2025年高考科學復習創(chuàng)新方案數(shù)學提升版第九章第9講含答案

2025年高考科學復習創(chuàng)新方案數(shù)學提升版第九章第9講

含答案第9講拋物線（一）

［課程標準］1.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程2掌握拋物線的簡單幾

何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）.

基礎知識整合

＞知識梳理

1.拋物線的概念

平面內(nèi)與一個定點廠和一條定直線/（/不經(jīng)過點尸）的距離畫相等的點的軌跡

叫做拋物線.點尸叫做拋物線的畫焦點，直線/叫做拋物線的畫連線.

2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)

y2=2pMp>0)y2二-2px(/?>0)x2=2py(p>0)x2=-2/?y(/?>0)

標準方程

〃的幾何意義：焦點/到準線/的距離

圖形筆

頂點。（（），0）

對稱軸畫A?軸國V鈾

右0)胭（二

焦點凡08|

離心率6=函1

準線方程同=音回吐

同x20,

范圉問》&0,vGR值歸0,XGR

R

開口方向向南方向回左向畫上向團工

0知識:石展

拋物線y=20如＞0）上一點P（孫和）到焦點弗0）的距離|尸網(wǎng)=加+1

也稱為拋物線的焦半徑.

〉雙基自測

1.（人教A選擇性必修第一冊P133練習T2改編）拋物線），=2F的準線方程為

（）

A.）,=B.）,=

c.y=-2D.y=-1

答案A

解析由y=2?,得f=故拋物線＞的準線方程為y二-/故選A.

2.（2023?紹興模擬）設拋物線），2=2px（/?0）的焦點為F,若點P（l,〃。在拋物

線上，且|尸尸1=3,貝ijp=（）

A.1B.2

C.4D.8

答案c

解析拋物線）2=2〃刈＞0）的焦點為帽，0）,準線方程為點P（1,

M在拋物線上，且I叩=3,由拋物線的定義可知1+梟3,則〃=4.故選C.

3.（人教B選擇性必修第一冊2.7.1練習BTs改編）若動點M（x,），）到點R4,

0）的距離比它到直線工=-5的距離小1,則點M的軌跡方程是（）

A.x=-4B.x=4

C./=8xD./=16x

答案D

解析???點M到卜（4,（））的距離比它到直線x=-5的距離小1,???點M到卜

的距離和它到直線-4的距離相等，故點M的軌跡是以產(chǎn)為焦點，直線x二

-4為準線的拋物線，得點M的軌跡方程為爐二16.工

4.（人教A選擇性必修第一冊331練習T3改編）已知拋物線C:y2=8x的焦

點為幾點P在拋物線上，|PF|=6,則點P的橫坐標為()

A.6B.5

C.4D.2

答案C

解析設點P的橫坐標為雙，拋物線V=8x的準線方程為I=-2.???點P在

拋物線上，|PF|=6,???沖+2=6,???村=4.故選C.

5.(人教B選擇性必修第一冊習題2-7C「⑴改編)設P是拋物線V=4x±

的一個動點，尸是拋物線的焦點.若仇3,2),則IP8I+IP/1的最小值為.

答案4

解析如圖，過點8作8。垂直準線于點0,交拋物線于

點Pi,則IPQ=儼田.則有|尸8|+\PF］^\PiB\+|PQ=|B(2I=4,

即IP8I+IPF］的最小值為4.

核心考向突破

考向一拋物線的定義及標準方程

例1(1)(多選)過點2,3)的拋物線的標準方程可以是()

o

A.,2二一/B.y2=Y

44

C.『二一貫D.x2：］，

答案AD

解析設拋物線的標準方程為V=區(qū)或F肛，代入點P(-2,3),解得左

9

-494

-_或-

--=3X2=3

2,2A

(2)(2021.北京高考)已知拋物線C:r=4.r,焦點為F,點M為拋物線C上的

點,且匹M=6,則M的橫坐標是________；作MNLx軸于N,則S.FMN=.

答案54乖

解析因為拋物線的方程為V=4x,故〃=2且內(nèi)1,0).因為尸M=6,所以

XM+2=6,解得XM=5,故y.M=±2小,所以S/、FMN=/x(5-1)x2小=4^5.

[觸類旁通I求拋物線的標準方程的方法

（1）定義法.

（2）待定系數(shù)法：當焦點位置不確定時，常采用以下兩種模式設拋物線的標準

方程：

焦點在文軸上設為)2=or(aW())

焦點在），軸上設為x2=qy(a#0)

r即時訓練I.動圓與定圓A：。+2）2+.y=1外切，且和直線x=l相切，則

動圓圓心的軌跡是（）

A.直線B.橢圓

C.雙曲線D,拋物線

答案D

解析設動圓的圓心為C,半徑為乙則C到定圓A：。+2）2+），2=1的圓心

的距離等于r+1,而動圓的圓心到直線工二1的距離等于人所以動圓圓心到直線

x=2的距離為,-1,根據(jù)拋物線的定義知，動圓圓心的軌跡為拋物線.故選D.

2.設拋物線C：V二2〃^〃〉。）的焦點為F,點M在拋物線。上，\MF]=5,

若以M/為直徑的圓過點（0,2）,則拋物線C的方程為（）

A.），2=4x或V=8xB.），2=2X■或）?=8x

C.y2=4x或y2=16xD.y2=2xy2=\6x

答案C

解析拋物線C：9=2〃必》。）的焦點推，o）,設M（x。，yo）,由拋物線的定

義，知|MQ=/o+外5,得期二5-g則以為直徑的圓的圓心橫坐標為|,而

圓的半徑為|,于是得該圓與），軸相切于點（0,2）,得圓心的縱坐標為2,則點M

的縱坐標為4,即4）,從而有42=2〃（5-§,整理得〃2一io〃+16=0,

解得p=2或p=8,所以拋物線C的方程為），2=4N或）H=16X.

考向二拋物線的幾何性質(zhì)

例2(1)(2020.全國HI卷)設。為坐標原點，直線x=2與拋物線C:/=2Pxs>0)

交于D,E兩點，gOD±OE,則C的焦點坐標為()

A?0)BQ,o)

C.(1,0)D.(2,0)

答案B

解析因為直線x=2與拋物線)N=2pMp>0)交于D,￡兩點，且。。_LOE,

TT

不妨設點。在第一象限，根據(jù)拋物線的對稱性可得NEG=所以0(2,

2),代入.F=2px,得4=4p,解得〃=1,所以其焦點坐標為g,0).故選B.

(2)(2021.新高考I卷舊知。為坐標原點,拋物線C:)2=2px(p>0)的焦點為F,

P為C上一點，巴7與x軸垂直，。為x軸上一點，且PQ_LOP.若下Ql=6,則C

的準線方程為.

答案x=-1

解析

解法一：不妨設點戶在第一象限，如圖，由已知可得「

推，〃)，所以％，=2,又尸Q_LOP,所以加。二-；.所以，<、

直線。。的方程為yP=喪閶.令y=O,得％=IV'

所以|FQI=%-梟2〃=6,所以p=3,所以。的準線方

程為x=-2=~|-

解法二：由題易得|0網(wǎng)/，IPQ=〃，I叩2二|0印照，即〃2二生6,解得〃

3

=3或口=0(舍去)，所以C的準線方程為“二-今

口觸類旁通心)涉及拋物線上的點到焦點的距離或到準線的距離時，常可相互轉(zhuǎn)

化.

(2)應用拋物線的幾何性質(zhì)解題時，常結合圖形思考，通過圖形可以直觀地看

出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想解題的直

觀性.

*即時訓練1.已知拋物線C：V=4x與圓石：(X-1)2+9=9相交于A,8兩

點，點M為劣弧砂上不同于A,B的一個動點，平行于不軸的直線MN交拋物線

于點N,則△MNE周長的取值范圍為()

A.(3,5)B.(5,7)

C.(6,8)D.(6,8]

答案C

解析如圖所示，圓E的圓心為(1,0),半徑為3,7

拋物線的焦點為a,0),準線為/k/S；4'

y2=4.r,

lr-l):+/=9

x=y[2,

'r不妨令42,2啦)，BQ,-2^2),所以

Lv=-2V2,

2<AM<4.設平行于x軸的直線MN交拋物線的準線x=-1于。，根據(jù)拋物線的定

義可知|NE|=|M)|,所以AMNE的周長為|ME|+\NE\+|M/V|=3+|ND|+\MN\=3+

而|MQ|=M+1￡(3,5),所以3+|M￡>|￡(6,8),即△MNE周長的取值范圍

是(6,8).故選C.

2.(2023?湖北?？寄M預測)過拋物線)，2=2px(p>0)的焦點尸的射線與拋物線

交于點A,與準線交于點乩若|4Q=2,|8F1=6,則〃的值為.

解析過點A作人"_1準線于點M,則|AM=\AF]=2/：\AF\?

=2,\BF]=6,：.\AB\=4,由可得制二籍即於右:

解得〃=3.

多角度探究突破

考向三與拋物線有關的最值問題

角度1到焦點與到定點（動點）距離之和最小問題

例3（多選）（2023?湖北部分重點中學聯(lián)考）已知尸是拋物線）2=4式的焦點，P

是拋物線=4x上一動點：Q是。C：。-4）2+。，-|）2=1上一動點，則下列說法

正確的是（）

A.|PF|的最小值為1

B.|。川的鼓小值為，而

C.|PF|+|PQ|的最小值為4

D.|PF|+|PQ|的最小值為回+1

答案AC

解析拋物線的焦點為F（l,0）,準線為x=-

1.對于A,由拋物線的性質(zhì)可知，|PF|的最小值為|。月

=1,故A正確；對于B,注意到戶是定點，由圓的

性質(zhì)可知，IQFI的最小值為1。月-，?二/-I,故B

錯誤；對于C,D,過點夕作拋物線準線的垂線，垂

足為M,由拋物線的定義可知|PQ=|PM,故IPQ+

|PQI=|PM+|PQI,IPM+IPQI的最小值為點Q到準線A=-1的距離的最小值，

故最小值為4,故C正確，D錯誤.故選AC.

角度2到定直線的距離最小問題

例4（2023?浙江模擬）已知直線八：3x-4），-6=0和直線A:y=-2,拋物線

2

x=4,，上一動點P到直線h和直線/2的距離之和的最小值是（）

A.2B.3

c;D16

答案B

解析拋物線f=4)，的焦點尸(()，1),準線/:y

=-1,設動點?到直線/,/1,/2的距離分別為44，

|3xO—4x1—6|

d2,點■到直線八的距離為&二5/.、，=2,

卡+(-4)-

由d2=d+l=|PF|+l,可得di+d2=di+|PF|+12d3

+1=3,當且僅當尸尸_L/i且P在尸與人之間時，等號成立，即動點尸到直線A

和直線12的距離之和的最小值是3.故選B.

口觸類旁通?與拋物線有關的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略

(1)將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之

間線段最短”，使問題得解.

(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，利用“與直線上所有

點的連線中垂線段最短”原理解決.

,即時訓練1.已知P是拋物線)2=4x上一動點，則點P到直線/：2r-y+3

二0和丁軸的距離之和的最小值是()

A幣B.小

C.2D.小-I

答案D

解析由題意知，拋物線的焦點為“(1,0).設點尸到直線/的距離為乙由

拋物線的定義可知，點P到y(tǒng)軸的距離為IPQ-1,所以點夕到直線/的距離與到

y軸的距離之和為d+IPQ-1.易知d+|Pf］的最小值為點F到直線/的距離，故d

+IP"的最小值為外,I、、二小，所以d+IPQ-1的最小值為小-1.

V2+(-1)“

2.已知點”(20,40)不在拋物線C:)2=2〃血＞0)上，拋物線。的焦點為P.

若對丁拋物線上的一點L\PM\十的最小值為41,則p的值為.

答案42或22

解析當點M(20,40)位于拋物線內(nèi)時，如圖1,過點P作拋物線準線的垂

線，垂足為，則|PR=|PD|,|尸朋|+|尸同=|產(chǎn)時］+1尸。).當點",P,。三點共線時,

IPM+IPQ的值最小.由最小值為41,得20+梟41,解得〃=42;當點”（20,

40）位于拋物線外時，如圖2,當點P,M,尸三點共線時，IPM+IPQ的值最小.由

最小值為41,得、/（20一號+402=41,解得〃=22或〃=58.當〃二58時，拋物

線C：）2二116羽點懷20,40）在拋物線內(nèi)，故舍去.綜上，p=42或p=22.

課時作業(yè)

一、單項選擇題

1.（2023?成都模擬）拋物線的焦點坐標為（）

A.（0,4）B.（4,0）

C.（0,匐D.&0）

答案C

解析拋物線的標準方程為f故焦點坐標為（0,土）.故選C.

2.（2023?濟南期末）已知拋物線的準線方程為x=l,則該拋物線的標準方程

為（）

A./=-4yB.f=

C.）2=4XD.y2=-4X

答案D

解析由題意知，拋物線的準線方程為x=l,所以拋物線開口向左，設拋物

線的標準方程為產(chǎn)=-2pMp>0）,則§=1，即〃=2,所以拋物線的標準方程為.V2

-4.工故選D.

3.（2023?北京高考）已知拋物線C:）?=8x的焦點為R點M在C上.若M

到直線-3的距離為5,則|MF|二()

A.7B.6

C.5D.4

答案D

解析因為拋物線C：V=8x的焦點F(2,0),準線方程為x=-2,點股在

C上，所以M到準線x=-2的距離為|MF|,又M到直線x=-3的距離為5,所

以|MF1+1=5,故|MF|=4.故選D.

4.(2023?邯鄲一模)拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線

上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸，反之，平行于拋物線對稱軸

的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線經(jīng)過該拋物線的焦點.已知拋物

線C:>2=2px(p>0),一條平行于x軸的光線，經(jīng)過點43,1),射向拋物線C的

8處，經(jīng)過拋物線。的反射，經(jīng)過拋物線C的焦點F,若|A8|+|8Q=5,則拋物

線C的準線方程是()

A.x=-4B.x=-2

C.A'=_1D.x=—2

答案B

解析由拋物線的定義可得H8|+|8Q=3+§=5,解得〃=4,則拋物線C的

準線方程是x二-2.故選B.

5.設尸為拋物線V=2A?的焦點，A,B,C為拋物線上三點，若F為AABC

的重心，則國I+I兩+I用的值為()

A.1B.2

C.3D.4

答案C

(\\XA+XB+XC

解析由題意可知,點尸的坐標為弓，。)又尸為△ABC的重心，故---5-------

33

13--

=5,即用+A-fi+xc=全又由拋物線的定義可知|麗+\FB\4-\FC\=XA+A-fi+XC+2=2

3

+]=3.故選C

6.（2023?十堰二模）已知拋物線C:V=2px（p〉0）的焦點為R拋物線C的準

線與坐標軸交于點尸，點M（3,2）,且△加產(chǎn)。的面積為2,若。是拋物線C上一

點，則△尸MQ周長的最小值為（）

A.4+72B.4+2加

C.4+VT0D.4+2710

答案B

解析由題意可知，△Mb的面積為5px2=2,解得〃

=2,則尸（1,0）,準線方程為x=-1,\MF]=yj（3-1）2+22°

=2&,點。到準線的距離為|QQ1,△加。的周長最小，需1:,

IQF1+IMQI最小，即IQCIMM2I最小,所以當MQ垂直于拋物線C的準線時，

△FMQ的周長最小，且最小值為4+26.故選B.

7.（2（）23?咸陽模擬）若/是拋物線C:），2=2px（p＞。）的焦點，P是拋物線。上

任意一點，IPR的最小值為1,且A,8是拋物線。上兩點，線段AB的中點到），

軸的距離為2,則|AF|+|8F1=（）

A.3B.4

C.5D.6

答案D

解析由條件可得推，0）,設P（X。，阿保），。），則|勿]2='I一才

僅）-勻+2川）=&）+9/，當且僅當w=0時取等號，所以'

倒=1,解得〃=2,所以拋物線C的方程為V=4r如圖所示，人

設A（M,p）,B（xi,”），因為A3的中點到），軸的距離為2,所以加+也=4,所

以由拋物線的定義可知HA+W=〃+.ri+也=6.故選D.

8.已知點P為拋物線f=4），上任意一點，點A是圓/+（＞，-6）2=5上任意

一點，則1%1的最小值為（）

A.^5B.2點

C.3#D.6-^5

答案A

解析圓『+()，-6產(chǎn)=5的圓心為C(0,6),半徑,二小.設4孫3，則IPCp

22

=而+伊-6)=加-調(diào)+36=(”4)+20,當需=16時，IPCp有最小值20,

數(shù)形結合可知l%|min=|PC|min-小=2小-小二小.

二、多項選擇題

9.(2023?衡水聯(lián)考)已知拋物線C:)，2=4x的焦點為凡P為拋物線上一點，

則下列結論正確的是()

A.焦點尸到拋物線港線的距離為2

B.若|PF|=2,則點尸的坐標為(1,2)

C.過焦點/且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦長為2

D.若點M的坐標為(1,4),貝IJIPM+IPQ的最小值為4

答案AD

解析由拋物線的解析式知p=2,所以拋物線的焦點w.,,二

F(l,0),準線方程為x=-l,所以焦點E到拋物線準線的

距離為2,故A正確；設拋物線上點P(x,y),貝lJ|P/1=x+l：

=2,解得x=1,故)=±2,則點P的坐標為(1,2)或(1,-?

2),故B錯誤；過焦點/且垂直于x軸的直線被拋物線所截得的弦長為2P=4,

故C錯誤；如圖，當M,P,/三點共線且P在線段M/上時，IPM+W取得最

小值，即|MF|二d(1-1)2+42=4,故D正確.故選AD.

10.(2023?大慶模擬)已知拋物線/=%的焦點為尸，M(xi,yi),M及,⑸是

拋物線上兩點，則下列結論正確的是()

A.點?的坐標為Oj

B.若直線MN過點F,貝Ijxum二一代

C.若加=7而，則附M的最小值為:

35

D.若|Mn+|NF|=],則線段MN的中點P到x軸的距離為聲

答案BCD

解析易知點戶的坐標為（。，J,A錯誤；根據(jù)擾\上方乙

物線的性質(zhì)知，MN過焦點/時，xi%2=-/?=B一—-

正確；若而=7而，貝IJMV過點凡貝的最小值即

拋物線通徑的長，為2p,即奈C正確；拋物線『二與的焦點為（（），品準線方

程為產(chǎn)-1,過點M,N,P分別作準線的垂線MAT,NN,PP\垂足分別為M,

N\P,所以|MM1=|MF1,|NM|二WQ.所以|MM1+WM|=|MF|+WF|=|,所以|PP|

=-------5------1=5,所以線段MN的中點P到x軸的距離為|PP1-R=：-R=3,D

正確.故選BCD.

II.設拋物線C：V=2px（p>0）的焦點為產(chǎn)，準線為/,4為。上一點，以產(chǎn)

為圓心，I用I為半徑的圓交/于乩Q兩點.若N4AQ=90。，旦AAB廠的面積為

電則（）

A.\BF\=3

B.是等邊三角形

C.點尸到準線的距離為3

D.拋物線。的方程為V=6x

答案BCD>

解析根據(jù)題意，作出圖形如圖所示.因為以I網(wǎng)為半徑"

的圓交/于8,。兩點，所以|阿二|F8|,^\FA\=\AB\,所以聲~卜

△A8尸為等邊三角形，B正確；因為NA8O=90。，所以AB

〃x軸，所以/防。=60。，所以|M=2p,S"BF=%阡再貨二胞解得p

=3,所以|8月二6,所以A不正確；焦點到準線的距離為〃=3,所以C正確；拋

物線。的方程為V=6x,所以D正確.故選BCD.

三、填空題

12.（2023?全國乙卷）已知點A（l,?。┰趻佄锞€C：r=2px±,則A到。的

準線的距離為.

答案J

解析由題意可得（?。?=2pxl,則2〃=5,拋物線C的方程為產(chǎn)=5占準線

c9

--

方程為所以A到。的準線的距離為1=4

4J

13.如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為凡

vb）,原點O為4。的中點，拋物線y2=2Px（p>0）經(jīng)

尸兩點,貝哈二

過c,

答案1+6

d1,-力，“+仇”因為點c,尸在拋物線上，所以

解析依題意知

2

cr=pa,兩式相除得仁）-2^-1=0,解得+觀或11-也（舍

b2=p[a+2b),

去）.

14.（2023?江蘇二模）已知點P在拋物線C：）2=2*（〃>0）上，過P作C的準

線的垂線，垂足為“，點尸為C的焦點.若NW平=60，，點P的橫坐標為1,則

P=

答案1

/=2/zr,

解析如圖所示，不妨設點?在第一象限，聯(lián)立,

x:1,

工二1,「

可得r-即點P(1,6).易知軸，貝iJPH

[)'=W2p,

〃人?軸，則N"7=N，Pf=60。，所以直線TV的傾斜角為6()。，易知點庵，0),

所以女"="^=小,

整理可得2/=小(2-〃)，且2-〃>0,故0<p<2,等式

1-2

2/二小(2-〃)兩邊同時平方可得3〃2-20〃+12=0,即(3〃-2)(〃-6)=0,解得

p=6(舍去).

四、解答題

x2v2

15.(2020?全國H卷)已知橢圓G:招+%=13>〃>°)的右焦點廠與拋物線02

的焦點重合，。的中心與C2的頂點重合.過尸且與x軸垂直的直線交G于A,

B兩點,交C2于C,。兩點，且3=引用.

⑴求。的離心率；

⑵設M是。與C?的公共點，若|Mf]=5,求G與C2的標準方程.

解(I)：%。，0),A5_Lx軸且與橢圓G相交于A,8兩點，

則直線A8的方程為工=g

x=c,

聯(lián)立，'+)=1,

Ma~b~

、/=〃+己

x=c,

解得b2

V=±-,

[-a1

則1A8]號.

拋物線C2的方程為)2=4cx,

把X=c代入)2=4CX,得y=±2C,

.\|CD|=4c.

??\CD\=l[AB\,即4c=等，

/.2tr=3ac.

又加二/一/,.?.2c2+3。。-2a2=0,

即2/+3”2=。，解得e=T或e=-2,

?Ovev1,??fj

???橢圓Ci的離心率為去

?2

(2)由(1)知a=2c,b=?,橢圓G的方程為券+金=1,

y2=4c工，

聯(lián)立Fv2消去)，并整理得3f+16s-12/=0,

|行+5?=1，

2

解得％=或x=-6c(舍去)，

2

-

由拋物線的定義可得3

解得c=3.

工曲線G的標準方程為益

1,

曲線C2的標準方程為V=12r.

16.已知拋物線C：爐=2X的焦點為「，平行于x軸的兩條直線伍/2分別交

C于A,8兩點，交C的準線于匕Q兩點.

⑴若"在線段AA上，R是也的中點，證明：AR//FQ;

(2)若尸的面積是AAB廠的面積的兩倍，求A8的中點的軌跡方程.

解⑴證明：由題意知嘏0)設/i：產(chǎn)出八：)，=瓦貝IJR?rO,且A8,力,

記過A,8兩點的直線為/,則/的方程為2A-3+/%+HX0.

出于f在線段A8上，故1+必=0.

記AR的斜率為由，￡。的斜率為&2,則

所以AR〃產(chǎn)Q.

⑵設/與X軸的交點為。(KI,O),則=尸XI,S^PQF

I。一加

二2.

|1\a-b\

由題設可得2x習力-〃|笛-］=~f~,

所以xi=0(舍去)或Xi=1.

設滿足條件的A8的中點為E(x,y).

當八3與x軸不垂直時，

由kAB=kDE可得一=~~(x^1).

a+b"

而=y,所以)，2=x-i(xNi).

當Ab與x軸垂直時，E與。重合.

所以所求軌跡方程為V=x-1.

第10講拋物線(二)

［課程標準］1.理解直線與拋物線的位置關系，會求直線被拋物線所截的弦長2

通過直線與拋物線的位置關系，進一步體會數(shù)形結合的思想.

基礎知識整合

>知識梳理

直線與拋物線的位置關系

y2=2px,

已知直線/：y=kx+m,拋物線/=2Pxs>0)，聯(lián)立，,得百+2{km

y=kx+mf

-p)x+nr=0.

(1)直線/與拋物線相畫切：ZWO,J=0;

(2)直線/與拋物線相畫交：kWO,/>()或左=()；

(3)直線/與拋物線相畫離：AWO,/<0.

Q知識拓展拋物線焦點弦的幾個常用結論

設48是過拋物線產(chǎn)二2川(/?0)的焦點尸的弦，若A(xi,yi),Bg戶)，則

(1)X1X2=7，yiy2=-P；

(2)若A在第一象限，B在第四象限，則-F1=,□+§=[J,\BF\=X2+^=

乙1-COSCC乙

I二仃弦長依用=xi+X2+P=^4；(?為弦48的傾斜角)；

1?VOOCAmicz

◎)點+向為定值會

(4)以弦AB為直徑的圓與準線相切；

(5)以AF或BF為直徑的圓與)，軸相切；

(6)過焦點弦的端點的切線互相垂直且交點在準線上；

(7)通徑為過焦點且與對稱軸垂直的弦，其長為2P.

】雙基自測

1.“直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由“直線與拋物線相切”可得“直線與拋物線只有一個公共點”，“直線與

拋物線只有一個公共點”時，直線可能與對稱軸平行或重合，此時不相切，故“直

線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的充分不必要條件.故選A.

2.(人教A選擇性必修第一冊習題3.3TI2改編)直線,y=k(x-1)+2與拋物線

f=4)，的位置關系為(：.

A.相交B.相切

C.相離D.不能確定

答案A

解析直線），=k（x-1）+2過定點（1,2）,V12<4X2,A（l,2）在拋物線/二

4y內(nèi)部，，直線）=左。-1）+2與拋物線f=4），相交.故選A.

3.（2023?河南聯(lián)考）過拋物線/=曲的焦點F的直線/交拋物線于A,8兩點，

若A8的中點"的橫坐標為2,則|A8|=（）

A.4B.5

C.6D.7

答案C

解析設點A,8的橫坐標分別為月，工2,則制+4=2'”4.由過拋物線的

焦點的弦長公式知依陰+期+〃=4+2=6.故選C.

4.（多選）已知拋物線C:）2=2〃Mp>0）的焦點為F,直線/過點/交拋物線C

于A,3兩點（4在第一象限），交拋物線C的準線于點，若標=彷，|AE=4,

則下列結論正確的是（）

A./?=2

B.直線/的傾斜角為W

C.\BF\=2

D.以AB為直徑的圓與拋物線。的準線相切

答案ABD

解析過A,A作準線的垂線，垂足為4,9?由拋物線定義知|A4|=|AQ=a

|AD|,所以在RtAAi?lD中，知NAN。4,故直線I的傾斜角6為率\AF]=.

DD1—COS（7

n4

=2/7=4,p=2,|BF|=T-t-7=7,因止匕A,B正確，C錯誤；過AB的中點E

1?vOSt/D

\AA\\+\BBi\\AF]+|BF|

作準線的垂線EE團為垂足）,由梯形的中位線可知|EB|=2=―2-

二怨，所以以人8為直徑的圓與拋物線C的準線相切，所以D正確.故選ABD.

5.（人教B選擇性必修第一冊習題2-8BT4改編）已知直線y=米+2與拋物

線9二網(wǎng)有且只有一個公共點，則k的值為.

答案0或1

解析直線產(chǎn)京+2扎當攵=0時，），=2,此時直線產(chǎn)區(qū)+2與拋物線V

=8x有且僅有一個公共點；當AW0時，把），二依+2代入拋物線丁=8也得3+

2）2=8x,整理，得//+（必-8）工+4=0,???直線產(chǎn)心+2與拋物線），2=8x有且

僅有一個公共點，?"二（妹-8）2-16d=0,解得\=1.故女的值為0或1.

核心考向突破

考向一拋物線的切線

一例1（1）（多選）阿基米德是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家，享

有“數(shù)學之神”的稱號.若拋物線上任意兩點A,8處的切線交于點P,則稱△出8

為“阿基米德三角形”.已知拋物線『=8），的焦點為F,過拋物線上兩點A,8的

直線的方程為x-y+2=0：弦/W的中點為C,則關于“阿基米德三角形也歹，

下列結論正確的是（）

A.P（小,-2）B.PCLx^

C.PA1PBD.PF1AB

答案BCD

jr=Sy,

解析由,消去y可得『-83-16=0,令A（xi,）“），8（x2,”），則

[y=x+2,

oizf,X,XI.XTXIXT

XI+X2=8,XIX2=-16,y=g-,）'=4，KPA=-^,PA\）'=彳（工一為）+可=彳工-g,

”XIXTfX\+X2

A\y=^X~~^,\x=2=4,

PB：y=-^x--^,由j口6解得j口”，p（4,-2）,A錯誤；xc

卜若?”,[）,二節(jié)=_2,

xi+X2x\X^>

=-5—=4,???PC_Lx軸，B正確；kpA-kPB=~^=-\t：.PA±PB,C正確；kpF

_2_2

=~;一—=-1,kAR=1,kpF-kAB=-1,APF.LAB,DFF確.故選BCD.

⑵已知直線y=m+lM-i與曲線y2=ax恰有一個公共點，則實數(shù)。的值為

4

答案?；?1或-§

y=(a+1)x-1

解析聯(lián)立方程

y2=tix.

①當。二o時，此方程組恰有一組解“一:

[)，=0.

/。+1C

②當“()時，消去X,得丁

X=-1,

a.若。=-1,方程組恰有一組解.

3=T；

4(?+I)4

b.若令/=0,得1+---=0,解得。=-《，這時直線與曲

v<J

4

或a=-

線相切，只有一個公共點.綜上所述，。=0或。=-5

[觸類旁通I(1)直線與拋物線相切時只有一個公共點，但只有一個公共點時未

必相切.

(2)在討論時應考慮全面，不要忽略二次項的系數(shù)為零的情況.

.即時訓練1.過拋物線『=4y上一點(4,4)的拋物線的切線方程為.

答案y=2r-4

解析解法一：設切線方程為)，-4=做工-4).

-4=A:(x-4),

由1=f=4(區(qū)一4攵+4)=42-4米+16(攵-1)=0,由/=(一

|/二4y

4?2-4X16(A-1)=0,得斤一44+4=0,???攵=2.故切線方程為)，-4二2(X-4),即

y=2A--4.

Y4

解法二：由x2=4y得)，=彳，???)，?5.?,?川-4=2=2.，切線方程為)，-4=2。

-4),即y=2x-4.

2.過點尸(2,-1)作拋物線仁/=2)，的兩條切線，切點分別為A,B,則直

線A8的方程為.

答案2x-y+l=0

解析由f=得y=y,所以y'=x,設A(xi,yi),8(x2,聞，則兩條切

線的斜率分別為左=幻，ki=X2,兩條切線的方程分別為)，)，-券

=X2(X-X2)t又點4處的切線過點p(2,-1),所以-1-V=XI(2TI)=2XLX=

2AI-2yi,即2xi-v+l=0,同理，標2-戶+1=0,所以直線A8的方程為2x-)，

+1=0.

考向二焦點弦問題

一例2(1)(多選)(2023?新課標【I卷)設。為坐標原點，直線y=-小(工-1)過拋

物線C：.F=2px(p>0)的焦點，且與C交于M,N兩點,/為C的準線，貝女)

A./?=2

8

B.|MA1=T

J

c.以MN為直徑的圓與/相切

D.△OMN為等腰三角形

答案AC

解析對于A,直線-小。-1)過點(1,0),所以拋

物線。：)2=2內(nèi)(〃>0)的焦點為"1,0),所以g=l,即p=2,

所以拋物線C的方程為y=4.r,A正確；對于B,不妨設

一鏡1),

M(XI,)(1),Ngp),XI>X2,由、,消去

=4.v,

y并化簡，得3f-10x+3=0,解得XI=3,X2=；,所以|M/V]=XI+X2+P=3+g+

2=y,B錯誤；對于C,設MN的中點為A,M,N,A到直線/的距離分別為

di,d2,d,因為d=翻+必)=*|MF|+Ml)=仙N|,即A到直線I的距離等于為川

的一半，所以以MN為直徑的圓與直線/相切，C正確；對于D,由上述分析可

知產(chǎn)=-73x(3-1)=-2^3,)，2=一小x(；-1)=畢，所以10M=

32+(-273)2=^21,所以△OMN不是等腰

三角形，D錯誤.故選AC.

(2)(2023?湛江一模)已知產(chǎn)為拋物線C:『二8)，的焦點，過尸的直線/與拋物

線。交于A,8兩點，與圓f+。，-2)2=4交于。，E兩點，A,。在)，軸的同側,

則依。|忸￡1=()

A.1B.4

C.8D.16

答案B

解析由題意可知RO,2),直線/的斜率存在.設直線/的方程為)，二區(qū)+2,

m區(qū)+2,行

A(x\,)，］),8(x2,").由J,c得廠一8h一16二。，故xiX2=-16.Xy\二

jr=8y,.6

fX\X2)2

*二年，所以)D，2=—=4.圓f+°，-2)2=4的圓心為尸(0,2),半徑r=2,

所以科。1=依用一一二依用一2,|8月二|8日一〃二|8月-2.又以勻=產(chǎn)+2,|8月二”+2,

所以依。|二戶+2-2二N，|8￡="+2-2="，所以依〃忸￡二戶)，2=4.故選區(qū)

「觸類旁通％)解決焦點弦問題時，要注意以下幾點：

①設拋物線)2=2pxS>0)上的點為(川，V)，Cc,刈