2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（選填題）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專題03導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（選填題）-專項(xiàng)訓(xùn)練考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，極值最值2024全國甲卷Ⅰ卷2023Ⅱ卷乙甲2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷乙卷2021甲卷Ⅰ卷2020Ⅰ卷Ⅲ卷構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性從而進(jìn)行比較大小，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)以及最值問題收高考必考題型考點(diǎn)2構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性比較大小2023甲卷2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷2021乙卷Ⅱ卷2020ⅠⅡⅢ卷考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用2021上海卷Ⅱ卷2022天津卷2023天津卷2021Ⅰ卷北京卷零點(diǎn)含參問題的討論是導(dǎo)數(shù)綜合題型的重難點(diǎn)考點(diǎn)01利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，極值最值單選題1．（2024·全國·高考甲卷）設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．2．（2023年全國新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．3．（2023年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．5．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．16．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7．（2021年全國新高考Ⅰ卷）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．8．（2020年全國高考Ⅰ卷）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．9．（2020年全國高考Ⅲ卷）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+10．（2019年全國高考Ⅲ卷）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A． B． C． D．二多選題11（2024·全國·高考Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，三填空題12．（2024·全國·高考Ⅰ卷）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.13．（2023·全國乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______.14．（2022全國乙卷）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．15．（2022年全國新高考Ⅰ卷）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．16．（2021·全國甲卷）曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．17．（2021年全國新高考Ⅰ卷）函數(shù)的最小值為______.三、雙空題18．（2022年全國高考Ⅱ卷）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為____________，____________．考點(diǎn)02構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性比較大小一、單選題1．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．2．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知，則（

）A． B． C． D．3．（2022年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．4．（2021年全國高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．5．（2020年全國高考Ⅲ卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．6（2022·全國甲卷）已知，則（

）A． B． C． D．7．（2021·全國乙卷）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．8．（2020年全國新高考Ⅰ卷）若，則（

）A． B． C． D．9．（2020年全國高考Ⅱ卷）若，則（

）A． B． C． D．10．（2020年全國高考Ⅲ卷）已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b考點(diǎn)03導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函數(shù) B．存在在處取最大值C．存在是嚴(yán)格增函數(shù) D．存在在處取到極小值二、多選題2．（2024·全國·高考Ⅱ卷）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心三填空題3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，對任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.4．（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的最小值為______.5．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_________．6．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號是______參考答案與詳細(xì)解析考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，極值最值2024全國甲卷Ⅰ卷2023Ⅱ卷乙甲2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷乙卷2021甲卷Ⅰ卷2020Ⅰ卷Ⅲ卷構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性從而進(jìn)行比較大小，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)以及最值問題收高考必考題型考點(diǎn)2構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性比較大小2023甲卷2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷2021乙卷Ⅱ卷2020ⅠⅡⅢ卷考點(diǎn)3導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用2021上海卷Ⅱ卷2022天津卷2023天津卷2021Ⅰ卷北京卷零點(diǎn)含參問題的討論是導(dǎo)數(shù)綜合題型的重難點(diǎn)考點(diǎn)01利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，極值最值單選題1．（2024·全國·高考甲卷）設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得其面積.【詳解】，則，即該切線方程為，即，令，則，令，則，故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.故選：A.2．（2023年全國新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．3．（2023年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出，并求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，故選：B.4．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由切點(diǎn)設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳解】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)?，所以，所以所以所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：C5．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋砸李}可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時(shí)取最大值，滿足題意，即有．故選：B.6．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時(shí)，由，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫出的圖象如下圖所示：

由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D7．（2021年全國新高考Ⅰ卷）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：

由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)在曲線下方和軸上方時(shí)才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.8．（2020年全國高考Ⅰ卷）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算出和的值，可得出所求切線的點(diǎn)斜式方程，化簡即可.【詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題9．（2020年全國高考Ⅲ卷）若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【詳解】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D.10．（2019年全國高考Ⅲ卷）已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，求得．【詳解】詳解：，將代入得，故選D．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵得到含有a，b的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到方程關(guān)系．二多選題11（2024·全國·高考Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，即可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B；根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C；直接作差可判斷D.【詳解】對A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，而，易知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，正確；對B，當(dāng)時(shí)，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯(cuò)誤；對C，當(dāng)時(shí)，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對D，當(dāng)時(shí)，，所以，正確；故選：ACD.三填空題12．（2024·全國·高考Ⅰ卷）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.【答案】【分析】先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點(diǎn)為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點(diǎn)為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點(diǎn)為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：13．（2023·全國乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是______.【答案】【分析】原問題等價(jià)于恒成立，據(jù)此將所得的不等式進(jìn)行恒等變形，可得，由右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可得實(shí)數(shù)的二次不等式，求解二次不等式后可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的解析式可得在區(qū)間上恒成立，則，即在區(qū)間上恒成立，故，而，故，故即，故，結(jié)合題意可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14．（2022全國乙卷）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)．若，則a的取值范圍是____________．【答案】【分析】法一：依題可知，方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)因?yàn)?，所以方程的兩個(gè)根為，即方程的兩個(gè)根為，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即圖象在上方當(dāng)時(shí)，，即圖象在下方，圖象顯然不符合題意，所以．令，則，設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，故切線方程為，則有，解得，則切線的斜率為，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，解得，又，所以，綜上所述，的取值范圍為．[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)=0的兩個(gè)根為因?yàn)榉謩e是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，設(shè)函數(shù)，則，若，則在上單調(diào)遞增，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則，不符合題意；若，則在上單調(diào)遞減，此時(shí)若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時(shí)若有和分別是函數(shù)且的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且，則需滿足，，即故，所以.15．（2022年全國新高考Ⅰ卷）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是________________．【答案】【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得的取值范圍.【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,故答案為：16．（2021·全國甲卷）曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________．【答案】【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．17．（2021年全國新高考Ⅰ卷）函數(shù)的最小值為______.【答案】1【分析】由解析式知定義域?yàn)椋懻?、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，有，此時(shí)單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.三、雙空題18．（2022年全國高考Ⅱ卷）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為____________，____________．【答案】【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分和兩種情況，當(dāng)時(shí)設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出，即可求出切線方程，當(dāng)時(shí)同理可得；解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對稱性，數(shù)形結(jié)合當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，圖象為：所以當(dāng)時(shí)的切線，只需找到關(guān)于y軸的對稱直線即可.[方法三]：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以切線方程為，又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；.考點(diǎn)02構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性比較大小一、單選題1．（2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．記，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，因?yàn)椋?，所以，即由二次函?shù)性質(zhì)知，因?yàn)椋?，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選：A.2．（2022年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對互化以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．3．（2022年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故4．（2021年全國高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】，即.故選：C.5．（2020年全國高考Ⅲ卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別將,改寫為，，再利用單調(diào)性比較即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A.【點(diǎn)晴】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.6（2022·全國甲卷）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)楫?dāng)故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因?yàn)楫?dāng)，取得：，故，其中，且當(dāng)時(shí)，，及此時(shí)，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開設(shè)，則，，，計(jì)算得，故選A.[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；因?yàn)楫?dāng)，取得，故，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．7．（2021·全國乙卷）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對a,b的大小作出判定，對于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】[方法一]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當(dāng)0<x<2時(shí)，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時(shí)，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法二]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.8．（2020年全國新高考Ⅰ卷）若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，利用作差法結(jié)合的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)，則為增函數(shù)，因?yàn)樗?，所以，所?，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，所以C、D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，涉及到構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是一道中檔題.9．（2020年全國高考Ⅱ卷）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將不等式變?yōu)?，根?jù)的單調(diào)性知，以此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：，令，為上的增函數(shù)，為上的減函數(shù)，為上的增函數(shù)，，，，，則A正確，B錯(cuò)誤；與的大小不確定，故CD無法確定.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.10．（2020年全國高考Ⅲ卷）已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【分析】由題意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小關(guān)系，由，得，結(jié)合可得出，由，得，結(jié)合，可得出，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.考點(diǎn)03導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用一、單選題1．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（

）A．存在是偶函數(shù) B．存在在處取最大值C．存在是嚴(yán)格增函數(shù) D．存在在處取到極小值【答案】B【分析】對于ACD利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷，對于B，構(gòu)造函數(shù)即可判斷.【詳解】對于A，若存在是偶函數(shù),取,則對于任意,而,矛盾,故A錯(cuò)誤；對于B，可構(gòu)造函數(shù)滿足集合，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則該函數(shù)的最大值是，則B正確；對C，假設(shè)存在，使得嚴(yán)格遞增，則，與已知矛盾，則C錯(cuò)誤；對D，假設(shè)存在，使得在處取極小值，則在的左側(cè)附近存在，使得，這與已知集合的定義矛盾，故D錯(cuò)誤；故選：B.二、多選題2．（2024·全國·高考Ⅱ卷）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD三填空題3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，對任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出，求出的取值范圍，然后對實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得或.①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，所以，，解得；③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，