河南省南陽市2017-2018學(xué)年高一上學(xué)期期終考試數(shù)學(xué)試題

2017年秋期高中一年級期終質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意，故選B．2.如圖是水平放置的的直觀圖，軸，，則是（）A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)斜二測畫法及已知的直觀圖中，軸，可知在中，軸，所以為直角三角形?？键c：斜二測畫法。3.函數(shù)是定義域為的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，的表達式為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】當(dāng)時，，故選C．4.已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的為（）A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則【答案】D5.兩條直線，互相垂直，則的值是（）A.3B.1C.1或3D.0或3【答案】C【解析】由題意，解得，故選C．6.已知圓錐的母線長是10，側(cè)面展開圖是半圓，則該圓錐的側(cè)面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意，，∴，故選D．7.若實數(shù)滿足，則的最小值是（）A.B.1C.D.5【答案】C【解析】，，，即的最小值為，故選8.設(shè)對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.或D.【答案】A..................9.已知圓與圓相外切，為正實數(shù)，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意，又，∴，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故選A．10.若且，則（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】設(shè)，則，，故選B．11.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)，任意時，總存在使得，則的取值范圍是（）A.B.或C.或D.【答案】D【解析】由題意，則，即，當(dāng)時，，又當(dāng)時，，∴，解得，故選D．點睛：設(shè)在定義域上的值域為，函數(shù)在定義域上的值域為，命題“對于任意的，總存在，使得”等價于．12.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為2，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的外接球的表面積（）A.B.C.D.【答案】B【解析】此幾何體是是個四棱錐，如圖，ABCD是邊長為2的正方形，設(shè)是底面ABCD中心，F(xiàn)是AD中點，O是其外接球球心，則，解得，∴，，故選B．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.點關(guān)于平面的對稱點的坐標(biāo)為__________．【答案】【解析】關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點，只有橫坐標(biāo)相反，其他兩個坐標(biāo)相同，因此對稱點為．點睛：空間直角坐標(biāo)系中對稱問題一般有六個特殊的對稱，其點的坐標(biāo)關(guān)系為：（1）關(guān)于平面對稱，坐標(biāo)相反，坐標(biāo)相同；（2）關(guān)于平面對稱，坐標(biāo)相反，坐標(biāo)相同；（3）關(guān)于平面對稱，坐標(biāo)相反，坐標(biāo)相同；（4）關(guān)于軸對稱，坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相反；（5）關(guān)于軸對稱，坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相反；（6）關(guān)于軸對稱，坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相反．14.若函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】（0，1）【解析】試題分析：令，所以有兩個交點，畫出的圖象如下圖所示，由圖可知.考點：函數(shù)圖象與性質(zhì).【思路點晴】本題考查函數(shù)零點問題.函數(shù)零點問題有兩種解決方法，一個是利用二分法求解，另一個是化原函數(shù)為兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)的交點來求解.本題采用第二種方法，首先令，變?yōu)閮蓚€函數(shù)，先畫出的圖象，然后將軸下方的圖象向上翻折，得到的圖象，由圖可知，有兩個交點.15.已知過點的直線被圓所截得的弦長為8，那么直線的方程為__________．【答案】x=﹣3或5x﹣12y+15=0【解析】試題分析：設(shè)直線方程為或，∵圓心坐標(biāo)為，圓的半徑為，∴圓心到直線的距離，∴，∴，∴直線方程為，即；直線，圓心到直線的距離，符合題意，故答案為：或.考點：直線與圓的位置關(guān)系.【方法點睛】本題考查了待定系數(shù)法求直線方程，考查了直線與圓相交的相交弦長公式，注意不要漏掉，難度中檔；當(dāng)直線與圓相交時，弦長的一半、圓心到直線的距離以及圓的半徑構(gòu)成直角三角形可求出點到直線的距離為，已知直線過某點時，分為斜率存在和斜率不存在時兩種情況，當(dāng)斜率不存在時進行驗證，當(dāng)斜率存在時設(shè)為點斜式，利用點到直線的距離可得結(jié)果.16.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是__________．【答案】3【解析】依題意，設(shè)球的半徑為，根據(jù)體積公式有，解得.三、解答題（本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（1）求經(jīng)過直線和的交點，且平行于直線的直線方程.（2）已知直線和點，過點作斜率為的直線與相交于點，且，求斜率的值.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：（1）可先求出已知兩直線的交點坐標(biāo)，利用平行線的斜率相等得所求直線斜率，由點斜式得直線方程；（2）用斜率與點A坐標(biāo)寫出直線方程，與直線方程聯(lián)立求出交點B的坐標(biāo)，由兩點間距離公式可求得參數(shù)的值．試題解析：（1）由，得交點坐標(biāo)為因為直線平行于直線，所以直線的斜率為2所以，直線的方程為，即.（2）設(shè)直線的方程為，即直線的方程為因為直線與相交于點，聯(lián)立方程組，解得點的坐標(biāo)為又，解得18.已知.（1）若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上是遞增的，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】試題分析：（1）由于函數(shù)定義域為全體實數(shù)，故恒成立，即有，解得；（2）由于在定義域上是減函數(shù)，故根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性有函數(shù)在上為減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域有，解得.試題解析：（1）由函數(shù)的定義域為可得:不等式的解集為，∴解得，∴所求的取值范圍是（2）由函數(shù)在區(qū)間上是遞增的得：區(qū)間上是遞減的，且在區(qū)間上恒成立；則，解得19.如圖，在正方體中，分別是的中點.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在一點，使得平面，若存在，求的比值；若不存在，說明理由.【答案】(1)見解析(2)1：3【解析】試題分析：（1）連接，由正方形性質(zhì)得，又由正方體中，，分別是，的中點，易得，則，，由線面垂直的判定定理，可得平面，進而由面面垂直的判定定理，可得平面平面；（2）設(shè)與的交點是，連接，，，由線面平行的性質(zhì)定理，我們易由平面，平面，平面平面，得，再由平行線分線段成比例定理，得到線段與的比.試題解析：（1）證明：連接，則，又分別是的中點，所以，所以，因為是正方體，所以平面，因為平面，所以，因為，所以平面。(2)設(shè)與的交點是，連接，因為平面平面，平面平面，所以20.已知函數(shù)（且）是定義在上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)a=2(2)m≤0【解析】試題分析：（1）可先由奇函數(shù)的必要條件（存在時）求得值，然后檢驗滿足即可；（2）在時，不等式可變?yōu)楹愠闪?，因此只要求得在時的最小值即可得出的范圍，為此可用換元法，設(shè)，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得最小值．試題解析：（1）：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．∴，∴a=2．∴，∴，∴f（x）是定義在R上的奇函數(shù)．∴a=2．（2）由題意得，當(dāng)x≥1時，即恒成立，∵x≥1，∴2x≥2，∴恒成立，設(shè)t=2x﹣1（t≥1），則設(shè)，則函數(shù)g（t）在t∈[1，+∞）上是增函數(shù)．∴g（t）min=g（1）=0，∴m≤0，∴實數(shù)m的取值范圍為m≤0．21.如圖，正方形所在平面與四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，，.（1）求證：平面；（2）設(shè)線段的中點分別為，求異面直線與所成角的正弦值；（3）求二面角的大小.【答案】(1)見解析(2)（3）45°【解析】試題分析：（1）要證明線面垂直，就要證線線垂直，由面面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥平面ABEF，從而有AB⊥EF．又由平幾知識得EF⊥EB，從而可得線面垂直，也即得面面垂直；（2）求異面直線所成的角，一般要作出這個角，為此取BE中點N，可證MN與PC平行且相等，從而得平行四邊形，有PM與CN平行，因此只要在中求出的正弦值即可；（3）求二面角E－BC－D，就要找到它的平面角，由（1）的證明知∠EBA就是所要作的平面角，這個角是45°，因此二面角為45°．試題解析：（1）因為平面ABEF⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以BC⊥平面ABEF．所以BC⊥EF．因為△ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以∠AEB=45°又因為∠AEF=45°，所以∠FEB=45°+45°=90°，即EF⊥BE．因為BC?平面BCE，BE?平面BCE，BC∩BE=B，所以EF⊥平面BCE．（2）取BE的中點N，連結(jié)CN，MN，則且，所以PMNC為平行四邊形，所以PM∥CN．所以∠NCB為PM與BC所成角（或其補角）正方形ABCD所在平面與四邊形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，設(shè)AE=a，BN=．BC=a，所以NC=，在直角三角形NBC中，．（3）由（1）知BC⊥平面ABEF．所以BC⊥AB,BC⊥EB,因此，∠EBA為二面角E﹣BC﹣D的平面角．又因△ABE是等腰直角三角形，所以∠EBA=45°故二面角E﹣BC﹣D的大小為45°．點睛：在立體幾何中求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角問題，一般第一步都根據(jù)這些角的定義作出其“平面角”，然后在三角形中求解，為此必須用到空間平行與垂直的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)作圖、證明、計算是求解的“三步曲”，特別是證明不要遺忘、不要簡化．22.已知圓的半徑為3，圓心在軸正半軸上，直線與圓相切.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與圓交于不同的兩點，而且滿足，求直線的方程.【答案】(1)（x﹣2）2+y2=9(2)x﹣y﹣3=0，17x﹣7y﹣21=0，x=0【解析】試題分析：（1）可設(shè)圓心坐標(biāo)為，由直線與圓相切，知圓心M到切線的距離等于半徑，可求得，從而得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）注意分類討論，當(dāng)直線斜率不存在時，代入求出A、B兩點坐標(biāo)，檢驗是否符合題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率為，得直線方程為，代入圓的方程，由韋達定理得，代入已知等式可求得的值，從而得直線方程．試題解析：（I）設(shè)圓心為M（a，0）（a＞0），∵直線3x﹣4y+9=0與圓M相切∴=3．解得a=2，或a=﹣8（舍去），所以圓的方程為：（x﹣2）2+y2=9（II）當(dāng)直線L的斜率不存在時，直線L：x=0，與圓M交于A（0，），B（0，﹣），此時+=x1x2=0，所以x=0符合題意當(dāng)直線L的斜率存在時，設(shè)直線L：y=kx﹣3，由消去y，得（x﹣2）2+（kx﹣3）2=9，整理得：（1+k2）x2﹣（4+6k）x+4=0.........................................................（1）所以由已知得：整理得：7k2﹣24k+17=0，∴把k值代入到方