湖南省郴州市一中高三12月月考文科數(shù)學(xué)

湖南省郴州市第一中學(xué)2018屆高三十二月月考文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（）A.B.C.D.【答案】D【解析】故選2.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，，則故選3.雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】在雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中，，由題意得雙曲線焦點(diǎn)在軸上，所以漸近線方程為故選4.已知且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，即，解得當(dāng)時(shí)，即，，故當(dāng)且，則“”是“”的充要條件；故選5.《九章算術(shù)》一書中，第九章“勾股”中有如下問題：“今有勾八步，股一十五步.問勾中容圓徑幾何？”其意思是，“今有直角三角形，短的直角邊長為8步，長的直角邊長為15步，問該直角三角形能容納圓的直徑最大是多少？”通過上述問題我們可以知道，當(dāng)圓的直徑最大時(shí)，該圓為直角三角形的內(nèi)切圓，則往該直角三角形中隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在此三角形內(nèi)切圓內(nèi)的概率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意，直角三角形，斜邊長為，由等面積可得內(nèi)切圓半徑則往該直角三角形中隨機(jī)投擲一點(diǎn)，該點(diǎn)落在此三角形內(nèi)切圓內(nèi)的概率是故選6.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則（）A.若，，，則B.若，，，則C.“直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線與平面垂直”的充分不必要條件D.若，，，則【答案】D【解析】對A，符合條件的直線可能∥，故不正確；對B,兩個(gè)垂直平面內(nèi)的兩條直線不一定垂直，故不正確；對C,直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,并不能推出直線垂直平面內(nèi)的任意一條直線，故不正確；對D，根據(jù)平面垂直的定義，可證明兩個(gè)平面垂直，故正確.7.已知實(shí)數(shù)滿足，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】綜上所述，故故選8.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為480，則判斷框中可以填（）A.B.C.D.【答案】B.....................9.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)圖像的對稱軸方程不可能為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意得：令，當(dāng)時(shí)，正確；當(dāng)時(shí)，正確；當(dāng)時(shí)，正確；故選10.如圖所示，在中，，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，，且，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則故選點(diǎn)睛：本題考查了向量的綜合運(yùn)用，要求向量的點(diǎn)乘運(yùn)算，先求出各邊長，本題較為困難的在于向量之間的轉(zhuǎn)換，，另一種方法，可以建立平面直角坐標(biāo)系，給出各點(diǎn)坐標(biāo)，即可計(jì)算出結(jié)果11.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，下圖畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A.B.C.16D.【答案】A【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面一邊長為4，對應(yīng)高為4的三角形，高為4的三棱錐。如圖所示，所以選A。12.若，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，，，，令，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減實(shí)數(shù)的取值范圍為故選點(diǎn)睛：分類參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，觀察法等判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值問題，來解決若，存在恒成立，即可求得答案。二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且點(diǎn)在橢圓上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【答案】【解析】由題意長軸長是短軸長的倍，且點(diǎn)在橢圓上得解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為14.某校高三年級有男生220人，學(xué)籍編號為；女生380人，學(xué)籍編號為.為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的心理狀態(tài)，按學(xué)籍編號采用系統(tǒng)抽樣的方法從這600名學(xué)生中抽取75人進(jìn)行問卷調(diào)查（第一組采用簡單隨機(jī)抽樣，抽到的學(xué)籍編號為5），則女生被抽取的人數(shù)為__________人．【答案】48【解析】由題意共600名學(xué)生，要抽取75人，按照系統(tǒng)抽樣則分為每組，即8人一組，第一組抽到的學(xué)籍編號為5，則男生抽取人數(shù)為，所以男生抽取人數(shù)為27，則女生被抽取人數(shù)為7527=48人15.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為__________．【答案】【解析】如圖先畫出其可行域，要求的最大值為，則需要求出的最小值，當(dāng)時(shí)，取值最小值，所以的最大值為點(diǎn)睛：本題主要考查的是線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用的幾何意義是解決線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵，注意利用數(shù)形結(jié)合來解決，做出平面區(qū)域，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后判斷目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解。16.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，若，則__________．【答案】【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則，，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則，，，，又，∴故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知的內(nèi)角的對邊分別為，若，且.（1）求的值；（2）當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：⑴利用正弦定理和和差公式即可得出；⑵利用余弦定理，基本不等式的性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算公式即可得出；解析：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，即，即可得，故?）依題意，的面積，故只需最大即可；由余弦定理，即，結(jié)合基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，所以當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，.18.為了調(diào)查觀眾對某熱播電視劇的喜愛程度，某電視臺在甲、乙兩地各隨機(jī)抽取了8名觀眾作問卷調(diào)查，得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示：（1）計(jì)算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷的平均得分；（2）計(jì)算甲、乙兩地被抽取的觀眾問卷得分的方差；（3）若從甲地被抽取的8名觀眾中再邀請2名進(jìn)行深入調(diào)研，求這2名觀眾中恰有1人的問卷調(diào)查成績在90分以上的概率.【答案】（1）85,85(2)35.5，41（3）【解析】試題分析：⑴利用莖葉圖數(shù)據(jù)，即可求出答案；⑵根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)，利用方差公式即可求解；⑶從人中任取人，利用列舉法能求出參加調(diào)研的觀眾中恰有人的問卷調(diào)查成績在分以上的概率；解析：（1）依題意，，；(2)，（3）依題意，所有的事件的可能性為，共28種，其中滿足條件的為，共12種，故所求概率.19.已知三棱錐如圖所示，其中，，二面角的大小為.（1）證明：；（2）若為線段的中點(diǎn)，且，，求三棱錐的體積.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：⑴由二面角的大小為，故平面平面，由，故，再運(yùn)用性質(zhì)定理即可求證(2)設(shè),證得解得，，利用等面積法求得，即可求出體積解析：（1）證明：因?yàn)槎娼堑拇笮?，故平面平面，又平面平面，，故，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）解：設(shè)，則.由（1）可知，，又，所以.因?yàn)?，，所以，所以，?解得，故，，設(shè)到平面的距離為，所以有，得.故.20.已知拋物線的焦點(diǎn)為.（1）若拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，直線，求直線截拋物線所得的弦長；（2）過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線的切線，兩切線相交于點(diǎn)，若分別表示直線與直線的斜率，且，求的值.【答案】（1）10（2）或.【解析】試題分析：⑴聯(lián)立直線與拋物線方程即可求出直線截拋物線所得的弦長(2)設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線方程，求得過點(diǎn)的切線方程分別為，，再次聯(lián)立解得的坐標(biāo)為，計(jì)算出的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合，求的值解析：（1）依題意，，注意到直線過拋物線的焦點(diǎn)，聯(lián)立，解得；由拋物線定義可知，所求弦長為；（2）設(shè)，，易知，聯(lián)立，消去得，∴，，由得，過點(diǎn)的切線方程分別為，，聯(lián)立得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，∴，∴或；所以直線的斜率為或.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】試題分析：⑴求導(dǎo)得，再對分子求導(dǎo)，反應(yīng)一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，從而計(jì)算出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)后進(jìn)行分類討論，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍解析：（1），，令，故，注意到，故當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由得.記，，則.①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，所以在上為單調(diào)增函數(shù)，所以，故原不等式恒成立.②當(dāng)時(shí)，易知當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，為單調(diào)減函數(shù)，所以，不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題是道導(dǎo)數(shù)綜合題，當(dāng)一階導(dǎo)數(shù)不能很好的給出答案時(shí)，需要再次求出分子的二階導(dǎo)數(shù)，才能確定原函數(shù)的單調(diào)性；證明不等式的成立時(shí)候，可以求導(dǎo)，然后再分類討論，逐漸證明，求出參量的取值范圍。請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的極坐標(biāo)方程為；直線與曲線相交于兩點(diǎn).以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系.（1）求曲線的參數(shù)方程；（2）記線段的中點(diǎn)為，若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）【解析】試題分析：⑴先將曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的方程，然后再給出參數(shù)方程(2)在極坐標(biāo)的運(yùn)算下求得的值，再表示出的表達(dá)式，從而計(jì)算出最值情況解析：（1）因?yàn)?，故，因?yàn)椋仕蠓匠虨?，故曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）聯(lián)立和，得，設(shè)、，則，由，得，當(dāng)時(shí)，取最大值，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題考查的知識點(diǎn)由簡單曲線的極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程的求法，直線與圓的位置關(guān)系。考查了極地坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互