北京市東城區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

北京市東城區(qū)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列事件為必然事件的是（

）A．在平面上畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是B．經(jīng)過有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈C．不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓D．購(gòu)買1張彩票，中獎(jiǎng)2．將拋物線向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得拋物線的解析式為（

）A． B．C． D．3．第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)于2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉行，奧運(yùn)會(huì)圖標(biāo)在視覺設(shè)計(jì)上主要融入三個(gè)方面的內(nèi)容——對(duì)稱設(shè)計(jì)、項(xiàng)目場(chǎng)地的抽象表達(dá)以及項(xiàng)目的代表性元素，下列四個(gè)圖標(biāo)中是中心對(duì)稱圖形的是（

）A．擊劍 B．田徑 C．馬術(shù) D．賽艇4．用配方法解方程，變形后結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．5．如圖，與分別相切于點(diǎn)A，B，，，則的長(zhǎng)度為（

）A． B．2 C．3 D．6．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是（

）A．0 B．1 C．2 D．37．鐵藝花窗是園林設(shè)計(jì)中常見的裝飾元素.如圖是一個(gè)花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對(duì)應(yīng)的弦構(gòu)成一個(gè)正六邊形，中心為點(diǎn)O，所在圓的圓心C恰好是的中心.若，則花窗的周長(zhǎng)（圖中實(shí)線部分的長(zhǎng)度）為（

）A． B． C． D．8．二次函數(shù)（）圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)滿足下表：x…0135…y…707…下面有四個(gè)結(jié)論：①拋物線的開口向上；②拋物線的對(duì)稱軸為直線；③當(dāng)時(shí)，；④是關(guān)于x的一元二次方程（）的一個(gè)根．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（本大題共8小題）9．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．10．請(qǐng)寫出一個(gè)開口向上，并且與y軸交于點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式．11．某數(shù)學(xué)興趣小組做“任意拋擲一枚圖釘”的重復(fù)試驗(yàn)，多次試驗(yàn)后獲得如下數(shù)據(jù)：重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)1050100500100020005000釘尖朝上次數(shù)515362004038012001估計(jì)任意拋擲一枚圖釘，釘尖朝上的概率約為.（結(jié)果精確到）12．據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2024年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2021年和2023年全國(guó)居民人均可支配收入分別為萬(wàn)元和萬(wàn)元．設(shè)2021年至2023年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意可列方程為．13．如圖，以點(diǎn)O為中心的量角器與直角三角板按如圖方式擺放，量角器的直徑與直角三角板的斜邊重合，如果點(diǎn)D在量角器上對(duì)應(yīng)的刻度為，連接．那么．14．如圖，在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線，，，則．15．如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，．若點(diǎn)B，C，D恰好在同一條直線上，則．16．古代的算籌是由一根根同樣長(zhǎng)短和粗細(xì)的小棍制成，在算籌記數(shù)法中，以“縱式”和“橫式”兩種方式表示數(shù)字，如圖所示.據(jù)《孫子算經(jīng)》記載，算籌記數(shù)法則是：凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，百萬(wàn)相當(dāng)．即在算籌記數(shù)法中，表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推.例如，算籌表示的四位數(shù)是6613.（1）用3根算籌表示的兩位數(shù)可以是（寫出一個(gè)即可，算籌不剩余且個(gè)位不為0）；（2）在用4根算籌表示的所有兩位數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)大于60的概率為（算籌不剩余且個(gè)位不為0）.三、解答題（本大題共12小題）17．解方程：.18．如圖，圓形拱門的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果D是中弦的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，并且，，求的半徑．19．已知：為的外接圓，D是邊上的一點(diǎn)，連接．求作：，使得點(diǎn)E在線段上，且．作法：①連接，分別作線段，的垂直平分線，，兩直線交于點(diǎn)P；②以點(diǎn)P為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交線段AD于點(diǎn)E；③連接，CE．就是所求作的角．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接．∵點(diǎn)A，B，C在上，∴（）（填推理的依據(jù)）．∵點(diǎn)B，O，E，C在上，∴．∴．20．已知二次函數(shù).(1)求該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，的取值范圍是.21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為，，2,1，將繞點(diǎn)P逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為?3,2．

(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)是；（填寫正確的選項(xiàng)）A．

B．0,1

C．(2)畫出旋轉(zhuǎn)后的，并寫出的坐標(biāo)是；(3)線段的延長(zhǎng)線與線段交于點(diǎn)M，直接寫出的度數(shù).22．中國(guó)古代的“四書”是指《論語(yǔ)》、《孟子》、《大學(xué)》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分.下面是正面印有“四書”字樣的書簽A，B，C，D，書簽除正面的字樣外，其余完全相同．將這4張書簽背面向上，洗勻放好．(1)從中隨機(jī)抽取1張，抽到“中庸”書簽的概率是；(2)從中隨機(jī)抽取2張；用列舉法求出隨機(jī)抽取的2張書簽恰好是“論語(yǔ)”和“大學(xué)”的概率.23．已知關(guān)于x的一元二次方程（）．(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的一個(gè)根是2，求代數(shù)式的值．24．如圖1，某隧道內(nèi)設(shè)單向兩車道公路，其截面由長(zhǎng)方形的三條邊，，和拋物線的一段（點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)）構(gòu)成．以的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以直線和拋物線的對(duì)稱軸為x軸和y軸，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系．其中，米，米，米．(1)求該拋物線的解析式；(2)為保證安全，要求行駛車輛頂部（視為平頂）與隧道頂部在豎直方向上高度之差不小于1米．若行車道的總寬度為8米，且O為的中點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算通過隧道的車輛的限制高度．（車道分界線的寬度忽略不計(jì)）25．如圖，在中，，以邊為直徑作交于點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，連接.(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為3，，求的長(zhǎng).26．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)在拋物線上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線.(1)當(dāng)時(shí)，求t的值；(2)點(diǎn)，在拋物線上，若，比較，的大小，并說明理由.27．如圖，在等邊中，D為上一點(diǎn)，連接，E為線段上一點(diǎn)（），將線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)求證：；(2)點(diǎn)G為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)M．若M為的中點(diǎn)，用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.28．在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于的弦和不在直線上的點(diǎn)C，給出如下定義：若，且點(diǎn)C關(guān)于弦的中點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，則稱點(diǎn)C為弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

(1)已知點(diǎn)，.①在點(diǎn)，，中，點(diǎn)是弦的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，其中°；②若直線上存在的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則b的取值范圍是；(2)若點(diǎn)C是的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，且，直接寫出弦的最大值和最小值.

參考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】10．【答案】11．【答案】12．【答案】13．【答案】5514．【答案】15．【答案】16．【答案】21（答案不唯一）17．【答案】，18．【答案】19．【答案】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖所示：（2）證明：連接．∵點(diǎn)A，B，C在上，∴（圓周角定理）．∵點(diǎn)B，O，E，C在上，∴．∴．20．（1）解：，∴二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）解：且對(duì)稱軸在的范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)函數(shù)值有最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)函數(shù)值有最小值，最小值為，∴函數(shù)值的取值范圍是21．（1）解：如圖，旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為，故此題答案為A．（2）解：如圖，即為所求作，點(diǎn)坐標(biāo)為?2,3（3）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，∴∴，又，∴，則．

22．（1）解：共有4張書簽，從中隨機(jī)抽取1張，抽到“中庸”書簽的概率是，（2）解：畫樹狀圖如下：總共有12種等可能的結(jié)果，其中隨機(jī)抽取的2張書簽恰好是“論語(yǔ)”和“大學(xué)”的有2種，∴隨機(jī)抽取的2張書簽恰好是“論語(yǔ)”和“大學(xué)”的概率為．23．（1）證明：關(guān)于x的一元二次方程為（）則，∵，∴，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵是關(guān)于x的一元二次方程（）的一個(gè)根，∴，即，∴．24．（1）解：根據(jù)題意，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，設(shè)拋物線的解析式為，則，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：根據(jù)題意，，當(dāng)時(shí)，，∵與隧道頂部在豎直方向上高度之差不小于1米，∴通過隧道的車輛的限制高度為米25．（1）證明：如圖，連接，∵是的直徑，．在中,點(diǎn)P為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，∴是的切線．（2）解：，且，，，，，，，，，，在中，，．26．（1）解：∵點(diǎn)在拋物線上，∴，∵，∴，解得，由得拋物線的對(duì)稱軸為直線，∴；（2）解：∵，，∴，則或，∴，∵，∴，∵，，又拋物線的開口向上，∴．27．（1）證明：∵為等邊三角形，∴；∵線段繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：；證明如下：如圖，過點(diǎn)A作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H；∴，，∴；∵，∴，∴，∴，∴；∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．28．（1）解：①∵點(diǎn)C關(guān)于弦的中點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，則稱點(diǎn)C為弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，∴反向思考，作出關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱圓，只要滿足，，在上或內(nèi)部，均符合題意，

∵，，∴，∵O0,0∴，∵，∴點(diǎn)到的距離為，∴點(diǎn)在上，同理經(jīng)過計(jì)算，到的距離為均大于半徑，故不符合題意，∴點(diǎn)是弦的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，連接，∴，同理可求，，∴，∴，∵，∴，故答案為：，60；②同上作出關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱圓，連接，

∵，，，，同理可求，，，∴同理可求，∴，∴，∴，∴，∴的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在優(yōu)弧上（不包括端點(diǎn)），∴若直線上存在的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則直線與優(yōu)弧上（不包括端點(diǎn)）有交點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，如圖：

∴把代入得：，解得：，∴，直線與優(yōu)弧上（不包括端點(diǎn)）有交點(diǎn)，當(dāng)直線與相切時(shí)，如圖：

記切點(diǎn)為H，連接，記直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，當(dāng)，，∴，則，∴，過作軸交直線于點(diǎn)，則，∵由切線得性質(zhì)得到：∴，∴點(diǎn)，代入，求得：，∴，直線與優(yōu)弧上（不包括端點(diǎn)）有交點(diǎn)，綜上所述：時(shí)，直線上存在的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，故答案為：；（2）解：∵，∴點(diǎn)C在以O(shè)為圓心為半徑的圓上，對(duì)于弦，我們固定點(diǎn)，調(diào)整點(diǎn)A位置即可，同上作出關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的，∵點(diǎn)C是的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，∴根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義可知：點(diǎn)C首先需要在關(guān)于點(diǎn)M