專題35-不等式(同步練習(xí))(文)(解析版)

專題35不等式（同步練習(xí)）一、判斷兩個(gè)數(shù)的大小和不等式證明例1-1．已知、為正數(shù)，且，比較與?！窘馕觥?，∵，且，∴，，∴，即。作差法比較兩個(gè)數(shù)大小時(shí)做差后變形的方法：：①因式分解；②配方；③通分；④對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；⑤分母或分子有理化；⑥分類討論。變式1-1-1．比較與的大小，其中?！窘馕觥俊撸?。變式1-1-2．比較與的大小，其中?！窘馕觥俊?，又∵且，則，，又，，∴。例1-2．已知，試比較與的大小。【解析】∵，∵，∴當(dāng)時(shí)，，有，當(dāng)時(shí)，，有，當(dāng)時(shí)，，有，綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。變式1-2．比較與的大小，其中且。【解析】∵，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，。綜上當(dāng)且時(shí)，。例1-3．已知，試求的取值范圍?！窘馕觥俊?，∴，，∴，又，∴，∴，∴，∴的取值范圍是。變式1-3．設(shè)且，，求的取值范圍?！窘馕觥糠ㄒ唬涸O(shè)(、為待定系數(shù))，則，于是得，，解得，，∴，又∵，，∴，即的取值范圍是。法二：由，得：，，∴，又∵，，∴，即的取值范圍是。利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)：(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式。解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用。(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則。利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要注意的問題：(1)恰當(dāng)設(shè)計(jì)解題步驟，合理利用不等式的性質(zhì)。(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)要切實(shí)注意不等式性質(zhì)的前提條件，切不可用似乎是很顯然的理由，代替不等式的性質(zhì)，如由及，推不出；由，推不出等。(3)準(zhǔn)確使用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯(cuò)誤。二、解一元二次不等式例2-1．解下列關(guān)于的不等式：(1)；(2)；(3)?！窘馕觥?1)原不等式可化為，∴原不等式的解集為。(2)；當(dāng)，即或時(shí)，原不等式解集為，當(dāng)，即或時(shí)，原不等式解集為，當(dāng)，即時(shí)，原不等式解集為；(3)，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為。例2-2．解關(guān)于的不等式：()?！窘馕觥吭坏仁交癁?，①或時(shí)，解集為；②當(dāng)或時(shí)，，解集為；③當(dāng)或時(shí)，，解集為。例2-3．解關(guān)于的不等式：()?！窘馕觥吭坏仁交癁?，當(dāng)或時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)解集為；當(dāng)時(shí)解集為。三、線性規(guī)劃例3-1．以下各點(diǎn)不在表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，ABC均滿足上述不等式，故選D。例3-2．已知點(diǎn)和點(diǎn)在直線的異側(cè)，則的取值范圍是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】要使、兩點(diǎn)在的異側(cè)，則代入后它們的符號(hào)相異，由此得到關(guān)于的不等式：，即，解得，故的范圍為，故選A。例3-3．設(shè)、滿足約束條件，則的最大值為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】畫可行域，由，得，欲求的最大值，可將直線向下平移，當(dāng)經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，且滿足在軸上的截距最小時(shí)，即得的最大值，如圖可知當(dāng)過點(diǎn)時(shí)最大，由得即，，故選C。例3-4．已知變量、滿足約束條件，目標(biāo)函數(shù)()僅在點(diǎn)處取得最大值，則的范圍為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】畫出已知約束條件的可行域?yàn)閮?nèi)部(包括邊界)，如圖，易知當(dāng)時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，由目標(biāo)函數(shù)得，則由題意得，，故選D。例3-5．已知、滿足約束條件，若的最大值為，則()。A、B、C、D、【答案】C【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，易知，由得，由，得，∴當(dāng)或時(shí)，在處取得最大值，最大值為，不滿足題意，排除A、B選項(xiàng)，當(dāng)或時(shí)，在處取得最大值，∴，∴，排除D，故選C。四、基本不等式例4-1．已知，，且，則的最小值為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，，且，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為，故選B。變式4-1．已知，，且，則的最小值為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，，∴，即最小值為，故選A。例4-2．已知()，則的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴的取值范圍為，故選B。變式4-2．已知，則的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】，若，則，若，則，∴的取值范圍為，故選A。例4-3．已知，則的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，，∴，∴的取值范圍為，故選C。變式4-3．當(dāng)時(shí)，則的最大值為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，，，∴，即最大值為，故選D。例4-4．已知兩正數(shù)、滿足，則的最小值為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】，令，則，又在上的最小值為當(dāng)時(shí)，最小值為，∴當(dāng)時(shí)有最小值，故選D。誤區(qū)警示：(1)在利用基本不等式求最值時(shí)，過多地關(guān)注形式上的滿足，極容易忽視符號(hào)和等號(hào)成立條件的滿足，這是造成解題失誤的重要原因。如()有最大值而不是有最小值。(2)當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否都能保證等號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。變式4-4．已知，，求的最小值及相應(yīng)的、的值?！窘馕觥?，∵，∴，∴，且當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，。例4-5．如圖，動(dòng)物園要圍成相同的長(zhǎng)方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成。(1)現(xiàn)有可圍長(zhǎng)網(wǎng)的材料，每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使每間虎籠面積最大？(2)若使每間虎籠面積為，則每間虎籠的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多少時(shí)，可使圍成四間虎籠的鋼筋總長(zhǎng)