2024-2025學(xué)年江蘇省蘇州市六校高二上學(xué)期12月聯(lián)考調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.在等差數(shù)列中，已知，則等于（）A.12 B.13 C.14 D.16【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，解得，所以公差，所以.故選：C2.斜率為，且經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】所求直線方程為，即.故選：B.3.已知是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，.則（）A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】由題得F0,1，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，根據(jù)對(duì)稱性，不妨假設(shè)點(diǎn)位于第一象限，過點(diǎn)作軸，因?yàn)?，則，則，又因?yàn)槭菕佄锞€上一點(diǎn)，則，代入上式有，解得或3，顯然由圖知，則，則.故選：A4.設(shè)是橢圓的上任一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，取到最大值，即最小值為.故選：A.5.已知是雙曲線上的點(diǎn),是其左?右焦點(diǎn)，且.若的面積為18，則（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】由得，由勾股定理得，由雙曲線的定義得，，所以，則的面積為，，解得.故選：C.6.已知圓，點(diǎn).若圓上存在點(diǎn)使得，則的最小值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】若，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，即圓，即兩圓存在公共點(diǎn),由兩圓位置關(guān)系可得即的最小值為，故選:B7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若數(shù)列滿足:對(duì)任意的,都有,且，則（）A.10 B.19 C.20 D.39【答案】B【解析】由題設(shè)或，設(shè)公差為，由題意知：，，由，由結(jié)構(gòu)特征知：，綜上，，所以.故選：B.8.如圖，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為是上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線與軸的正半軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】設(shè)，設(shè)、與的內(nèi)切圓切于點(diǎn)、，由對(duì)稱性可得內(nèi)切圓圓心在軸上，結(jié)合切線長(zhǎng)定理可得，，則，即，故，則，因此，.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,公比為,且滿足，則（）A.B.若，則C.D.若，則當(dāng)最小時(shí)，【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由可得，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列由，則，A正確；對(duì)于B，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，C正確；對(duì)于D，，所以數(shù)列單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)最小時(shí)，，D正確.故選：ACD.10.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Mx,y與兩點(diǎn)連線的斜率分別為且（為常數(shù)），下列結(jié)論正確的有：（）A.若，則動(dòng)點(diǎn)Mx,y一定在橢圓上B.若，則動(dòng)點(diǎn)Mx,y一定在雙曲線上，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸C.若，則的取值范圍是D.若為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線上存在點(diǎn)使得，則【答案】BCD【解析】由可得，即對(duì)于A，若，則點(diǎn)M在圓上，選項(xiàng)A錯(cuò)誤對(duì)于B，若，則點(diǎn)軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，B正確對(duì)于C，若，則，即，可設(shè)點(diǎn)，則，可得C正確對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M軌跡為，當(dāng)垂直于直線，且為圓切線時(shí)，此時(shí)最大，此時(shí)需滿足，即，由點(diǎn)到直線距離，解得，D正確.故選；BCD11.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),且與交于兩點(diǎn)，過分別作直線的垂線，垂足依次為，若長(zhǎng)的最小值為4，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.若的傾斜角為，點(diǎn)在第一象限，則C.若，則的斜率為1D.若點(diǎn)在上，且，則【答案】ABD【解析】拋物線焦點(diǎn)，依題意可知直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，設(shè)Ax1則，，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以拋物線，焦點(diǎn)為F1,0，對(duì)于選項(xiàng)A:由上述分析可知，，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)榈膬A斜角為，拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，點(diǎn)在第一象限，設(shè)Ax1由直線的點(diǎn)斜式方程可得：直線的方程為：，其與拋物線聯(lián)立方程組可得：，解得；所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)直線的方程為：y=kx-1，其與拋物線聯(lián)立方程組可得：，由韋達(dá)定理可得：，所以，即，所以，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由，得：,所以，故D正確；故選：ABD.三?填空題：本題共3題，每小題5分，共15分.12.已知等比數(shù)列滿足，則______.【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，由，所以，，由，，知均為負(fù)數(shù)，所以等比數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)均為負(fù)，即故答案為：.13.在平面直角坐標(biāo)系中,已知B，C為圓上兩點(diǎn),點(diǎn),且，則線段的長(zhǎng)的取值范圍是___________.【答案】【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，所以所以的取值范圍是，從而的取值范圍是．故答案為：．14.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上,且滿足，傾斜角為銳角的漸近線與線段交于點(diǎn)，且，則的值為______.【答案】【解析】設(shè)雙曲線C的半焦距為c，即有，因，則，即直線與雙曲線C交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限，由得點(diǎn)，由，而，得，代入得：，即，不妨，則，故，則，因此.故答案為：.四?解答題：本題共5題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知與兩坐標(biāo)軸均相切；且過點(diǎn)，直線過點(diǎn)交圓于兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若，求直線的斜率.解：（1）由題意知圓心C在第一象限，圓C與兩坐標(biāo)軸均相切，則，由圓C過點(diǎn)2,1，所以，解得或5，因?yàn)椋?，所以圓C方程為.（2）由可得，即點(diǎn)A為PB中點(diǎn)，設(shè)弦AB中點(diǎn)為E，則，設(shè)，則，在中，由勾股定理得①，在中，由勾股定理得②，聯(lián)立①②解得，即圓心C到直線的距離的平方為，設(shè)直線，即，則，解得.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為.（1）求拋物線的方程；（2）過焦點(diǎn)的兩條直線分別與拋物線交于、和、，若，求四邊形面積的最小值.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)，所以線段的中垂線為.即的外接圓圓心在直線上，圓心到準(zhǔn)線的距離為，所以的外接圓半徑為，所以該圓面積.解得，所以拋物線的方程為.（2）若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線、都不與x軸重合，所以，直線、的斜率存在且都不為零，易知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Ax1,聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，所以，因?yàn)椋钥稍O(shè)直線方程為，用代替可得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即四邊形的面積最小值為.17.已知雙曲線的離心率，虛軸在軸上且長(zhǎng)為2.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知橢圓，若分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的值，以及的最小值.解：（1）由題意，所以雙曲線的方程為.（2）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，則直線OA的斜率①當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性，不妨取右頂點(diǎn)，點(diǎn)B軸上，不妨取，此時(shí)，則②當(dāng)時(shí)聯(lián)立直線OA方程與雙曲線方程因?yàn)?，則直線方程為，聯(lián)立直線OB方程與橢圓方程所以綜上，為定值1令則，因?yàn)?，所以所以，所以所以，綜上，所以最小值為218.已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.（3）設(shè)，求的值（其中表示不超過的最大整數(shù)）.解：（1）由，，則，兩式相減得，，所以數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，公差均為2，又，且，即，所以數(shù)列為以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則.（2）由題意，所以.（3）由（1）知，則，由，，得，，故，，，，以上各式相加，得.由，，得，，故，，，，以上各式相加，得，則.綜上所述，則.19.橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的焦距為，且經(jīng)過點(diǎn).如圖，橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與直線平行且交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn)，連接交于點(diǎn)（1）求橢圓的方程；（2）若直線的斜率分別為，證明為定值；（3）證明：點(diǎn)在一條定直線上.解：（1）因?yàn)闄E圓的焦距，所以，則，即.橢圓經(jīng)過點(diǎn)，將其代入橢圓方程得到.聯(lián)立解得，故橢圓的方程為.（2）法1.，取中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)，，即，即，故在直線上，即，由平面幾何易知：共線，故可設(shè)，則定值；法2.，設(shè)，，（3）法1.由（2）法1知：在定直線上.法2.由（2）法2知:，故點(diǎn)P在定直線上.江蘇省蘇州市六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.1.在等差數(shù)列中，已知，則等于（）A.12 B.13 C.14 D.16【答案】C【解析】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，解得，所以公差，所以.故選：C2.斜率為，且經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】所求直線方程為，即.故選：B.3.已知是拋物線上一點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，.則（）A. B. C.3 D.4【答案】A【解析】由題得F0,1，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，根據(jù)對(duì)稱性，不妨假設(shè)點(diǎn)位于第一象限，過點(diǎn)作軸，因?yàn)?，則，則，又因?yàn)槭菕佄锞€上一點(diǎn)，則，代入上式有，解得或3，顯然由圖知，則，則.故選：A4.設(shè)是橢圓的上任一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最大值為（）A. B.3 C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，取到最大值，即最小值為.故選：A.5.已知是雙曲線上的點(diǎn),是其左?右焦點(diǎn)，且.若的面積為18，則（）A.2 B. C. D.3【答案】C【解析】由得，由勾股定理得，由雙曲線的定義得，，所以，則的面積為，，解得.故選：C.6.已知圓，點(diǎn).若圓上存在點(diǎn)使得，則的最小值為（）A B. C. D.【答案】B【解析】若，則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，即圓，即兩圓存在公共點(diǎn),由兩圓位置關(guān)系可得即的最小值為，故選:B7.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.若數(shù)列滿足:對(duì)任意的,都有,且，則（）A.10 B.19 C.20 D.39【答案】B【解析】由題設(shè)或，設(shè)公差為，由題意知：，，由，由結(jié)構(gòu)特征知：，綜上，，所以.故選：B.8.如圖，雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為是上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且直線與軸的正半軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】設(shè)，設(shè)、與的內(nèi)切圓切于點(diǎn)、，由對(duì)稱性可得內(nèi)切圓圓心在軸上，結(jié)合切線長(zhǎng)定理可得，，則，即，故，則，因此，.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,公比為,且滿足，則（）A.B.若，則C.D.若，則當(dāng)最小時(shí)，【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由可得，所以數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列由，則，A正確；對(duì)于B，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，C正確；對(duì)于D，，所以數(shù)列單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)最小時(shí)，，D正確.故選：ACD.10.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Mx,y與兩點(diǎn)連線的斜率分別為且（為常數(shù)），下列結(jié)論正確的有：（）A.若，則動(dòng)點(diǎn)Mx,y一定在橢圓上B.若，則動(dòng)點(diǎn)Mx,y一定在雙曲線上，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸C.若，則的取值范圍是D.若為坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線上存在點(diǎn)使得，則【答案】BCD【解析】由可得，即對(duì)于A，若，則點(diǎn)M在圓上，選項(xiàng)A錯(cuò)誤對(duì)于B，若，則點(diǎn)軌跡為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，B正確對(duì)于C，若，則，即，可設(shè)點(diǎn)，則，可得C正確對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M軌跡為，當(dāng)垂直于直線，且為圓切線時(shí)，此時(shí)最大，此時(shí)需滿足，即，由點(diǎn)到直線距離，解得，D正確.故選；BCD11.已知直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),且與交于兩點(diǎn)，過分別作直線的垂線，垂足依次為，若長(zhǎng)的最小值為4，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.若的傾斜角為，點(diǎn)在第一象限，則C.若，則的斜率為1D.若點(diǎn)在上，且，則【答案】ABD【解析】拋物線焦點(diǎn)，依題意可知直線與軸不重合，設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，設(shè)Ax1則，，，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以拋物線，焦點(diǎn)為F1,0，對(duì)于選項(xiàng)A:由上述分析可知，，所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)榈膬A斜角為，拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，點(diǎn)在第一象限，設(shè)Ax1由直線的點(diǎn)斜式方程可得：直線的方程為：，其與拋物線聯(lián)立方程組可得：，解得；所以，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：設(shè)直線的方程為：y=kx-1，其與拋物線聯(lián)立方程組可得：，由韋達(dá)定理可得：，所以，即，所以，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：由，得：,所以，故D正確；故選：ABD.三?填空題：本題共3題，每小題5分，共15分.12.已知等比數(shù)列滿足，則______.【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，由，所以，，由，，知均為負(fù)數(shù)，所以等比數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)均為負(fù)，即故答案為：.13.在平面直角坐標(biāo)系中,已知B，C為圓上兩點(diǎn),點(diǎn),且，則線段的長(zhǎng)的取值范圍是___________.【答案】【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，即點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，所以所以的取值范圍是，從而的取值范圍是．故答案為：．14.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上,且滿足，傾斜角為銳角的漸近線與線段交于點(diǎn)，且，則的值為______.【答案】【解析】設(shè)雙曲線C的半焦距為c，即有，因，則，即直線與雙曲線C交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限，由得點(diǎn)，由，而，得，代入得：，即，不妨，則，故，則，因此.故答案為：.四?解答題：本題共5題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知與兩坐標(biāo)軸均相切；且過點(diǎn)，直線過點(diǎn)交圓于兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若，求直線的斜率.解：（1）由題意知圓心C在第一象限，圓C與兩坐標(biāo)軸均相切，則，由圓C過點(diǎn)2,1，所以，解得或5，因?yàn)?，所以，所以圓C方程為.（2）由可得，即點(diǎn)A為PB中點(diǎn)，設(shè)弦AB中點(diǎn)為E，則，設(shè)，則，在中，由勾股定理得①，在中，由勾股定理得②，聯(lián)立①②解得，即圓心C到直線的距離的平方為，設(shè)直線，即，則，解得.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，若的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為.（1）求拋物線的方程；（2）過焦點(diǎn)的兩條直線分別與拋物線交于、和、，若，求四邊形面積的最小值.解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)，所以線段的中垂線為.即的外接圓圓心在直線上，圓心到準(zhǔn)線的距離為，所以的外接圓半徑為，所以該圓面積.解得，所以拋物線的方程為.（2）若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線、都不與x軸重合，所以，直線、的斜率存在且都不為零，易知拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)Ax1,聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，所以，因?yàn)?，所以可設(shè)直線方程為，用代替可得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即四邊形的面積最小值為.17.已知雙