2025屆東三省高三上學(xué)期12月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1東三省2025屆高三上學(xué)期12月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡的指定位置．考試結(jié)束后，將答題卡交回．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．3．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以．故選：C.2.若，則（）A. B.10 C.26 D.【答案】A【解析】由，得，則．故選：A3.設(shè)是兩個(gè)不共線向量，是在上的投影向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，由題意可設(shè)，對(duì)于A，由數(shù)量積的定義可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)向量數(shù)量積的定義得，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，由于可以為任意正數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由數(shù)量積的定義可得，故D錯(cuò)誤；故選：B.4.已知是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A、C，因?yàn)?，所以，故A，C錯(cuò)誤；對(duì)于B、D，由題意知，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即，結(jié)合基本不等式，，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，故D正確，B錯(cuò)誤；故選：D.5.已知正三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)，下底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱與底面所成角的正切值為2，則該正三棱臺(tái)的體積為（）A.52 B. C. D.【答案】C【解析】將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面所成角即為與平面所成角，設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，在平面上的射影為，則為的中心，為的中心，即為棱與底面所成的角，所以，由于，故，所以棱臺(tái)的高，又上、下底面的面積分別為和，所以棱臺(tái)的體積．故選：C.6.已知圓與圓有且僅有三條公切線，則取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圓方程知：圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑；圓和圓有且僅有三條公切線，兩圓外切，，即，設(shè)，則，，即，，解得：，的取值范圍為.故選：D.7設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，，所以，即，則，所以；構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，所以，故在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，從而，故有，整理得，所以，故．故選：B8.已知函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.e【答案】A【解析】因?yàn)椋李}意在上沒有變號(hào)零點(diǎn)，令，其中，若，則，則函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，不合乎題意，所以，，從而，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以需滿足在上恒成立，故需要有在上恒成立（等號(hào)不恒成立），設(shè)，令，得，所以函數(shù)的斜率為的切線方程為，即，所以只需要，所以只需要即可，令，則，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)取得唯一的極大值，即最大值，所以，所以．所以，的最小值為.故選：A.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.定義，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，則下列說法正確的是（）A.是成立的充分不必要條件B.是周期函數(shù)C.D.是奇函數(shù)【答案】BC【解析】對(duì)于A，取，則，但，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，若，則，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以不是奇函?shù)，故D錯(cuò)誤．故選：BC.10.已知函數(shù)在時(shí)取得極大值，則（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】BD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得極大值，所以，得，故，則，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，B正確；令，則，顯然當(dāng)時(shí)取得極大值，所以函數(shù)在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象不一定關(guān)于直線對(duì)稱，C錯(cuò)誤；令，，得，則在區(qū)間上必有兩個(gè)極值點(diǎn)和，故D正確．故選：BD11.已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（）A.和兩點(diǎn)之間距離的最小值小于B.當(dāng)最大時(shí)，的面積是C.直線過定點(diǎn)D.的最小值是【答案】AD【解析】對(duì)于A，直線的方程為，圓心到直線的距離為，所以和兩點(diǎn)之間距離的最小值為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)與圓相切時(shí)取得最大值或者最小值，因?yàn)?，所以，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以以為圓心，為半徑的圓的方程為，所以直線的方程為，將代入并整理得，所以直線過定點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)取最小值時(shí)最小，最小值為，故D正確；故選：AD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_______．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，則．故答案為：13.已知是第二象限角，，則_______．【答案】【解析】由是第二象限角，，所以也是第二象限角，因此可得，，所以．故答案為：14.在長(zhǎng)方體中，是棱的中點(diǎn)，平面截一球面得圓，平面截該球面得一圓，已知圓和圓的半徑分別為2和3，則該球的表面積為_______．【答案】【解析】如圖，設(shè)球心為，球的半徑為，由題意和球的性質(zhì)得平面，平面，則，因平面，平面，則,又，故為平面和平面所成的角，在中，由可得，在中，易得，，所以，即得，解得，故球的表面積為．故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為．（1）求角；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，則，因?yàn)闉殇J角，所以．（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，由余弦定理得，即，所以，即，故的周長(zhǎng)為．16.設(shè)函數(shù)，其中是常數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．（1）解：，令得，若，則，所以當(dāng)或時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；若，則f'x≥0（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)），在R上單調(diào)遞增；若，則，所以當(dāng)或時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．綜上，若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；若，則在R上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．（2）證明：，依題意是方程的根，所以，解得，又當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的根和，所以當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f所以是的極大值點(diǎn)，符合題意，故，所以，因?yàn)樗院瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．17.如圖，在四棱錐中，平面，設(shè)平面和平面的交線為．（1）若，證明：平面平面；（2）若，平面與平面所成角的正弦值為，求異面直線與所成角的余弦值．（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：由（1）可知，因?yàn)椋?，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，在平面內(nèi)，垂直于直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，則，所以，顯然平面的一個(gè)法向量為，依題意，解得，設(shè)與所成的角為，因?yàn)?，又，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為．18.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列是首項(xiàng)為1的遞增數(shù)列，若．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）證明：；（3）求使得成立的最大整數(shù)．（1）解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，作差得，兩邊同時(shí)除以得，又，所以，得，所以，故對(duì)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，則．設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋杂?，或又因以?shù)列是遞增數(shù)列，所以．（2）證明：因?yàn)?，所以．?）解：由（1）知，即，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即有，，又，故當(dāng)時(shí)，，所以，，又，所以，當(dāng)時(shí)，，故使得成立的最大整數(shù)為6．19.已知橢圓的離心率為，以焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16．（1）求的方程；（2）已知點(diǎn)，且．（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．①證明：點(diǎn)在同一個(gè)圓上；②將①中的圓向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到一個(gè)新圓，已知Px0,y0是該圓上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作該圓的切線，設(shè)切線與交于兩點(diǎn)，求（1）解：設(shè)橢圓的焦距為，依題意，又，所以，則的方程為．（2）①證明：設(shè)，則由題意可知，所以，故是公差為1的等差數(shù)列，是公差為2的等差數(shù)列，由已知，所以，所以，即有，設(shè)，則，因?yàn)?，且，所以有，故，?消去得，即，所以點(diǎn)在同一個(gè)圓上．②解：將圓向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圓的方程為，設(shè)是切線上除點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，結(jié)合可得，切線的方程為，聯(lián)立，整理得，因?yàn)椋蕡A在橢圓內(nèi)部，故,，所以，所以，因?yàn)椋?故的取值范圍是．東三省2025屆高三上學(xué)期12月調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡的指定位置．考試結(jié)束后，將答題卡交回．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．3．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋裕蔬x：C.2.若，則（）A. B.10 C.26 D.【答案】A【解析】由，得，則．故選：A3.設(shè)是兩個(gè)不共線向量，是在上的投影向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，由題意可設(shè)，對(duì)于A，由數(shù)量積的定義可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)向量數(shù)量積的定義得，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，則，由于可以為任意正數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由數(shù)量積的定義可得，故D錯(cuò)誤；故選：B.4.已知是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A、C，因?yàn)?，所以，故A，C錯(cuò)誤；對(duì)于B、D，由題意知，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即，結(jié)合基本不等式，，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，故D正確，B錯(cuò)誤；故選：D.5.已知正三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)，下底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱與底面所成角的正切值為2，則該正三棱臺(tái)的體積為（）A.52 B. C. D.【答案】C【解析】將正三棱臺(tái)補(bǔ)成正三棱錐，則與平面所成角即為與平面所成角，設(shè)點(diǎn)在平面上的射影為，在平面上的射影為，則為的中心，為的中心，即為棱與底面所成的角，所以，由于，故，所以棱臺(tái)的高，又上、下底面的面積分別為和，所以棱臺(tái)的體積．故選：C.6.已知圓與圓有且僅有三條公切線，則取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圓方程知：圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑；圓和圓有且僅有三條公切線，兩圓外切，，即，設(shè)，則，，即，，解得：，的取值范圍為.故選：D.7設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以；因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，，所以，即，則，所以；構(gòu)造函數(shù)，則，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，所以，故在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，從而，故有，整理得，所以，故．故選：B8.已知函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.e【答案】A【解析】因?yàn)椋李}意在上沒有變號(hào)零點(diǎn)，令，其中，若，則，則函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，存在，使得，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，不合乎題意，所以，，從而，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以需滿足在上恒成立，故需要有在上恒成立（等號(hào)不恒成立），設(shè)，令，得，所以函數(shù)的斜率為的切線方程為，即，所以只需要，所以只需要即可，令，則，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)取得唯一的極大值，即最大值，所以，所以．所以，的最小值為.故選：A.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.定義，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，則下列說法正確的是（）A.是成立的充分不必要條件B.是周期函數(shù)C.D.是奇函數(shù)【答案】BC【解析】對(duì)于A，取，則，但，不滿足，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，則，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以不是奇函?shù)，故D錯(cuò)誤．故選：BC.10.已知函數(shù)在時(shí)取得極大值，則（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)在區(qū)間上至少存在兩個(gè)極值點(diǎn)【答案】BD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得極大值，所以，得，故，則，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，B正確；令，則，顯然當(dāng)時(shí)取得極大值，所以函數(shù)在區(qū)間上不一定單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象不一定關(guān)于直線對(duì)稱，C錯(cuò)誤；令，，得，則在區(qū)間上必有兩個(gè)極值點(diǎn)和，故D正確．故選：BD11.已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（）A.和兩點(diǎn)之間距離的最小值小于B.當(dāng)最大時(shí)，的面積是C.直線過定點(diǎn)D.的最小值是【答案】AD【解析】對(duì)于A，直線的方程為，圓心到直線的距離為，所以和兩點(diǎn)之間距離的最小值為，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)與圓相切時(shí)取得最大值或者最小值，因?yàn)?，所以，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，所以以為圓心，為半徑的圓的方程為，所以直線的方程為，將代入并整理得，所以直線過定點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，所以，所以當(dāng)取最小值時(shí)最小，最小值為，故D正確；故選：AD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_______．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，則．故答案為：13.已知是第二象限角，，則_______．【答案】【解析】由是第二象限角，，所以也是第二象限角，因此可得，，所以．故答案為：14.在長(zhǎng)方體中，是棱的中點(diǎn)，平面截一球面得圓，平面截該球面得一圓，已知圓和圓的半徑分別為2和3，則該球的表面積為_______．【答案】【解析】如圖，設(shè)球心為，球的半徑為，由題意和球的性質(zhì)得平面，平面，則，因平面，平面，則,又，故為平面和平面所成的角，在中，由可得，在中，易得，，所以，即得，解得，故球的表面積為．故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為．（1）求角；（2）若的面積為，求的周長(zhǎng)．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，則，因?yàn)闉殇J角，所以．（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，即，由余弦定理得，即，所以，即，故的周長(zhǎng)為．16.設(shè)函數(shù)，其中是常數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，證明：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．（1）解：，令得，若，則，所以當(dāng)或時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；若，則f'x≥0（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)），在R上單調(diào)遞增；若，則，所以當(dāng)或時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．綜上，若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；若，則在R上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．（2）證明：，依題意是方程的根，所以，解得，又當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的根和，所以當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)時(shí)，f所以是的極大值點(diǎn)，符合題意，故，所以，因?yàn)樗院瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．17.如圖，在四棱錐中，平面，設(shè)平面和平面的交線為．（1）若，證明：平面平面；（2）若，平面與平面所成角的正弦值為，求異面直線與所成角的余弦值．（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：由（1）可知，因?yàn)椋?/p>