希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽真題詳析100題

希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽精選詳析100題

題1已知0<a<h,x=Ja+匕一痣,〉=JF-J/-凡則的大小關(guān)系是.

（第H■*一屆高二第一試第11題）

解法1x=yja+b-4b=y=4h-y/b-a=-j=~~\------.

+b+屈vb+-xjb-ci

:0v〃vb、：.<a+b+y/b>4b+Nb-a,:.x<y.

xyja-\-b-4b4h+y!b-a..x.

解法2—=—r=----/=./:-----?=,*;a+b>b-a,:.一<1,.*.x<y.

yyjb-yjb-a+y

1I飛a+b+^[b4b4-yjb-a

解法3---

xyyja+b—yjb4b—Nb-a

4a+b—y/b-a八11c

----------------------->O,.\--------->0,.*.x<y.

xy

22gt得

解法4原問題等價(jià)于比較國萬十^Z與2折的大小,由V+y

2

Qa+b+yjb-a)2<2(〃+/?+/?-?)=4Z?,/.da+b+yjb-a<2y[b.

*.*Ja+b±y/h-a,:.J〃+3+db-a<2①，:.x<y.

解法5如圖1,在函數(shù)y=6的圖象上取三個(gè)不同的

點(diǎn)A(。-a,y/b-a)sB(6,V^)、C(o+b,J〃+").

由圖象，顯然有心〈心即告系〈先售

0b

即Ja+b-4b<4b-\lb-a,亦即xvy.

圖1

解法6令/（。=>^工7—〃，???/?）=亍上—廠單

y/a+t+y/t

調(diào)遞減，而b>Z?-a,/(b)v/()一。)，即Ja+?-&<逐一”?一a,:.x<y.

1/218

解法7考慮等軸雙曲線/一y2=a（x>0）

如圖2,其漸近線為y=%.在雙曲線上取兩點(diǎn)

A（柩，ylb-a）、B（Jb+〃，揚(yáng)）.

由圖形，顯然有心5>1，即*—物？>1，從而xvy.

yja+b-yjb

解法8如圖3.在RtAABC中，ZC為直角，BC二八,

AC=y/b,BD=4b,則AB=Ja+b,DC=ylb-a.

在AABD中，AB-AD<BD,即da+b-AD<&,

從而y/a+b-AD-DC<V^-DC,

即da+b—4h<4b—\lb-a,故xvy.

評析比較大小是中學(xué)代數(shù)中的常見內(nèi)容.其最基本的方法是

作差比較法、作商比較法、利用函數(shù)的單調(diào)性.解法1通過分子有理

化（處理無理式常用此法）將問題轉(zhuǎn)化成比較兩個(gè)分母的大小,解法

2直接作商與1比較大小，順理成章，也很簡潔.要注意的是：a,b>0

時(shí)，->\oa>b；a,b<0時(shí)，1=。<尻此題直接作差難以確定差與0的大小，解法3

bb

對的倒數(shù)作差再與0比較大小，使得問題順利獲解，反映了思維的靈活性.解法6運(yùn)用函數(shù)

的單調(diào)性解題，構(gòu)造一個(gè)什么樣的函數(shù)是關(guān)鍵.我們認(rèn)為構(gòu)造的函數(shù)應(yīng)使得蒼y恰為其兩個(gè)函數(shù)

值，且該函數(shù)還應(yīng)是單調(diào)的（最起碼在包含羽y對應(yīng)的自變量值的某區(qū)間上是單調(diào)的）.解法5

與解法7分別構(gòu)造函數(shù)與解幾模型，將的大小關(guān)系問題轉(zhuǎn)化成斜率問題加以解決，充分溝通

了代數(shù)與幾何之間的內(nèi)在聯(lián)系，可謂創(chuàng)新解法.解法8充分挖掘代數(shù)式的幾何背景，構(gòu)造平面圖

形，直觀地使問題得到解決，這也是解決大小關(guān)系問題和證明不等式的常用方法.

有人對此題作出如下解答：

取〃=1/=2,則元二后一行二廠1廠4=五_［二—一,，.?6+夜〉

V3+V2V2+1

1<［長，?二%<以可再取兩組特殊值驗(yàn)證，

+1>0,都有大<y.故答案為xvy.

V3+V2

從邏輯上講，取。=1/=2,得xvy.即使再取無論多少組值（也只能是有限組值）驗(yàn)證,

都得x<y,也只能說明或作為答案是錯(cuò)誤的，而不能說明x<y一定是正確的，因

2/218

為這不能排除x=y的可能性.因此答案雖然正確，但解法是沒有根據(jù)的.當(dāng)然，如果將題目改為

選擇題；

已知氏x=+-低,丫=低7b_a,時(shí)K,y的大小關(guān)系是（）

A^x>yB、x>yC^x=yD、x<y

此時(shí)用上述解法，且不用再取特殊值驗(yàn)證就可選D,并且方法簡單，答案一定正確.

總而言之，特殊值法在解許多選擇題時(shí)顯得特別簡捷，那是因?yàn)檫x擇支中的正確答案是唯一

的，從而通過特殊值排除干擾支，進(jìn)而選出正確答案.但特殊值法只能排除錯(cuò)誤結(jié)論，而不能直

接肯定正確答案，因此，用此法解填空題（少數(shù)特例除外）與解答題是沒有根據(jù)的.當(dāng)然，利用

特殊值指明解題方向還是十分可取的.

題2設(shè)a>b>c/eN,且一!一+」一>」一恒成立，則〃的最大值為（）

a-bb-ca-c

Av2B、3C、4D、5

（第十一屆高二第一試第7題）

皿…，a-ca-c、,a-ca-ca-ca-c

解法1原式o----+----->n./.n<-----+-----.而-----+-----

a-bb-c\_a-b/?-cJmina-bb-c

a-b+b-cb-c+a-b-b-ca-b、「b-ca-b.

=---------------+----------------=2+--------+-------->4A,且當(dāng)-----=-----,即ana+c=?時(shí)

a-bb-ca-bb-ca-bb-c

取等號.佇￡+佇￡=4.:.n<4.故選C.

_"bb-c]min

解法2a>b>c>：.a—h>0,b—c>0,a—c>0f已知不等式化為

n<.v..7-.由/'、/-->---------y=4,即/'；=4,故

由已知得〃K4,選C.

解法3由〃>/?><?,知。-b>0,b-c>0,〃-c>0,有——+——.又

\a-bb-c)

（…信+￡卜…+（+￡卜m，

?<4.故選C.

解法4???〃>b>c,.?.。一人>0/一。>0,。一。>0..?.己知不等式可變形為

3/218

(6f-c)2、(6r-c)2

n~{a-b\b-cY記=(a-b)(b-cY

則k==4.由題意，n<4.故選C.

(a-l^b-c)"(a-bib-c)

解法5*.*a>b>c--—>0,--—>0.于是

a—hb—c

1144

-------1-7\-7r=比較得〃W4.故選C.

a-bb-c\a-b)-\-\b-c)a-c

評析由己知，可得〃<（〃-c）—+恒成立.根據(jù)常識“若〃恒成立，

、a-bb-c）

則a?/（x）min：若恒成立，則,“（。一」7+一一］的最小值就是所

/max4\a-bb-c）

求n的最大值，故問題轉(zhuǎn)化為求（q-cf+」一］的最小值，上述各種解法都是圍繞這一中

\a-bb-c）

心的，不過采用了不同的變形技巧，使用了不同的基本不等式而已，解法1運(yùn)用了

之2,a,beR*”；解法2運(yùn)用了Zb"；解法3運(yùn)用了“（〃+人/，+口24”；

ab\2）b）

解法4運(yùn)用了“〃+822癡解法5運(yùn)用了（〃/GR+）'.雖解法

abQ+Z?

異彩紛呈，但卻殊途同歸.

此題使我們聯(lián)想到最新高中數(shù)學(xué)第二冊（上）P30第8題：

已知求證：--——I-----1----->0.

a-bb-cc-a

證：令。-6二%,人一。=y（犬>0,y>0）,則a-c=x+y.

I11111f+y2+

-----1------1-----=--1--------=---------—vx>0,y>0,

a-bb-cc-axyx+yxy^x+y)

--1--+---1-+---1-->0八.

a-bb-cc-a

此證法通過換元將分母中的多項(xiàng)式改寫成單項(xiàng)式，使得推證更簡單了.運(yùn)用這一思路，又可

得本賽題如下解法：

4/218

設(shè)〃一Z?=x,b-c=y(x>O,y>0),則a-c=x+y.——+—!—N”恒成立,就

a-bb-ca-c

是，+，之」一恒成立.也就是〃恒成立.???(％+了/工+工］24恒成立，

xyx+y(xy)(xy)

，由題意得九W4.故選C.

再看一個(gè)運(yùn)用這一思想解題的例子.

以+￡+￡之土業(yè)

例設(shè)4,上C6R+,求證:

b+cc+aa+b2

(第二屆“友誼杯”國際數(shù)學(xué)競賽題)

證明設(shè)b+c=x,c+a=yM+8=z,則a+b+c=萬(工+y+z[x,y,z>0).

..〃2從(〃+。2_(即_法)2/J2(〃+與2

?I-77-2U9??I29

xyx+y孫(工+y)%y工+y

2/2z、2

〃2+〃+《2>(a+b)~+°2>(q+)+c)~_(a+8+c)_a+h-^-c即

xyzx+yzx+y+z2(〃+b+c)2

4+/+乙￡1^￡a+O+c

xyz2b+cc-\-aa+b2

本賽題還可直接由下面的命題得解.

命題若勾>%>???>〃”>o,則一-—+—-—+…+—5—n：t)

<一。2〃2一〃3%—a〃4一凡

證明,??。|〉的>…>”“>0，一。2，。2一。3,…，*T一?！ǘ即笥?.反復(fù)運(yùn)用①式，

(nX2

〃2EA；

可得：“若4y￡R+(i=l,2,…,〃)，則之上八，:)，當(dāng)且僅當(dāng)工=三=-=區(qū)時(shí)取等

/=iX￡天乂必L

i=i

(1+1+…+1『

號”.故有一!一+—!—+-+—1—

%一%%一%an_1-an%-4+%—%■!-----Fq”-q

也可以這樣證明:

>a2>?-?>??>0,:.a^-a2,a2-a3,---,an_x-an>0.故由柯西不等式，得

5/218

(—―+—-—+…+—1—)[(4一%)+(出一…>(1+1+---+1)2

4一2%一%<->

(〃T)個(gè)?

二(〃一1)2,即(—!—+—!—+…+——!——乂4一%)“〃-1)2.va}-an>0,

外一。2。2一。3?n-l-?n

由此可得本賽題的如下解法:

*/a>b>c,a-b>0,h-c>0,a-c>0,-------F---->------------=-----.由

a-bb-ca—b+b—ca—c

題意，.故選C.

由此命題還可直接解決第七屆高二培訓(xùn)題第8題：設(shè)…>%000>g001，并且

14X1()6

+…n=,則加與〃的大小關(guān)系是)

—“2001

Asm<nBsm>nC、m>nD、m<n

土”.故選C.

解>。2>°3>…>“2000》“2001，.?.^.a222L

—〃2001一02001

題3設(shè)實(shí)數(shù)也〃，乂y滿足加2+M=〃，x2+y2=b,則〃a+〃y的最大值為()

22

A、；(〃+/?)BAyyla+Z?C、『/4cib

(第十一屆高二培訓(xùn)題第5題)

解法1設(shè)優(yōu)=&cosa,〃=Vasina,x=J^cosP，y=7^sinA

則nix+ny=>J~abcosacosp+y[absinasinp=>[abcos(a-p)<

即(/nr+〃y)max=V^.故選D.

解法2m2+〃2=a^>—m2+—/?2=Z?,Xx2+y2=/7,/.+ny)-J—mx+

aa\a'\a

2(m2+〃2)+*2+2)

(/〃，了+/(P〃y+y2-.a+b

ja,yaaa：,mx+ny

2222

6/218

與金二五瓦當(dāng)且僅當(dāng)小,用二”且

—n=y，即集y=加時(shí)取等號，，（mx+肛0nm=4ab>

ia.a

解法3{mx+ny)2=/rrx2+Invcny+tvy2<nrx1+nry2+n2x2+rry2

=（4+九2）12+了2）=必：.mx-\-ny<4ab,當(dāng)且僅當(dāng)my=nx時(shí)取等號，故

(znr+Ma=4ab

22

—>—>->->2

解法4設(shè)p=(皿〃)，q=(x,y),則p.q=p?qcos。Wp?q、：?pq4P-q,

即?僅合+叫12+,2）=a"當(dāng)且僅當(dāng)夕共線，即緲=加時(shí)取等號，故

（/nr+⑼皿=4ab.

解法5若設(shè)如+〃y=A,則直線7nr+〃y=Z與圓f+），2=6有公共點(diǎn)，于是

,1^1<\[b,即=,nr+盯14吠+^y)=\[ab.

yjnr+n2

解法6設(shè)4=加+應(yīng),z?=x-yi,則z]z2=^inA-niy^x-yi)=[mx+ny)+[nx-my^i,：,

2

nvc4-ny)=\tnx+ny\>mx+ny9：.mx4-ny<\z{z2\

2222

=|z]|*|z2|=\ltn+/i-yjx+y茄，當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號，故1ax二.

解法7構(gòu)造函數(shù)/(X)=(加2+〃2)乂2+2(/m?+〃y)X+V+y2,

則/(X)=(〃zX+x)2+(〃X+y『NO.故△=4(/nr+〃y)2一4(加十〃2x~2+y2

=4(mx+『-4ab<0,即nix+ny<\[ab.:.{nix^-羽)儂-

解法8由加2+九2=〃,/+〉2=匕還可構(gòu)造圖形（如圖）,

其中ZACB=ZADB=90°,AC=U州,

B

8。=國,4。=帆,45=血為圓的直徑，由托勒密定

7/218

理，ACBD+BCAD=ABCD<AB\得J^|/n|-|x|+</?,，從而得

nvc-^ny<\[ab,當(dāng)且僅當(dāng)沖=/比且/nx>0時(shí)取等號皿=J^.

評析解法1抓住已知條件式的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用三角代換法，合情合理，自然流暢，也是解

決此類型問題的通法之一.

解法2運(yùn)用基本不等式ab<將如+融放大為關(guān)于"2+"2與工2+y2的式子，再

利用條件求出最大值.值得注意的是，稍不注意，就會(huì)得出下面的錯(cuò)誤解法：

/“十//2（療+/）+（冗2+/2）a+b

/m-+ny<^_+_2_=A-------------■--------------^=亍,..（如+小=『故

選A.錯(cuò)誤的原因就在于用基本不等式求最值時(shí)未考慮等號能否取到.上述不等式取等號的條件

是。=x①且h=y②，而若①，②式同時(shí)取得，則“+/=/+/,即。="這與題設(shè)矛盾!

即當(dāng)。工人時(shí)，inx+ziy取不到且12.解法2是避免這種錯(cuò)誤的有效方法.

由于向量與復(fù)數(shù)的模的平方是平方和形式，與己知形式一致，故解法4與解法6分別運(yùn)用了

構(gòu)造向量與構(gòu)造復(fù)數(shù)的方法，新穎而簡潔，

解法5設(shè)加x+〃y=Z后，將其看作動(dòng)直線，利用該直線與定圓/+）/有公共點(diǎn)，則圓

心到直線的距離小于等于半徑，得&=/nr+〃ywJ茄，充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的解題功能.

解法7運(yùn)用的是構(gòu)造函數(shù)法.為什么構(gòu)造函數(shù)/（X）=（>+〃2）x2+2（znr+〃y）X+/

+產(chǎn)呢？主要基于兩點(diǎn)：①/（X）為非負(fù)式（值大于等于0）,②由于/（X）NO,故有△<（）,

而△溝通了已知與未知的關(guān)系，故使問題得到解決.

解法8抓住已知兩條件式的特征，構(gòu)造了兩個(gè)有公共邊的直角三角形，利用托勒密定理及圓

的弦小于等于半徑使問題獲解，充分揭示了這一代數(shù)問題的幾何背景.

拓展此題可作如下

推廣若。；+出？+…+Q：=P，b；+石+...+》；=d則一⑥4+...+〃也）M

=廂（當(dāng)且僅當(dāng)J幺4=：（i=l,2,…何時(shí)取得最大值）.

8/218

=y[pq,當(dāng)且僅當(dāng)

且4=4(j=l,2,…/時(shí)取等號,.?.(afy+a2b2+...+anbn)max=y[pq.

本推廣實(shí)際就是由著名的（柯西）不等式

（。自+〃262+—?+。,?！ǎ?+〃2?+…+42+...+〃：）（當(dāng)且僅當(dāng)

富=會(huì)=-=答時(shí)取等號）直接得到的一個(gè)結(jié)論.

及b2bn

推廣有十分廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)舉一例:

I23

例已知〃,6,c,x,y,zwR+,且。+2b+3c=4,—+—+2=8.求京卜寺最大值.

xyz

解a+2b+3c=4=>（右門（而門（屈『=4-+2+3二8n

xyz

a,即公:二辦二口二1時(shí)取等號.

z2

9/218

題4對于|討<1的一切實(shí)數(shù)加，使不等式2工-1>機(jī)（f—1）都成立的實(shí)數(shù)x的取值范圍是

（第十三屆高:培訓(xùn)題第63題）

x2-1>0X2-1<0x2-1>0

%~1=°,即.

解法1題設(shè)等價(jià)于4lx-\或，2x-l或<121或

tn<—z---m>-r：---2x-l>01<^—r

x2-lx2-lx-1

x2-l<0

或，'1一°,所以1〈元<2或6—1<x<1或x=l：即冗e(6-l,2).

I2x-l

-1>^—72x-l>0

X—1

解法2已知不等式即（%2-1）〃一（2X-1）<0,令/（⑼=卜2一1卜_（2工一1）,則

當(dāng)％2—1工0,即工工±1時(shí)，/（加）是加的一次函數(shù)，因?yàn)榉?1,即一1<〃2<1時(shí)不等

「1一f/（-l）=-x2+l-2x+l<0

式恒成立，所以/（加）在-1,1上的圖象恒在機(jī)軸的下方，故有「,,

/（1）=X2-1-2X+1<0

x?+2x—2>0（―

即4人,解得6-1<X<2（犬。1）.

X2-2X<0

又當(dāng)x=l時(shí)，，/（"）=一1,適合題意，當(dāng)工=一1時(shí)，，（切）=3不合題意.

故x的取值范圍是百一l<x<2.

評析解決本題的關(guān)鍵是如何根據(jù)條件構(gòu)建關(guān)于x的不等式或不等式組.解法1運(yùn)用分離參

數(shù)法，為了達(dá)到分離參數(shù)的目的，又對V—i分大于0、小于0、等于。三類情形分別構(gòu)建關(guān)于工

的不等式組，從而通過解不等式組解決了問題.解法2則轉(zhuǎn)換思維角度，把已知不等式看成關(guān)于加

的不等式，從而將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)=—1）在［-覃］上的圖象恒在m軸下

方的問題.這種方法稱為變更主元法.用此方法，使得此題的解決顯得既簡捷，又直觀易懂.

題5當(dāng)0<x<。時(shí),不等式4+—Jn2恒成立，則。的最大值是_

x（a-x）

（第十一屆高二培訓(xùn)題第45題）

解法1當(dāng)0vx<〃時(shí)，竺？+上之2①，又有9一廣廠Jn2②，②+①

xa-xx（a-x）

10/218

22222

a-x2ax-xYEW,即

x2,得一十>6

x1(a-x)2

11QO

—+；—^>—.*4>2,^0<6r<2,/.amax=2.

x{a—x)aa

解法2,二（+111141

)2+)2.又—+----—+

(”T)2xa-xxa-xxa-xaa

1>(-)2，即J+1

2—―+當(dāng)且僅當(dāng)

JC(a-x)2ax(〃一x)

匕二上且』=—!_,即x=-時(shí)取等號.丁-V+—二22恒成立，

Vx\a-xxa-x2x（a-x）

8

/.—>2,0<a<2.于是qnax=2.

-ir~

—H-------2

解法3原不等式等價(jià)于1匹-（6r~x）>1，由0cxV。，可知，>0,」一>0.由

丫2xa-x

2

“兩個(gè)正數(shù)的平方平均值不小于它們的調(diào)和平均值”,可知只需--------->1,即〃K2即可,故

x+(a-x)

0<^<2,于是4^二？.

???」+------7>2即

解法4—-+尸+-------—x222①成立，又

x(a-x)x2\_(a-x)2

v3十一之2恒成立，:.a只要滿足一二--20②就能使①恒成立.由②式,

得

x（a-x）

222

x(<2-x)<1,x{a-x)<1,-x+ax-\K0③.由于對稱軸％G(0,?),由二次函數(shù)的

2

性質(zhì)，當(dāng)x￡（0,a）時(shí)，要③式恒成立，則△=/一4工0...0<〃62z.amax=2.

解法5設(shè)土=cos2a,9--=sin2a{0<x<a),則'+——--r=——二一+

aax(a-x)acosa

11/218

1——sin22a

11sin4a-I-cos4a182-sin22a

---------=_-zx-2(sin22a+2)

tz2si?n4-a-----2a?sm4aco4s---a------2cr1.4sin42a

-sin92a

16

2_sin2

(sin22a—1)<0?B|J2—sin22a>sin42a，則———.....（當(dāng)sin22a=1時(shí)取等號）,

sin2a

I|Q8

于是——H-----------之——f由已知，得一722,0<aK2,^max=2?

x~(a-x)a~a~

解法6isx=L,y=—!—(x>o,y>o),則

xa-x

乂2+丫222表示在乂。丫坐標(biāo)系第一象限內(nèi)以原點(diǎn)為圓心,

行為半徑的圓及其外部.由x得

xa-x

QXY=X+匕又aXY=X+Y它表示

a~

4

雙曲線xy=/位于第一象限內(nèi)的一支及其上方部分.依題意，

雙曲線丫卜=:（丫>0）與圓弧、2+片=2（、>0,y>o）

a-

8

相切或相離，從而>2,即0va?2“amax=2.

222

解法7運(yùn)用結(jié)論“如果再，必w/?p=l,2,…,〃），則五+2+.??+2之

x%弘

（用+/+…+招）]*）,當(dāng)且僅當(dāng)上二區(qū)二X

=-^=k（常數(shù)）時(shí)取等號.”???（）<x<〃，

M+K+…+”X為

.?.〃一X>0.由柯西不等式，有（/+/）（,+_二）>（_L+L）2①，由（*）得

x（a-x）xa-x

工+―!-之士②.故2（二+-J）N（3）2,得3+—?—>A?當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等

xa-xax（ci-x）ax[a-x）a2

Q

號，由一I-22,得0<。"2々ma<=2.

a~

解法8運(yùn)用結(jié)論“若q>〃2>??>%，則」-+—+…+―--之史上?，當(dāng)

4一%%一%%一為4一%

12/218

且僅當(dāng)用,。2,…，G”成等差數(shù)列時(shí)取等號?"2[+—二

x(a-x)

?i2

(3-1)2\_16.11.8

當(dāng)且僅當(dāng)x=a—1，即冗=幺時(shí)

(x-0a-x^a-0a2x2(a-x)2a22

Q

取等號.令:N2,得0v〃K2...”max=2.

a

評析???」7+—Jn2恒成立，-4+—二N2.故問題的實(shí)質(zhì)就是求

x(a-x)~\_x~(a=x)~Jmjn

4+—J的最小值(關(guān)于。的式子)大于等于2的解.因而在的條件下，如何求

x2(a-x)2

4十—二的最小值成了問題的關(guān)鍵.解法1運(yùn)用“兩個(gè)互為倒數(shù)的正數(shù)的和大于等于2”，解

x2(a-x)2

法2運(yùn)用配方再放縮，解法3運(yùn)用均值不等式及“兩個(gè)正數(shù)的平方平均值不小于它們的調(diào)和平均

值”，解法5運(yùn)用三角代換，解決了這一關(guān)健問題.解法4巧妙地將原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)含參(〃)

一元二次不等式恒成立，求參數(shù)的范圍問題，從而運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.解法6將原問題

轉(zhuǎn)化為解析幾何問題處理,解法7、8則是運(yùn)用一些現(xiàn)成的結(jié)論(讀者可自己證明)，各種解法異彩

紛呈，都值得細(xì)細(xì)品味.

拓展此題可作如下推廣：

推廣1若。<%]<%<…<怎_[<。，則一~■1---------7+…------------~~r*當(dāng)且

陽區(qū)一芭)(〃一七.|廠a

僅當(dāng)再,與，…，xn-i，a成等差數(shù)列時(shí)取等號.

證明由己知，0<百<七<…<陽“則彳2一%>0，￡一42>0，…，。一&-1>0,

根據(jù)柯西不等式及解法7運(yùn)用的不等式(*),有〃二+—i~-+???+——5—￡

馬(x2-X))(〃一元“J

n4,111

孑故”4-------------------+…+--—-------2---，-------

(x2-Xj)(。一天a

當(dāng)且僅當(dāng)用,工2,…成等差數(shù)列時(shí)取等號.

IA+1

推廣2若0<玉K￡R+(i=1,2,???,〃),zwN+,則」

13/218

Ik+1j七+1

上十…十一^—,當(dāng)且僅當(dāng)q=/也時(shí)取等號.

（々一玉尸（。一怎人

;=1

證明不妨設(shè)q=%,。2=冗2一玉，…，%="￡-1，"=由己知得《?>0

（，=1,2,…，"）且令G=%,則￡q=，￡%=1.由均值不等式，一+

r=ia/=|a,-=|q

_______,*+i

Me+Mq+…+Mq>（左+1）可加%產(chǎn),即與+kMq>（k+1）（^+&+…+，>出,

---S---------------

則七，+創(chuàng)心之伏+i）（力產(chǎn)??5、之（以）叫即〃5.之（以產(chǎn)，

i=iq/=i/=1i=iqt=ii=iai

4=旦時(shí)取等號.

1〃

/=1

.廣始*b：俗+4+...+a產(chǎn)

.：—I---:—卜…H--------------------:--------

Xjx2（a-居_]）a

題6已知f（x）=logsme及夕￡（0,卜設(shè)a=。,

b=」（jsin6-cos6）,c=/一變久一那么a、b、c的大小關(guān)系是（）

（sinO+cos刃

A^a<c<bB>b<c<aC、c<b<aD、a<b<c

（第八屆高二第一試第10題）

解法1設(shè)sin6=〃，cos^=q.v>y[pq,而/（x）是減函數(shù)，

"（皇）”麻），即。口.；國《皇，；043當(dāng)匝

一用<y[pq././（2Pq）>f{y[pq]^即cN/?.故a</??c,.選D.

14/218

心…八上人八冗....八1V3sin6+cos。1+V3

解法2由題忌，令6二一，則sin，二一，cos0=—>--------------=--------

62224

I.八------V3sin202sin8cos。3-V3

Vsin^cos^=——，---------------=---------------=---------vsin^=—e(0,1),/(x)是

2sin0+cos0sin6+cos。2

y『魴DI+Q、%、3一石,「sin9+cos。)A/sin2^

減函數(shù)，又------>—>-------，.:/---------------<flVsin6>cos<91<f-----------

42212J八7(sinO+cos。

即avZ7vc.故選D.

評析這是一個(gè)比較函數(shù)值大小的問題，通常利用函數(shù)的單調(diào)性.若函數(shù)f(x)單調(diào)遞增

(減)，則當(dāng)芭〈電時(shí)，/(W)<1(%2)()(須)>((工2))，當(dāng)為>/時(shí)，fM>f(X2)

(/(芭)</(/))?因此解決問題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是確定函數(shù)的單調(diào)性,二是確定自變量的大小

關(guān)系.解法1就是這樣解決問題的.

/\/\

因?yàn)檎_答案應(yīng)對一切。w0,-都正確，故又可以運(yùn)用特殊值法.對0,工內(nèi)的某個(gè)角不

[(2)

正確的選擇支部是錯(cuò)誤的，由正確選擇支的唯一性，也可選出正確答案，解法2便是取特殊值

7T

9二一，排除了A、B、C、而選D的.

6

當(dāng)然，此題也可用作差比較法來解：卷).?.sin6￡(0,l),.?./(》)是單調(diào)減函數(shù),

sin夕+cos。i/-^―：--------

-----------------logsindVsmJ，cos〃=

$in9>0,cos9>0./.。一。二10gsi/

sin。+cos。

2

唾而‘府菽初"唾疝〃1=0,:.a<b.又Z?-c=l0gsiJsin^cos^一

.sin2。.Jsinecose】sin6+cos。八?

10lofan

bg,in。—------=bgsinO=Ssin^./.八八?g.sin^1=°，即

sin。+cos。2sin'cos02Vsin<9cos

sin6+cos。

b<cf/.a<b<c.選D.

1(2708,，，"9

題