(qū)間上均單調遞增，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，令，解得，故的單調增區(qū)間為，則在上單調遞增；將的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象，則，令，解得，故的單調增區(qū)間為，則在上單調遞增；若和在區(qū)間上均單調遞增，則的最大值為.故選：A.8．在棱長為的正方體中，點分別為棱，的中點．已知動點在該正方體的表面上，且，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，故P點軌跡為以為直徑的球，如圖，易知中點即為正方體中心，球心在每個面上的射影為面的中心，設在底面上的射影為，又正方體的棱長為，所以，易知，，又動點在正方體的表面上運動，所以點的軌跡是六個半徑為a的圓，軌跡長度為，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知，為方程的兩根，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】方程的兩根分別為和，且，，所以不妨設，，，所以，故錯誤；，故正確；，故正確；，，所以，故錯誤.故選：BC.10．下列說法正確的是（）A.設A，B為兩個事件，且，，則B.若在一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，6中增加一個數(shù)據(jù)4，則方差變小C.若變量x與變量y滿足關系，變量y與變量z是正相關，則x與z負相關D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗（），可判斷X與Y有關聯(lián)，此推斷犯錯的概率不大于0.05【答案】ABD【解析】對于A：設A，B為兩個事件，且，則，又，故A正確；對于B：一組數(shù)據(jù)為2，3，3，4，6，則，所以，若在2，3，3，4，6中增加一個數(shù)據(jù)4，則，則，又，故若在一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，6中增加一個數(shù)據(jù)4，則方差變小，故B正確；對于C：若變量x與變量y滿足關系，則變量x與變量y是正確定關系，又變量y與變量z是正相關，所以x與z正相關，故C錯誤；對于D：因為，有的把握判斷X與Y有關聯(lián)，即判斷錯誤的概率不大于0.05，故D正確.故選：ACD.11．已知函數(shù)的定義域為，且，，則（）A. B.關于中心對稱C.是周期函數(shù) D.的解析式可能為【答案】ACD【解析】由，且函數(shù)的定義域為，對于選項A：令，，可得，且，可得，故A正確；對于選項C：令，則，則，即，可知為偶函數(shù)，令，則，可知，，可得，則，所以，可知周期為6，故C正確；對于選項B：因為由于為偶函數(shù)且周期為6，則，不滿足，所以不關于中心對稱，故B錯誤；對于選項D：因為的定義域為，且，即符合題意，所以的解析式可能為，故D正確；故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知，則的值為______________．【答案】78【解析】令，可得，令，可得①令，則②所以②①可得：，所以，即故答案為：13．已知，分別是雙曲線的左、右焦點，是雙曲線右支上的一個動點，且“”的最小值是，則雙曲線的漸近線方程為______________．【答案】【解析】不妨設，，，且，則，所以，解得，，故雙曲線C的漸近線方程為.故答案為：14．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是______________．【答案】【解析】因為，由正弦定理得，所以，又因為，所以，所以，即.所以，顯然必為正（否則和都為負，就兩個鈍角），所以，當且僅當，即取等號.所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）數(shù)列中，，，且，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列的前項和為，且滿足，，求．【答案】（1）；（2）答案見解析【解析】（1）因為，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其首項為，………2分于是，則，，，，，所以，………5分所以；而符合該式，故.………6分（2）由（1）問知，，則，又，則，兩式相乘得，即，因此與同號，………8分因為，所以當時，，此時，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，；………10分當時，，此時，………12分當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，；綜上，當時，；當時，.………15分16．（15分）單位面積穗數(shù)?穗粒數(shù)?千粒重是影響小麥產量的主要因素，某小麥品種培育基地在一塊試驗田種植了一個小麥新品種，收獲時隨機選取了100個小麥穗，對每個小麥穗上的小麥粒數(shù)進行統(tǒng)計得到如下統(tǒng)計表：穗粒數(shù)穗數(shù)41056228其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表.從收獲的小麥粒中隨機選取5組，每組1000粒，分別稱重，得到這5組的質量（單位：）分別為：.（1）根據(jù)抽測，這塊試驗田的小麥畝穗數(shù)為40萬，試估計這塊試驗田的小麥畝產量（結果四舍五入到）；公式：畝產量畝穗數(shù)樣本平均穗粒數(shù)（2）已知該試驗田穗粒數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.若小麥穗粒數(shù)不低于28粒的穗數(shù)超過總體的，則稱該小麥品種為優(yōu)質小麥品種，試判斷該試驗田中的小麥品種是否為優(yōu)質小麥品種.參考數(shù)據(jù)：若近似服從正態(tài)分布，則.【答案】（1）；（2）該試驗田中的小麥為優(yōu)質小麥品種.【解析】（1）該試驗田樣本平均穗粒數(shù)為，………3分樣本平均千粒重為，………5分所以這塊試驗田的小麥畝產量的估計值為，…7分（2）由（1）得，所以，………10分由得：，故：，所以該試驗田中的小麥為優(yōu)質小麥品種.………15分17．（15分）如圖，在直三棱柱中，，．（1）當時，求證：平面；（2）設二面角的大小為，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）以為基底建立如圖所示空間直角坐標系，則，.當時，，………2分所以，所以，所以.………4分又平面平面，所以平面.………7分（2），設平面的一個法向量為，則，即，不妨取.………9分因為平面，所以平面的一個法向量為.………10分所以，所以.………13分又因為，易知在上單調遞減，所以.………15分18．（17分）已知橢圓E：，直線與E交于，兩點，點P在線段MN上（不含端點），過點P的另一條直線與E交于A，B兩點.（1）求橢圓E的標準方程；（2）若，，點A在第二象限，求直線的斜率；（3）若直線MA，MB的斜率之和為2，求直線的斜率的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因為，兩點在橢圓上，所以解得，.故橢圓的標準方程為.………4分（2）設，，設，聯(lián)立，得，即，，，.………