2021屆重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題(教師版含解析)

西南大學(xué)附屬中學(xué)校高2021級(jí)第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，那么()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出集合、，再根據(jù)并集的運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)在上是增函數(shù)，由，先比較，，的大小，即可得出的大小.【詳解】由是上的奇函數(shù)，則又，而，所以又在上是增函數(shù)，所以所以即故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．3.要得到的圖像，只需將的圖像()A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位【答案】D【解析】【分析】先利用二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式和圖象變換進(jìn)行求解．【詳解】易知,,則要得到的圖象,只需將的圖象向右平移個(gè)單位．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的圖象變換等知識(shí).本題的易錯(cuò)點(diǎn)在于確定平移的單位長(zhǎng)度,如由變換為時(shí),要注意將變形,即平移的單位僅相對(duì)于自變量而言．4.調(diào)查了100攜帶藥品出國(guó)的旅游者，其中75人帶有感冒藥，80人帶有胃藥，那么對(duì)于既帶感冒藥又帶胃藥的人數(shù)統(tǒng)計(jì)中，下列說(shuō)法正確的是()A.最多人數(shù)是55 B.最少人數(shù)是55 C.最少人數(shù)是25 D.最多人數(shù)是80【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意畫(huà)出帶藥情況的圖，然后再根據(jù)圖，列出關(guān)系式，由此即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)100名攜帶藥品出國(guó)的旅游者組成全集I，其中帶感冒藥的人組成集合A，帶胃藥的人組成集合B.又設(shè)所攜帶藥品既非感冒藥又非胃藥的人數(shù)為x，則，以上兩種藥都帶的人數(shù)為y.根據(jù)題意列出圖，如下圖所示：由圖可知，.∴，∴.∵，∴，故最少人數(shù)是55.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合交集中元素的個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用圖解題是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5.若函數(shù)在處取得極大值，則常數(shù)的值為()A.3 B.2 C.3或2 D.或【答案】A【解析】【分析】由題意得出，可求得實(shí)數(shù)的值，然后將實(shí)數(shù)的值代入導(dǎo)數(shù)，就函數(shù)是否在處極大值進(jìn)行檢驗(yàn)，由此可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】(1)，，由題意可得，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，，令，或;令，,此時(shí)，函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，當(dāng)時(shí)，.令，得或；令，得得.此時(shí)，函數(shù)在處取得極大值，合乎題意.綜上所述，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的極值點(diǎn)和最值點(diǎn)求參數(shù)，解題時(shí)要注意對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，并學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.6.函數(shù)的部分圖像大致是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由得為奇函數(shù)排除選項(xiàng)A，由函數(shù)值的變化趨勢(shì)可以排除選項(xiàng)D，求特殊點(diǎn)的函數(shù)的正負(fù)可排除C，得到答案．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,所以為奇函數(shù)，故排除選項(xiàng)A.由當(dāng)且時(shí)，，故排除選項(xiàng)D.由，故排除選項(xiàng)C.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識(shí)別，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的變化趨勢(shì)進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題．7.已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，分別求出和的值域，根據(jù)題中條件，得到的值域是值域的子集，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又在上單調(diào)遞減；因此在上單調(diào)遞減；則在上單調(diào)遞減；若，則；又是增函數(shù)，若，則，因?yàn)?，，使得，所以是的子集；因此，解?故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)單調(diào)性求值域，根據(jù)兩函數(shù)值域之間的關(guān)系求參數(shù)，屬于?？碱}型.8.定義在上的函數(shù)滿足：，，則不等式的解集為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù),由得的單調(diào)性,再將不等式轉(zhuǎn)化為,又由，得，所以，由構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,即可求解．【詳解】設(shè)，則,

,,又，所以,在定義域上單調(diào)遞增,對(duì)于不等式可轉(zhuǎn)化成，,又，,,而在定義域上單調(diào)遞增,，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的范圍得出構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間，從而求解不等式的問(wèn)題，此類問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件構(gòu)造出合適的新函數(shù)，并且分析其單調(diào)性和特殊點(diǎn)的函數(shù)值，屬于中檔題．二、多項(xiàng)選擇題9.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖，則下列敘述正確的是()A函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)B.函數(shù)滿足，且在處取得極小值C.函數(shù)在處取得極大值D.函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減【答案】AC【解析】【分析】通過(guò)觀察導(dǎo)函數(shù)的圖像及導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)表示原函數(shù)的增減，依次判斷即可得出結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖像可得，當(dāng)x<2時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>2時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,只有當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極大值，無(wú)極小值.故選:AC.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合的能力，屬于基礎(chǔ)題.10.下列說(shuō)法正確的是()A.命題“若，則”的否命題是“若，則”B.設(shè)，，則“”的充分必要條件是“”C.對(duì)命題，，，若是的充分條件，是的必要條件，則是的必要條件D.命題“，”的否定是“，”【答案】BC【解析】【分析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)逐一判斷真假，即可得解.【詳解】對(duì)于A.命題“若，則”的否命題是“若，則”，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B.設(shè)在上單調(diào)遞增，，所以，故B正確；對(duì)于C.對(duì)命題，，，若是的充分條件，則，是的必要條件，則，所以，則，則是的必要條件，故C正確；對(duì)于D.命題“，”的否定是“，”，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查否命題和命題的否定，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．11.設(shè)函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是()A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像為一條直線B.若，則C.若，，不等式的解集為D.當(dāng)，時(shí)，不等式的解集為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)特征及單調(diào)性,依次對(duì)選項(xiàng)驗(yàn)證求解，即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A.當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則函數(shù)圖像為一條去掉的直線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B.，等價(jià)于，等價(jià)于，令，則在上為增函數(shù)，所以等價(jià)于，所以，則，故B正確；C.若，，則有不等式，解集為，故C錯(cuò)誤；D.當(dāng)，時(shí)，不等式，，即為：，求得解集為，故D正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，及利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查邏輯推理能力，屬于中檔題.12.一般地，若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則稱為的“倍跟隨區(qū)間”；若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域也為，則稱為的“跟隨區(qū)間”.下列結(jié)論正確的是()A.若為的跟隨區(qū)間，則B.函數(shù)存在跟隨區(qū)間C.若函數(shù)存在跟隨區(qū)間，則D.二次函數(shù)存在“3倍跟隨區(qū)間”【答案】ABCD【解析】【分析】根據(jù)“倍跟隨區(qū)間”的定義,分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值與取值范圍逐個(gè)判斷即可.【詳解】對(duì)A,若為的跟隨區(qū)間,因?yàn)樵趨^(qū)間為增函數(shù),故其值域?yàn)?根據(jù)題意有,解得或,因?yàn)楣?故A正確；對(duì)B,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間與上均為減函數(shù),故若存在跟隨區(qū)間則有,解得：.故存在,B正確.對(duì)C,若函數(shù)存在跟隨區(qū)間,因?yàn)闉闇p函數(shù),故由跟隨區(qū)間的定義可知,即,因?yàn)?所以.易得.所以,令代入化簡(jiǎn)可得,同理也滿足,即在區(qū)間上有兩根不相等的實(shí)數(shù)根.故,解得,故C正確.對(duì)D,若存在“3倍跟隨區(qū)間”,則可設(shè)定義域?yàn)?值域?yàn)?當(dāng)時(shí),易得在區(qū)間上單調(diào)遞增,此時(shí)易得為方程的兩根,求解得或.故存在定義域,使得值域?yàn)?故D正確.故選：ABCD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)新定義的問(wèn)題,需要根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的單調(diào)性與取最大值時(shí)的自變量值,并根據(jù)函數(shù)的解析式列式求解.屬于難題.三、填空題13.已知半徑為的扇形面積為，則扇形的圓心角為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】利用S扇形即可得出【詳解】設(shè)扇形的圓心角為α．由解得α．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積計(jì)算公式，熟記公式，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14.若，且，則的值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)得，平方求得，進(jìn)而得到，再結(jié)合，即可求解.【詳解】由誘導(dǎo)公式，可得，平方可得，解得，又因?yàn)?，可得，所以，又由，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)基本關(guān)系式的化簡(jiǎn)、求值，其中解答中熟記三角函數(shù)的基本關(guān)系式，合理運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)函數(shù)，若方程恰有4個(gè)不同的根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】作出的圖像，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由已知作出的圖像如圖所示：方程恰有4個(gè)不同的根等價(jià)于有四個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖可知,,,則只需滿足即可.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)問(wèn)題，考查分段函數(shù)圖像的畫(huà)法，屬于中檔題.16.為了研究口服某流感藥物后人體血液中藥物濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律，西南大學(xué)附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)興趣小組以本班同學(xué)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象(被試).通過(guò)記錄口服該流感藥物(小時(shí))時(shí)被試血液中藥物濃度(毫克l毫升)的方式獲取試驗(yàn)數(shù)據(jù).經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，被試服用藥物后，血液中藥物濃度與時(shí)間成正比升高，當(dāng)時(shí)藥物濃度達(dá)到最高，此后，被試血液中藥物濃度以每小時(shí)的比例下降.根據(jù)以上信息完成：(1)從被試服用藥物開(kāi)始，其血液中藥物濃度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_____.(2)如果一位病人上午8：00第一次服藥，為使其血液中藥物濃度保持在以上，那么這位病人第三次服藥時(shí)間最遲為_(kāi)_____(每次服藥時(shí)間均以整點(diǎn)為準(zhǔn)).【答案】(1).(2).14:00【解析】【分析】由被試服用藥物后，血液中藥物濃度與時(shí)間成正比升高，可求得，，由已知，被試血液中藥物濃度以每小時(shí)的比例下降.進(jìn)而可得與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)分析整點(diǎn)病人血液中藥物濃度，依次對(duì)比即可得出結(jié)果.【詳解】(1)由題意可知，設(shè)，點(diǎn)代入解得：，即時(shí)，，，血液中藥物濃度以每小時(shí)的比例下降，即每小時(shí)下降,設(shè)，點(diǎn)代入解得：，即，當(dāng)時(shí)，.所以，血液中藥物濃度與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式為；(2)第一次服藥后，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，為使其血液中藥物濃度保持在以上，則當(dāng)時(shí)，即11點(diǎn)第二次服藥，當(dāng)時(shí)，即13點(diǎn)時(shí)，第一次服藥在病人血液中藥物濃度0，第二次服藥在病人血液中藥物濃度為7,當(dāng)14點(diǎn)時(shí)，病人血液中藥物濃度為，所以第三次服藥最遲在14：00.故答案為：；14：00.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.四、解答題：17.已知，求下列代數(shù)式的值.(1)；(2).【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式化解，即可求得所給式子的值.(2)把要求的式子的分母看成1，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化為關(guān)于正切的式子，從而求得它的值.【詳解】由，可得：，解得：.(1)．(2)【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式在化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題18.已知函數(shù).(1)求函數(shù)極值；(2)設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)極大值，無(wú)極小值；(2)詳見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后求得函數(shù)的極值；(2)分類討論極值點(diǎn)與區(qū)間的位置關(guān)系，從而確定函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最大值.【詳解】(1)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，，無(wú)極小值；(2)①當(dāng)時(shí)，由(1)知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)的最大值；②當(dāng)時(shí)，由(1)知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值是；③當(dāng)時(shí)，時(shí)，由(1)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值是，所以函數(shù)在上的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，單調(diào)性，最值，重點(diǎn)考查分類討論思想，計(jì)算能力，屬于中檔型.19.已知命題存在實(shí)數(shù)，成立(1)若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)命題函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，如果是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由題得，利用基本不等式求函數(shù)的最小值即得解；(2)先求出命題為真時(shí)，，再根據(jù)是假命題求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)由題得存在實(shí)數(shù)，成立，所以，因?yàn)椋?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等)，所以.(2)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)恒成立，所以.所以.當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以.因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)恒成立，所以.所以.綜上所述，.如果是真命題，則且，即.如果是假命題，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的能成立問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查復(fù)合命題的真假，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20.已知函數(shù).(1)設(shè)是的極值點(diǎn)，求并討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，證明恒成立.【答案】(1),在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得導(dǎo)函數(shù)，由題，則可得的值，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，求得的的取值范圍即為單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，求得的的取值范圍即為單調(diào)減區(qū)間;(2)當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，求得，通過(guò)分析函數(shù)單調(diào)性，求得即可得證.【詳解】(1)，由是的極值點(diǎn)得，所以.于是，定義域?yàn)?，，在上單調(diào)遞增，且.因此，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由，當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，則，解得：.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，又，故在有唯一實(shí)根，且.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；從而當(dāng)時(shí)，取得最小值。由得：，，故.綜上：當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，恒成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)和函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，屬于中檔題.21.新冠肺炎疫情期間，各地均響應(yīng)“停課不停學(xué)，停課不停教”的號(hào)召開(kāi)展網(wǎng)課學(xué)習(xí).為檢驗(yàn)網(wǎng)課學(xué)習(xí)效果，某機(jī)構(gòu)對(duì)2000名學(xué)生進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生上網(wǎng)課時(shí)有家長(zhǎng)在旁督促，而有些沒(méi)有.網(wǎng)課結(jié)束后進(jìn)行考試，根據(jù)考試結(jié)果將這2000名學(xué)生分成“成績(jī)上升”和“成績(jī)沒(méi)有上升”兩類，對(duì)應(yīng)的人數(shù)如下表所示：成績(jī)上升成績(jī)沒(méi)有上升合計(jì)有家長(zhǎng)督促的學(xué)生500800沒(méi)有家長(zhǎng)督促的學(xué)生500合計(jì)2000(1)完成以上列聯(lián)表，并通過(guò)計(jì)算(結(jié)果精確到0.001)說(shuō)明，是否有的把握認(rèn)為家長(zhǎng)督促學(xué)生上網(wǎng)課與學(xué)生的成績(jī)上升有關(guān)聯(lián)；(2)從有家長(zhǎng)督促的800名學(xué)生中按成績(jī)是否上升，采用分層抽樣的方法抽出8人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步調(diào)查，記抽到1名成績(jī)上升的學(xué)生得1分，抽到1名成績(jī)沒(méi)有上升的學(xué)生得分，抽到3名學(xué)生的總得分用表示，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析，沒(méi)有的把握認(rèn)為家長(zhǎng)督促學(xué)生上網(wǎng)課與學(xué)生的成績(jī)上升有關(guān)聯(lián)；(2)分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】【分析】(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)計(jì)算的值，看是否大于的臨界值，即可做出判定結(jié)論；(2)利用超幾何分布公式求出分布列，并利用期望的定義計(jì)算期望值.【詳解】解：(1)成績(jī)上升成績(jī)沒(méi)有上升合計(jì)有家長(zhǎng)督促的學(xué)生500300800沒(méi)有家長(zhǎng)督促的學(xué)生7005001200合計(jì)12008002000，因?yàn)椋?/p>