2023-2024學(xué)年安徽省蕪湖市高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省蕪湖市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故選：A.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】的否定是.故選：C.3.若實(shí)數(shù)滿足，則最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由可知，則，代入得：，當(dāng)時(shí)等號成立，即當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：D.4.下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于選項(xiàng)A，，所以是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故A正確；對于選項(xiàng)B，非奇非偶，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，，所以是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，，所以是偶函數(shù)，但是在有增有減，故D錯(cuò)誤.故選：A.5.“古典正弦”定義為：在如圖所示的單位圓中，當(dāng)圓心角的范圍為時(shí)，其所對的“古典正弦”為（為的中點(diǎn)）．根據(jù)以上信息，當(dāng)圓心角對應(yīng)弧長時(shí)，的“古典正弦”值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圓心角對應(yīng)弧長，得圓心角弧度數(shù)絕對值為2，則，所以.故選：B.6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，不符合題意，A不是；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，圖象不過原點(diǎn)，不符合題意，B不是；對于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，的圖象恒在函數(shù)的上方，恒有，符合題意，C是；對于D，當(dāng)時(shí)，，則，而函數(shù)在上的取值集合是，因此函數(shù)在上無最大值，不符合題意，D不是.故選：C.7.已知，則以下四個(gè)數(shù)中最大的是（）AB.C.D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，如下圖所示：設(shè)銳角，銳角的終邊交單位圓于點(diǎn)，設(shè)射線交過點(diǎn)且與單位圓相切的直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，則，，，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，則，，所以，，，又因?yàn)?，則，所以，，所以，，故選：D.8.函數(shù)最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，設(shè)，故，令，則，當(dāng)時(shí)，取到最大值，故y的最大值為，即函數(shù)的最大值為.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得4分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知角的頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，現(xiàn)將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】依題意，，A錯(cuò)誤，B正確；又，因此，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的定義域?yàn)锽.是偶函數(shù)C.的值域?yàn)镈.【答案】BCD【解析】有意義，則，解得，故的定義域?yàn)?，A錯(cuò)；的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，故是偶函數(shù)，B對；，令，易知在單調(diào)遞增，故或，即的值域?yàn)?，C正確；，故D正確.故選：BCD11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】已知，則，A正確；因?yàn)椋瑒t，故，故B錯(cuò)誤；，C正確；，故，D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)，則（）A.是周期函數(shù)B.的最小值是C.的圖象至少有一條對稱軸D.在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】若是周期函數(shù)，則存在非零常數(shù)，使得，化簡得，則，或，可知均與x有關(guān)，故非零常數(shù)不存在，A錯(cuò)誤；令，則，故的最小值是，故B正確；結(jié)合B選項(xiàng)，因?yàn)?，故的圖象的對稱軸為，故C正確；由B易知：在單調(diào)遞增，且，故單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共4小題，每題4分，共16分．）13.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則_________．【答案】【解析】根據(jù)冪函數(shù)，則，又由的圖象過點(diǎn)，所以，故，所以.14.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【解析】設(shè)，則，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t，即，即，解得.15.已知，符號表示不大于的最大整數(shù)，比如，，若函數(shù)有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，由可得，問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則有，可得；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則有，可得.由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.若函數(shù)與在區(qū)間單調(diào)性一致，則的最大值為_________．【答案】【解析】要考慮的最大值，只需考慮，當(dāng)時(shí)，則，，所以，函數(shù)與在區(qū)間上同時(shí)單調(diào)遞增，則，解得，故的最大值為.四、解答題（本題共6小題，共44分．）17.化簡求值：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式．18.如圖，動(dòng)點(diǎn)從邊長為2的正方形的頂點(diǎn)開始，順次經(jīng)過點(diǎn)繞正方形的邊界運(yùn)動(dòng)，最后回到點(diǎn)，用表示點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的的路程，表示的面積，求函數(shù)．（當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，規(guī)定）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域．解：（1）因?yàn)?，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到，當(dāng)，故，所以的值域?yàn)椋?0.設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．（1）求不等式的解集；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）因?yàn)橐辉尾坏仁降慕饧癁椋院?是方程的兩個(gè)實(shí)根，則，解得．因此所求不等式即為：，解集為或．（2）可化為：，當(dāng)時(shí)顯然成立；當(dāng)時(shí)，對恒成立，令，則，當(dāng)，即時(shí)，所以，即．21.如圖，已知是之間的一點(diǎn)，點(diǎn)到的距離分別為，且是直線上一動(dòng)點(diǎn)，作，且使與直線交于點(diǎn)．設(shè)．（1）若，求的最小值；（2）若，求周長的最小值．解：（1）由題意知，，于是，則.當(dāng)時(shí)，，即，所以，又，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號成立．故的最小值為.（2）由題意知：，因?yàn)?，所以，又中，所以的周長，令，由得，所以周長，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)周長最小，最小值．故當(dāng)時(shí)，周長的最小值為.22.已知函數(shù)．（1）若，且圖象關(guān)于對稱，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，（i）方程恰有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）設(shè)，若對任意，當(dāng)時(shí)，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）由題意知圖象關(guān)于對稱，所以為偶函數(shù)，即，所以，故.（2）由題意知，（i）方程，所以，整理可得，，即，當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，此時(shí)，不符合條件；當(dāng)時(shí)，同上，解方程得，也不符合條件；當(dāng)且時(shí)，方程有兩不等解，若滿足，則，若滿足，則，顯然若時(shí)，無解，若時(shí)，有兩解，所以當(dāng)時(shí)方程恰有一個(gè)實(shí)根，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；（ii）令，則在上為減函數(shù)，而在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，滿足，則，所以，因?yàn)?，即對任意的恒成立，設(shè)，又，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，所以．安徽省蕪湖市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故選：A.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】的否定是.故選：C.3.若實(shí)數(shù)滿足，則最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由可知，則，代入得：，當(dāng)時(shí)等號成立，即當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：D.4.下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于選項(xiàng)A，，所以是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故A正確；對于選項(xiàng)B，非奇非偶，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，，所以是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，，所以是偶函數(shù)，但是在有增有減，故D錯(cuò)誤.故選：A.5.“古典正弦”定義為：在如圖所示的單位圓中，當(dāng)圓心角的范圍為時(shí)，其所對的“古典正弦”為（為的中點(diǎn)）．根據(jù)以上信息，當(dāng)圓心角對應(yīng)弧長時(shí)，的“古典正弦”值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圓心角對應(yīng)弧長，得圓心角弧度數(shù)絕對值為2，則，所以.故選：B.6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，不符合題意，A不是；對于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，圖象不過原點(diǎn)，不符合題意，B不是；對于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，的圖象恒在函數(shù)的上方，恒有，符合題意，C是；對于D，當(dāng)時(shí)，，則，而函數(shù)在上的取值集合是，因此函數(shù)在上無最大值，不符合題意，D不是.故選：C.7.已知，則以下四個(gè)數(shù)中最大的是（）AB.C.D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，如下圖所示：設(shè)銳角，銳角的終邊交單位圓于點(diǎn)，設(shè)射線交過點(diǎn)且與單位圓相切的直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，則，，，因?yàn)?，即，即，因?yàn)?，則，，所以，，，又因?yàn)?，則，所以，，所以，，故選：D.8.函數(shù)最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，設(shè)，故，令，則，當(dāng)時(shí)，取到最大值，故y的最大值為，即函數(shù)的最大值為.故選：D.二、多選題（本題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得4分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知角的頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，現(xiàn)將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】依題意，，A錯(cuò)誤，B正確；又，因此，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的定義域?yàn)锽.是偶函數(shù)C.的值域?yàn)镈.【答案】BCD【解析】有意義，則，解得，故的定義域?yàn)?，A錯(cuò)；的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，故是偶函數(shù)，B對；，令，易知在單調(diào)遞增，故或，即的值域?yàn)?，C正確；，故D正確.故選：BCD11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】已知，則，A正確；因?yàn)?，則，故，故B錯(cuò)誤；，C正確；，故，D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)，則（）A.是周期函數(shù)B.的最小值是C.的圖象至少有一條對稱軸D.在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】若是周期函數(shù)，則存在非零常數(shù)，使得，化簡得，則，或，可知均與x有關(guān)，故非零常數(shù)不存在，A錯(cuò)誤；令，則，故的最小值是，故B正確；結(jié)合B選項(xiàng)，因?yàn)?，故的圖象的對稱軸為，故C正確；由B易知：在單調(diào)遞增，且，故單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本題共4小題，每題4分，共16分．）13.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則_________．【答案】【解析】根據(jù)冪函數(shù)，則，又由的圖象過點(diǎn)，所以，故，所以.14.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【解析】設(shè)，則，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，則，即，即，解得.15.已知，符號表示不大于的最大整數(shù)，比如，，若函數(shù)有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，由可得，問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則有，可得；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則有，可得.由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.16.若函數(shù)與在區(qū)間單調(diào)性一致，則的最大值為_________．【答案】【解析】要考慮的最大值，只需考慮，當(dāng)時(shí)，則，，所以，函數(shù)與在區(qū)間上同時(shí)單調(diào)遞增，則，解得，故的最大值為.四、解答題（本題共6小題，共44分．）17.化簡求值：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式．18.如圖，動(dòng)點(diǎn)從邊長為2的正方形的頂點(diǎn)開始，順次經(jīng)過點(diǎn)繞正方形的邊界運(yùn)動(dòng)，最后回到點(diǎn)，用表示點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的的路程，表示的面積，求函數(shù)．（當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，規(guī)定）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域．解：（1）因?yàn)椋?，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到，當(dāng)，故，所以的值域?yàn)椋?0.設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解