2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時分層作業(yè)19基本不等式與最大小值含解析北師大版必修5

PAGE1-課時分層作業(yè)(十九)(建議用時：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．設(shè)x>0，則y＝3－3x－eq\f(1,x)的最大值是()A．3 B．3－2eq\r(2)C．3－2eq\r(3) D．－1C[y＝3－3x－eq\f(1,x)＝3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤3－2eq\r(3x·\f(1,x))＝3－2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(\r(3),3)時取等號．]2．函數(shù)y＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－1)＋5))(x>1)的最小值為()A．－3 B．3C．4 D．－4B[因為x＋eq\f(1,x－1)＋5＝(x－1)＋eq\f(1,x－1)＋6≥2eq\r(x－1·\f(1,x－1))＋6＝8.所以log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x－1)＋5))≥3，所以ymin＝3.當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(1,x－1)，即x＝2時，等號成立．]3．已知x>0，y>0，且x＋y＝8，則(1＋x)(1＋y)的最大值為()A．16 B．25C．9 D．36B[(1＋x)(1＋y)≤eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1＋x＋1＋y,2)))2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2＋x＋y,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋8,2)))2＝25，因此當(dāng)且僅當(dāng)1＋x＝1＋y即x＝y(tǒng)＝4時，(1＋x)(1＋y)取最大值25，故選B.]4．已有x>1，y>1且xy＝16，則log2x·log2y()A．有最大值2 B．等于4C．有最小值3 D．有最大值4D[因為x>1，y>1，所以log2x>0，log2y>0.所以log2x·log2y≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log2x＋log2y,2)))2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(log2xy,2)))2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時取等號．故選D.]5．已知函數(shù)y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)(x>－1)，當(dāng)x＝a時，y取得最小值b，則a＋b＝()A．－3 B．2C．3 D．8C[y＝x－4＋eq\f(9,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(9,x＋1)－5，因為x>－1，所以x＋1>0，所以y≥2eq\r(x＋1·\f(9,x＋1))－5＝2×3－5＝1.當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝eq\f(9,x＋1)，即x＝2時，等號成立，即a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.]二、填空題6．函數(shù)f(x)＝x(4－2x)的最大值為________．2[①當(dāng)x∈(0,2)時，x,4－2x＞0，f(x)＝x(4－2x)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋4－2x,2)))2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝4－2x，即x＝1時，等號成立．②當(dāng)x≤0或x≥2時，f(x)≤0，故f(x)max＝2.]7．周長為eq\r(2)＋1的直角三角形面積的最大值為________．eq\f(1,4)[設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長分別為a、b，則eq\r(2)＋1＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)，解得ab≤eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝eq\f(\r(2),2)時取“＝”，所以直角三角形面積S≤eq\f(1,4)，即S的最大值為eq\f(1,4).]8．若直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)過點(1,2)，則2a＋b的最小值為________．8[因為直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)過點(1,2)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝1，因為a>0，b>0，所以2a＋b＝(2a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝2，b＝4時等號成立，所以2a＋b的最小值為8.]三、解答題9．已知x，y＞0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的范圍．[解]因為x，y是正實數(shù)，故30＝x＋2y＋xy≥2eq\r(2xy)＋xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y，即x＝6，y＝3時，等號成立．所以xy＋2eq\r(2)eq\r(xy)－30≤0.令eq\r(xy)＝t，則t＞0，得t2＋2eq\r(2)t－30≤0，解得－5eq\r(2)≤t≤3eq\r(2).又t＞0，知0＜eq\r(xy)≤3eq\r(2)，即xy的范圍是(0,18]．10．已知正常數(shù)a，b和正變數(shù)x，y滿意a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值為18，求a，b的值．[解]因為x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(ay,x)＝eq\f(bx,y)，即eq\f(y,x)＝eq\r(\f(b,a))時，等號成立，所以x＋y的最小值為(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝18，又a＋b＝10，所以ab＝16.所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的兩根，所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.[實力提升練]1．已知a＝(x－1,2)，b＝(4，y)(x，y為正數(shù))，若a⊥b，則xy的最大值是()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1A[∵a⊥b則a·b＝0，∴4(x－1)＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴xy＝eq\f(1,2)(2x)·y≤eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,2)))2＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)時，等號成立．]2．若直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．2 D．4D[圓方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圓心為(－1,2)，半徑為2，若直線被截得弦長為4，說明圓心在直線上，即－2a－2b∴a＋b＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b＝eq\f(1,2)時，等號成立．]3．設(shè)x>－1，則函數(shù)y＝eq\f(x＋5x＋2,x＋1)的最小值是________．9[∵x>－1，∴x＋1>0，設(shè)x＋1＝t>0，則x＝t－1，于是有y＝eq\f(t＋4t＋1,t)＝eq\f(t2＋5t＋4,t)＝t＋eq\f(4,t)＋5≥2eq\r(t·\f(4,t))＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)t＝eq\f(4,t)，即t＝2時取“＝”，此時x＝1.∴當(dāng)x＝1時，函數(shù)y＝eq\f(x＋5x＋2,x＋1)取得最小值9.]4．某汽車運輸公司購買一批豪華大客車投入營運，據(jù)市場分析每輛車營運的總利潤y(單位：10萬元)與營運年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)關(guān)系(二次函數(shù)的圖像如圖所示)，則每輛客車營運________年時，年平均利潤最大．5[二次函數(shù)頂點為(6,11)，設(shè)為y＝a(x－6)2＋11，代入(4,7)得a＝－1，∴y＝－x2＋12x－25，年平均利潤為eq\f(y,x)＝eq\f(－x2＋12x－25,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))＋12≤－2eq\r(x·\f(25,x))＋12＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(25,x)，即x＝5時，等號成立．]5．某建筑公司用8000萬元購得一塊空地，安排在該地塊上建立一棟至少12層、每層4000平方米的樓房．經(jīng)初步估計得知，假如將樓房建為x(x≥12)層，則每平方米的平均建筑費用為Q(x)＝3000＋50x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？每平方米的平均綜合費用最小值是多少？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝eq\f(購地總費用,建筑總面積))[解]設(shè)樓房每平方米的平均綜合費用為f(x)元，依題意得，f(x)＝Q(x)＋eq\f(8000×10000,4000x)＝50x＋eq\f(20000,x)＋300