2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章隨機(jī)變量及其分布2.4正態(tài)分布講義新人教A版選修2-3

PAGE1-2.4正態(tài)分布學(xué)問(wèn)點(diǎn)正態(tài)曲線1．正態(tài)曲線函數(shù)，x∈(－∞，＋∞)，其中實(shí)數(shù)μ，σ(σ>0)為參數(shù)，我們稱φμ，σ(x)的圖象為eq\o(□,\s\up3(01))正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱eq\o(□,\s\up3(02))正態(tài)曲線．2．正態(tài)曲線的性質(zhì)(1)曲線位于x軸eq\o(□,\s\up3(03))上方，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線eq\o(□,\s\up3(04))eq\a\vs4\al(x＝μ)對(duì)稱；(3)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\o(□,\s\up3(05))eq\f(1,σ\r(2π))；(4)曲線與x軸之間的面積為eq\o(□,\s\up3(06))1；(5)當(dāng)σ肯定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的改變而沿x軸平移，如圖甲所示；(6)當(dāng)μ肯定時(shí)，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”．總體分布越集中，如圖乙所示：學(xué)問(wèn)點(diǎn)正態(tài)分布一般地，假如對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿意P(a<X≤b)＝eq\o(□,\s\up3(01))eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，則稱隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布．正態(tài)分布完全由參數(shù)eq\o(□,\s\up3(02))eq\a\vs4\al(μ)和eq\o(□,\s\up3(03))eq\a\vs4\al(σ)確定，因此正態(tài)分布常記作N(μ，σ2)，假如隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布，則記為X～N(μ，σ2)．學(xué)問(wèn)點(diǎn)3σ原則(1)正態(tài)總體在三個(gè)特別區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝eq\o(□,\s\up3(01))0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝eq\o(□,\s\up3(02))0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝eq\o(□,\s\up3(03))0.9974.(2)通常聽(tīng)從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X只取eq\o(□,\s\up3(04))(μ－3σ，μ＋3σ)之間的值．正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的一種分布，它由參數(shù)μ，σ唯一確定，常記作N(μ，σ2)，其中μ是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可用樣本的均值去估計(jì)，σ是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)．參數(shù)μ，σ可由正態(tài)曲線的對(duì)稱性求得：正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對(duì)稱，當(dāng)x＝μ時(shí)達(dá)到峰值eq\f(1,\r(2π)σ).理論上可以證明，正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的取值的概率分別為0.6826,0.9544,0.9974，由于正態(tài)分布在(－∞，＋∞)內(nèi)取值的概率為1，可以推出它在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ]之外的取值的概率為0.0456，在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ]之外的取值的概率為0.0026，于是正態(tài)變量的取值幾乎都在x＝μ三倍標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3σ原則．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)φμ，σ(x)中參數(shù)μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．()(2)正態(tài)曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ，σ的改變而改變的．()(3)正態(tài)曲線可以關(guān)于y軸對(duì)稱．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(1)已知正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，則該正態(tài)分布的均值為_(kāi)_______，標(biāo)準(zhǔn)差為_(kāi)_______．(2)設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1＞0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2＞0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有μ1________μ2，σ1________σ2.(3)在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為_(kāi)_______．答案(1)0eq\r(2π)(2)＜＜(3)0.8解析(1)比照正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，可得μ＝0，σ＝eq\r(2π).(2)可知N(μ1，σeq\o\al(2,1))，N(μ2，σeq\o\al(2,2))的密度曲線分別關(guān)于直線x＝μ1，x＝μ2對(duì)稱，因此結(jié)合所給圖象知μ1＜μ2，且N(μ1，σeq\o\al(2,1))的密度曲線較N(μ2，σeq\o\al(2,2))的密度曲線“高瘦”，因此σ1＜σ2.(3)可知正態(tài)分布N(1，σ2)的密度曲線關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．若ξ在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.8.探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(1))正態(tài)分布密度曲線例1如圖所示是一個(gè)正態(tài)曲線，試依據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，求出總體隨機(jī)變量的期望和方差．[解]從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝20對(duì)稱，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20.由eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是概率密度函數(shù)的解析式是φ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)．總體隨機(jī)變量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.拓展提升利用圖象求正態(tài)密度函數(shù)的解析式，應(yīng)抓住圖象的實(shí)質(zhì)性兩點(diǎn)：一是對(duì)稱軸x＝μ，另一個(gè)是最值eq\f(1,\r(2π)σ).這兩點(diǎn)確定以后，相應(yīng)參數(shù)μ，σ便確定了，代入φμ，σ(x)中便可求出相應(yīng)的解析式．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練1])若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為eq\f(1,4\r(2π)).(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)求正態(tài)總體在(－4,4]上的概率．解(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即μ＝0.由eq\f(1,\r(2π)σ)＝eq\f(1,\r(2π)·4)，得σ＝4.故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826.探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(2))利用正態(tài)分布求概率例2若隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，則P(|ξ|<1.96)＝()A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.975[解析]∵隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從正態(tài)分布N(0,1)，得μ＝0，∴其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.[答案]C拓展提升利用正態(tài)密度曲線圖象的性質(zhì)，即正態(tài)曲線關(guān)于直線eq\a\vs4\al(x＝μ)對(duì)稱．例3已知ξ～N(4，σ2)，且P(2<ξ<6)＝0.6826，則σ＝________，P(|ξ－2|<4)＝________.[解析]∵ξ～N(4，σ2)且P(2<ξ<6)＝0.6826，∴μ＝4，結(jié)合“3σ”原則可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＋σ＝6，,μ－σ＝2，))∴σ＝2.∴P(|ξ－2|<4)＝P(－2<ξ<6)＝P(－2<ξ<2)＋P(2<ξ<6)＝eq\f(1,2)[P(－2<ξ<10)－P(2<ξ<6)]＋P(2<ξ<6)＝eq\f(1,2)P(－2<ξ<10)＋eq\f(1,2)P(2<ξ<6)＝eq\f(1,2)[P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(0.9974＋0.6826)＝0.84.[答案]20.84拓展提升求在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率的方法(1)利用X落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]內(nèi)的概率分別是0.6826,0.9544,0.9974求解．(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及面積為1的性質(zhì)求解．①熟記正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于x＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等．②P(X<a)＝1－P(X≥a)；P(X<μ－a)＝P(X>eq\a\vs4\al(μ)＋a)．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練2])設(shè)ξ～N(2,1)，試求：(1)P(1<ξ≤3)；(2)P(3<ξ≤4)；(3)P(ξ≤0)．解∵ξ～N(2,1)，∴μ＝2，σ＝1.(1)P(1<ξ≤3)＝p(2－1<ξ≤2＋1)＝P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P(3<ξ≤4)＝P(0<ξ≤1)＝eq\f([P0<ξ≤4－P1<ξ≤3],2)＝eq\f(1,2)[P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ<μ＋σ)]＝eq\f(1,2)[0.9544－0.6826]＝0.1359.(3)∵P(ξ≤0)＝P(ξ>4)，∴P(ξ≤0)＝eq\f(1,2)[1－P(0<ξ≤4)]＝eq\f(1,2)(1－0.9544)＝0.0228.探究eq\o(\s\up1(),\s\do1(3))正態(tài)分布的應(yīng)用例4某年級(jí)的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成果近似聽(tīng)從正態(tài)分布N(70,102)，假如規(guī)定低于60分為不及格，那么(1)成果不及格的人數(shù)占總?cè)藬?shù)多少？(2)成果在80～90分內(nèi)的學(xué)生占總?cè)藬?shù)多少？[解](1)設(shè)學(xué)生的得分為隨機(jī)變量X，則X～N(70,102)，其中μ＝70，σ＝10.成果在60～80分之間的學(xué)生人數(shù)的概率為P(70－10<X<70＋10)＝0.6826，∴不及格的人數(shù)占eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587.即成果不及格的學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的15.87%.(2)P(70－20<X<70＋20)＝0.9544，∴成果在80～90分內(nèi)的學(xué)生占eq\f(1,2)[P(50<X<90)－P(60<X<80)]＝0.1359.即成果在80～90分內(nèi)的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的13.59%.拓展提升求正態(tài)變量X在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法(1)依據(jù)題目中給出的條件確定μ，σ的值；(2)將待求問(wèn)題向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(3)利用上述區(qū)間求出相應(yīng)的概率．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練3])某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X聽(tīng)從正態(tài)分布N(4,0.52)(單位：cm)，質(zhì)量檢查人員從該廠生產(chǎn)的1000個(gè)零件中隨機(jī)抽查一個(gè)，測(cè)得它的外直徑為5.7cm，該廠生產(chǎn)的這批零件是否合格？解由于X聽(tīng)從正態(tài)分布N(4,0.52)，由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，正態(tài)分布N(4,0.52)在(4－3×0.5,4＋3×0.5)內(nèi)，即(2.5,5.5)之外的取值的概率只有0.0026.而5.7?(2.5,5.5)，這說(shuō)明在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)了幾乎不行能發(fā)生的小概率事務(wù)，因此可以認(rèn)為該廠生產(chǎn)的這批零件是不合格的．1．設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布，且相應(yīng)的函數(shù)φ(x)＝，則()A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3) D．μ＝3，σ＝eq\r(3)答案C解析由φ(x)＝，得μ＝2，σ＝eq\r(3).故選C.2．設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從正態(tài)分布N(2，σ2)，若P(X>c)＝a，則P(X>4－c)等于()A．a(chǎn) B．1－aC．2a D．1－答案B解析因?yàn)閄聽(tīng)從正態(tài)分布N(2，σ2)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝2對(duì)稱，所以P(X>4－c)＝P(X<c)＝1－P(X>c)＝1－a.3．已知一次考試共有60名同學(xué)參與，考生成果X～N(110,52)，據(jù)此估計(jì)，大約有57人的分?jǐn)?shù)所在的區(qū)間為()A．(90,100] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]答案C解析∵X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5，又eq\f(57,60)＝0.95≈P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝P(100<X≤120)．4．如圖是三個(gè)正態(tài)分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲線，則三個(gè)隨機(jī)變量X，Y，Z對(duì)應(yīng)曲線分別是圖中的________、________、________.答案①②③解析在密度曲線中，σ越大，曲線越“矮胖”；σ越小，曲線越“瘦高”．